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第三章习题
习题三多维随机变量及其分布
A组
一、填空题
二、单项选择题
10•设X，Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为Fx（x），FY（y），则min{X,Y}的分布
函数是
注:
Fz（z）=P{Zz}=1-P{min（X,Y）>z}
=1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}F{Y>z}=1-[1-P{X=1-[1-Fx（z）]{1-Fy（z）]
P{max（X,Y）>0}=
注：
P{max（X,Y）>0}=1-P{max（X,Y）c0}=1-P{X<0,Yc0}
=P{X>0}+P{Y>0}—P{X>0,Y>0}=号
1.一个袋中装有8个球，其中5个红，3个白球，现从中随机抽取两次，每次取一球，考虑两种抽取方法：
（1）不放回取样；
（2）放回取样。
今定义随机变量X，Y如下：
”1,第二次抽出的是红球，
0,第二次抽出的是白球
「1,第一次抽出的是红球，
X=JY=斗
10,第一次抽出的是白球‘
与Y的联合分布律，边缘分布律，并判断X与Y是否独立。
就
（1），
（2）两种情况，写出X
解
（1）由古典概型可知
故X与Y的联合分布律，边缘分布律如下表:
0
1
Pl
0
6/56
15/56
3/8
1
15/56
20/56
5/8
Pj
3/8
5/8
=—，p^pPi1，因此X与Y不相互独立。
56■
因为P1=1，P1=1，P11
88
（2）由古典概型可知
P（X=1,Y=1）=,0P（X=1Y=2）=—
A.，心丫讣譽右
p（X=2YjJA4，W2Y=2）詈一6，
P（x=2,Y=3）哼4
=12,P（X=3,Y=2）=等
=1,P（X=3Y=3）=0
6
故X与Y的联合分布律为:
1
2
3
1
0
1/6
1/12
2
1/6
1/6
1/6
3
1/12
1/6
0
（2）P{X+Y>4}=1-P{X+Yc4}
=1-P{X=1,Y=1}
2
-3
-P{X
=1,Y=2}-P{X=2,Y=1}
11
=1-0---
66
两封信随机地投入编号为10、11的两个信箱内，用X与Y分别表示第一封信和第二封信投入的信
求（X,Y）的联合分布律与联合分布函数。
（X,Y）所有可能取的有序数组为（10,10）、（10,11）、（11,10）及（11,11）。
由古典概型可
3.
箱号码,
解
得
P{X=10,Y=10}=P{X=10,Y=11}=P{X=11Y=10}=P{X=11,Y=11}=-
4
故（X,
其联合分布函数为:
当X<0或y<0时,
F（x,y）=P{X=0
当10
5、225
6—144
C11（5）10
C2肆6）=面
C22
（1）2=丄
6144
2P{X^1,X^2H—
144
1
P{X^2,X^2H--
144
由（Xj,X2）的联合分布律可得Xj的边缘分布律：
F（x,y）=P{X4
当1011时,
F（x,y）=P{X2
当X>11,10F（x,y）=P{X2
当x>11,y>11时，
F（x,y）=P{X4.同时掷两枚硬币和两颗骰子，用X1和X2分别表示出现国徽的硬币数和出现点6的骰子数，试求
（X1,X2）的联合分布律和X1边缘分布律及X2边缘分布律。
解X1>X2所有可能取的数值均为0、1、2,掷硬币和掷骰子是相互独立的，因此由贝努里试验概型可得
p{X17X2=0}=P{X1=0}P{X2=0}=
（1）'（5）-
12
P{Xj=0,X2=1}=P*=0}”P{X2=1}=（—）2
2
12
P{X17X2=1}=P{X1=0}”P{X2=2}七）2
2
类似地可求得
P{X1=1,X2=0}=弓，P{X^1,X^1H-20
144144
Pi”
4球。
设X为白球数，Y为
及X2的边缘分布律:
X2
0
1
2
Pj
25
10
1
36
36
36
5.一袋色球，其中有三个白球，两个红球和三个黑球，现从中随机任取
红球数，求：
（1）（X，Y）的联合分布律；
（2）P｛（X,Y）忘D｝,D=｛（x,y）x+y<2｝
解X的所有可能的取值为0、1、2、3,Y的所有可能的取值为0、1、2。
由古典概型可得
P（X=0Y=0}=P{<）}=0,P{X=0YHRCCC3-?
