专题48 圆的方程领军高考数学一轮复习文理通用.docx

1、专题48 圆的方程领军高考数学一轮复习文理通用专题48圆的方程最新考纲掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.基础知识融会贯通圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准式(xa)2(yb)2r2(r0)圆心为(a，b)半径为r一般式x2y2DxEyF0充要条件：D2E24F0圆心坐标：半径r【知识拓展】1确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程2点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种已知圆

2、的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0a)2(y0b)2r2；(2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2r2；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)2r2.重点难点突破【题型一】圆的方程【典型例题】一个圆经过以下三个点，且圆心在y轴上，则圆的标准方程为（）A B C D【解答】解：设圆心坐标为（0，b），半径为r，则圆的方程为x2+（yb）2r2，则，解得，圆的标准方程为故选：D【再练一题】方程x2+y2+4mx2y+5m0表示圆，则实数m的取值范围为（）A B C D【解答】解：根据题意，方程x2+y2+4mx2y+5m0变形为：（x+2m）2+（y1）2

3、4m2+15m，若其表示圆，则有4m2+15m0，解可得：m或m1，即实数m的取值范围为（，）（1，+）；故选：C思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值【题型二】与圆有关的最值问题【典型例题】已知方程，则x2+y2的最小值是 【解答】解；根据题意，方程，其几何意义为以点（1，0）为圆心，半径r的圆，设t，则t的几何意义为圆上一点到坐标原点的距离，则有1t1，即t，即t的最小值为，则x2+y2的最小值是；故

4、答案为：【再练一题】在平面直角坐标系xOy中，过圆C1：（xk）2+（y+k4）21上任一点P作圆C2：x2+y21的一条切线，切点为Q，则当线段PQ长最小时，k 【解答】解：根据题意，圆C1：（xk）2+（y+k4）21的圆心为（k，4k），半径r1，则圆心在直线yx+4上，点P为圆C1上任意一点，过点P作圆C2：x2+y21的一条切线，切点为Q，当C1C2的连线与直线yx+4垂直时，线段PQ长最小，此时有1，解可得：k2；故答案为：2思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解(2)与圆

5、上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如u型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题【题型三】与圆有关的轨迹问题【典型例题】设P为椭圆C：1上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|PF2|，则动点Q的轨迹方程为（）A（x2）2+y228 B（x+2）2+y27 C（x+2）2+y228 D（x2）2+y27【解答】解：P为椭圆C：1上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P

6、至点Q，使得|PQ|PF2|，|PF1|+|PF2|2a2，|PQ|PF2|，|PF1|+|PQ|F1Q|2，Q的轨迹是以F1（2，0）为圆心，2为半径的圆，动点Q的轨迹方程为（x+2）2+y228故选：C【再练一题】设定点F（1，0），动圆D过点F且与直线x1相切则动圆圆心D的轨迹方程为（）Ax24y Bx22y Cy24x Dy22x【解答】解：因为动圆C过定点F（1，0），且与定直线l：x1相切，所以由抛物线定义知：圆心C的轨迹是以定点F（1，0）为焦点，定直线l：x1为准线的抛物线，所以圆心P的轨迹方程E为：y24x；故选：C思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以

7、下方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程(3)几何法：利用圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等基础知识训练1【西安市2019届高三年级第一次质量检测】若直线：与圆：无交点，则点与圆的位置关系是（ ）A点在圆上 B点在圆外 C点在圆内 D不能确定【答案】C【解析】直线：与圆：无交点，则，即，点在圆内部.故应选C.2【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试】圆关于直线对称的圆的方程是（ ）A BC D【答案】D【解析】由题意得，圆方程即为，圆心坐标为，半径为1设圆心关于直线的对称点的坐标为，

8、则，解得，所求圆的圆心坐标为，所求圆的方程为故选D3【广东省2019年一月普通高中学业水平考试】已知圆与轴相切于点，半径为5，则圆的标准方程是( )ABC或D或【答案】D【解析】由题意得圆的圆心为或，故圆的标准方程为或.故选D.4【四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考】直线是圆在处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于（）A1 B C D2【答案】D【解析】圆在点处的切线为，即，点是圆上的动点，圆心到直线的距离，点到直线的距离的最小值等于故选：D5【北京市房山区2019届高三上学期期末考试】已知点，点在圆上运动，为线段的中点，则使为坐标原点）为直角三角形的点的个数为（ ）