Pfx-OY-ZRCCC3--
Cs70Cs70
P{XT丫讣警唸P{xtytJ|F40,2Y洱等M。
P{X=2YPQCCC^-；9，P{X=2丫=1}=^|53=18,尺x^YPACCC^E
故（X，Y）的联合分布律为
P｛（x,丫严
D}={X+Y<2}
1
j=0
P{X=0Y=j}+5：
PfX=1Y=j}+P[X=2Y=0}=—j：
ay2
6•盒内5个晶体管，其中2个次品，3个正品。
每次取出一个进行检验，直到所有的次品都被检验出
所需检验次数，求（X1,X2）的联合分布律。
解X1、X2所有可能取的数值均为1、2、3、4,由乘法公式可得
P{X1=1,X2=1}=P{X1=1}”P{X2=1|X1=1}=2丄=丄
5410
5a2"10
P{X^1,X^2HP{X^1}P{X^2Xr=1}=-
P{X1=1,X2=3}=丄，P{X1=1,X2=4}=丄
1010
a1a111
P{X1=2,X2=1}=P{X1=2}P{X2=1|X1=2}=黃”3=10
11
P{X1=2,X2=2}=—，P{X1=2,X2=3}=—，P[X=2X?
=4}=P©}=0
1010
A2A11
P{X^3,X^1}=P{X1=3}RX2=1|X1=3}=专•？
=-
a2a111
P{X1=3,X2=2}=P{X1=3}卩{X2=2|X1=3}=苛瓷=-
P*=3,X2=3=P㈣=0,PM=3,X2=4}=P{*}=0
1
注意：
关于p{X2=2Xj=3}的解释：
Xj=3表明查出第一个次品时，已有两个正品和一
A，而符合"X2=2"的排列数只
A2
个次品通过检验，这时还剩下一个正品和一个次品，它们的排列数为有一个，故p{X2=2Xj=3}=
a3a11
P{X1=4,X2=1}=P{X^4}卩{X2=1|兀=4}=-A^1=-
P{Xi=4X2=2}=P{^=0,F[Xi=4,X2=3}=P[$n，P{Xi=4X2=4}=P[勺=0
故（Xi,X2）的联合分布律为
数k；
（2）X与Y的边缘概率密度，并判别X与Y是否相互独立；（3）求P｛（X,Y）忘D｝，其中区
域D:
XVyc4—x。
解由已知的概率密度f（X,y）可求得
JJf（x,y）dxdy=
_oC_qC
J：
.l"^2ke^dxdy=2k”2[-ej严=4k
再由概率密度f（x,y）具有的性质:
f_^f（x,y）dxdy=1，得
X的边缘概率密度为
因为当Xv0或X>2时,
f（x,y）=0，有fx（x）=0
-be1坯1*1
而当0兰X兰*时，fx（x）=Jwf（x,y）dy=2J0e^dy=?
[—e—y]評=§
所以
-be
Y的边缘概率密度为fY（y）=J5f（x,y）dx
因为当y<0时，f（x,y）=0，有fY（y）=0
说12yy
而当y：
>0时，fY（y）=f（X,y）dx=J0edx=e
所以
f（'—hyiO
Yy"I0,其他
容易验证f（X,y）=fX（X）fY（y），故X与Y是相互独立的。
而
24_x
P{（X,Y）-D}=Uf（x,y）dxdy=J0dxJx
D
X-4y）
8若（X,Y）的联合概率密度为
fZe"y）,xA0,y>0
f（X,y）t0,其他
求：
（1）常数A；
（2）（X,Y）的联合分布函数；（3）求P{0解由已知的概率密度f（X,y）可求得
UUf（X,y）dXd^t
I--（3xH4y）..-r1dx〔鈕「1-4%讼1-由舟
）J0gdxdy=h[—3eb'[—b=石人再由
>0,ya0时,
=（1-e'X）（1-e为
'-3XiX-'-4^y
wqe]0[-4e]0
中、Rl-*）（1-e£y）,x>AyA0
F（x,八0,其他
9.随机变量（X,Y）的联合概率密度为
f（x,y）Jk（R7x2+2y2）,x2+y2MR2
i0,x+y>R
X2+y2求:
（1）常数k;
（2）P{（X,Y）亡D}，其中区域D={（x,y）
解由已知的概率密度f（X,y）可求得
-be-beJ—22
LcLcf（x,y）dxdy=JJk（R-Jx+y）dxdy
x勺2蛋2
2；l
R1213R13
d日f（R-^PdP=2lki[-RP2--P]R=-kiR3
0233
1kiR3=1,
3
兀R3
（R-Jx2+/）dxdy
3
兀R3
2
2兀r31213rr
；d%（R-P）PdP=^2[2RP2-y3]0=m（3R-2r）
10.随机变量（X,Y）服从B上的均匀分布，其中B为x轴，y轴以及直线y=2x+l所围成的三
角形区域。
求联合概率密度及两个边缘概率密度。
11
解由已知，三角形区域
B={（x,y）024
（X,Y）的联合概率密度
_、j4,（x,y）€B
f（x'y^t0,其他
-be
X的边缘概率密度为fx（x）=ff（x,y）dy
，-oC
1
-be2x+
fx（x）=Jf（x,y）dy=f4dy=4（2x+1）
_GC0
因为当x<-5或x>0时，f（x,y）=0，有fx（x）=0
1