9、A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】设M（x，y），P（a，b） 由B（6，0），M是AP的中点 故有a2x6，b2y又P为圆上一动点，（2x6）2+（2y-4）24，整理得（x3）2+1故AP的中点M的轨迹方程是（x3）2+1为坐标原点）为直角三角形，若 ，以OA为直径的圆的方程为 ，此时两圆圆心距为 ,故两圆相交，故M有两个；若，x=4与圆（x3）2+1相切,这样的M点有一个;若，这样的M点不存在，故使为坐标原点）为直角三角形的点的个数为3个故选：C.6【闽粤赣三省十校2019届高三下学期联考】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为两点，以线段为直径的圆过点

10、，则圆的方程为（ ）A BC D【答案】A【解析】由抛物线方程可知：，准线方程为：设直线方程为：，代入抛物线方程得：设，则，又，在圆上 即 即 圆心坐标为：，即；半径为：圆的方程为：本题正确选项：7【湖北省十堰市2019届高三年级元月调研考试】已知圆：，点，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为为坐标原点，则面积的最大值为（ ）A12 B6 C D【答案】A【解析】由题可知，所以点在以线段为直径的圆上，的边，故当到直线的距离最大时，的面积最大，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，直线的方程为，点到直线的距离为，所以到直线的距离的最大值为，故的面积的最大值为.8【广西桂林市、崇左市2019届高三下

11、学期二模联考】过双曲线的右支上一点分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）A5 B4 C3 D2【答案】A【解析】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，设双曲线的左右焦点为，连接，可得当且仅当为右顶点时，取得等号，即最小值5故选：9【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月)】已知点，点是圆上的动点，则面积的最小值为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】A【解析】如图所示，由几何图形易知点M的坐标为有最小值，其面积为：.故选：A.10【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考】阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点

12、的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为,动点满足，当P、A、B不共线时，三角形PAB面积的最大值是（ ）A B C D【答案】A【解析】以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系；则： 设, ，两边平方并整理得： ，当点P到AB（x轴）的距离最大时，三角形PAB的面积最大，此时面积为 故选：A11【山西省运城中学、芮城中学2018-2019学年高二上学期期中联考】已知圆，圆分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为A B C D【答案】A【解析】由圆，圆，可知圆圆心为，半经为1，如图，圆圆心为，半经为2，圆关于直线的对称圆为圆，连结，交，则为满足

13、使最小的点，此时点为与圆的交点关于直线对称的点，与圆的交点，最小值为，而，的最小值为，故选A.12【安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测】在平面直角坐标系中，圆经过点，且与轴正半轴相切，若圆上存在点，使得直线与直线关于轴对称，则的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】圆经过，圆心在的垂直平分线上，又圆与轴正半轴相切，圆的半径为2，设圆心坐标为，由得，圆心坐标为，设的斜率为，因为，所以，当最大时最小，设（），由图可知当与圆相切时最大，此时，解得，此时，即的最小值为，故选D.13【湖南省长沙市开福区长沙市第一中学2018-2019学年高一下学期期中】已知圆C：x2+y2+kx+2y+k20，过点P（1，1）可作圆的两条切线，则实数k的取值范围是_【答案】【解析】解：因为方程x2+y2+kx+2y+k20表示一个圆，所以，解得：过点P（1，1）可作圆C：x2+y2+kx+2y+k20的两条切线，P（1，1）在圆的外部，则12+（1）2+k2+k20，即k2+k0，解得k1或k0由可得：或实数k的取值范围是故答案为：14【新疆乌鲁木齐市第七十中学2018-2019学年高一下学期期末】已知圆经过点，并且直线平分圆，则圆的方程为_.【答案】【解析】由题意，线段的垂直平分线方程为：，即 ，联立 解得 则圆心为，圆的半径 故所