而当一一2
所以
I1
fX（x）屮”）,”“
i0,其他
Y的边缘概率密度为fY（y）=J"f（x,y）dx
所以
0cy
0,其他
独立。
解由已知的分布函数F（x,y）可求得
xV兀兀
F（+=c,+=c）=ximA（B+arctg—）（C+arctgA）=A（B+—）（C+—）
所以有
兀JI
y"1
又因为
■y\i-Tj--Tj-
F（=T=ximA（B+arctg）（C+arctgy）=A（B-」）（C-」）J产2322
y—尹
又有
A（B
兀兀
2）（c-220
（2）
联立式
（1）和式
（2）,即得
JI
2，BP，C
（X,Y）的联合概率密度为
X的边缘概率密度为
Y的边缘概率密度为
容易验证f（x,y）=fX（x）fY（y），故X与Y是相互独立的。
12.设随机变量（X,Y）的联合概率密度为
而当x〉1时，fx（x）=jNf（x,y）dy=（
所以
X>1
fx（X）=*X
[0,其他
-be
Y的边缘概率密度为fY（y）=ff（X,v）dx
因为当y<1时，f（x,y）=0，有fY（y）=O
而当yaI时，fY（y）=Jf（X,y）dx-y=-e^卅一
u1XX
所以
fY（y）尸心
丫5[0,其他
容易验证f（X,y）=fX（x）fY（y），故X与Y是相互独立的。
13.设随机变量X与丫相互独立，其概率密度分别为
1丄
e3,y30
11上
I—e2X>0
fX（x）詔2e,0，fY（y）詔3
L0,其他I0,其他
求随机变量Z=X+丫的概率密度。
解因为X与Y相互独立，故（X，丫）的联合概率密度为
I14
I—e23x兰0vX0
f（x,y）=fx（x）fY（y）=«6e,,V
i0,其他
为求Z的概率密度，先求其分布函数F（z）:
VZ迂R，设D={（x,y）x+yF（z）=P{ZD
若ZcO，则在区域D内，有XvO或ycO，于是f（X,y）=0,从而F（z）=0；若z>0，则
0fx（x）='i0,其他，fY（yT[0,其他
求随机变量z=X+丫的概率密度。
解因为X与Y相互独立，故（X,Y）的联合概率密度为
le^,Of（x，y）=fX（x）fY（y）=‘0,其他,y
为求Z的概率密度，先求其分布函数F（z）:
VZ亡R，设D={（x,y）x+y<2}，有
F（z）=P{Z若0若z>1，则
z-x
1
F（z）=JJf（x,y）dxdy=JOdxJ0e^dy
D
=J；（1-e2）dx-[x-ep=1+（1-e）e/
"1+（1-e）ed,z>1
F（z）=
«z-1+ed,00,其他
（e-1）e」，z>1
0所以随机变量Z=X+丫的概率密度
f（z）=FTz）={1-e=
j0,其他
因为X与Y相互独立，故（X,Y）的联合概率密度为
为求Z的概率密度，先求其分布函数F（z）:
VZ亡R，设D={（x,y）x+y兰z}，有
F（z）=P{ZD
由于区域
D=UUD2UD3其中
D1:
一处ex兰z-b,-bcyD2：
z-bD3：
z+bWxv^,—^vyWz-xW-b
F（z）=JJf（X,y）dxdy=JJf（x,y）dxdy+JJf（x,y）dxdy+JJf（x,y）dxdy
所以随机变量Z=X+Y的概率密度
18.设X,Y是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为“2的泊松分布，求证Z=X+Y服
从参数为+K的泊松分布。
解据已知X,Y的分部律分别为
p{X=k}亠e4」（k=0,12lli）,P{Y=k}厶（k=0,1,2,川）k!
k!
于是
P{Z=k}=P{X+Y=k}P{X=i,Y=k-i}
iz0
i£i!
（k-i）!
即Z=X+Y服从参数为打+'卜2的泊松分布。
19•设X,Y是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为n,P的二项分布，求证Z=X+Y服
从参数为2n,p的二项分布。
证明据已知X，Y的分部律分别为
于是
+Y服从参数为2n,p的二项分布。
P{Xi=0}=0.6求随机变量X=X1X4—X2X3的分布律。
解因为X1,X2,X3,X4相互独立，故可得（X^XJ、（X2,X3）的联合分布律分别为:
设乙=X1X4,Z^X2X3，则乙、乙相互独立，且£“22）的联合分布律为
从而
X=X1X4—X2X3=Zi—z?
的分布律为
X
-1
0
1
P
0.84X0.16
0.842+0.162
0.84X0.16
22.设随机变量匕,0独立同分布，其分布律为
J
1
2
3
P
1/3
1/3
1/3
又设X=max（©,n）,Y=min"®，试写出二维随机变量（X,Y）的联合分布律。
解由已知可得（■"）的联合分布律:
于是
1
P{x=1,Y=1}=P{max（J"）=1,min（tn）=1}=p{£=1,n=1}=_
9
P{X=1,Y=2}=P{max（匕宀）=1,min（=2}=P{^=0
P{X=1,Y=2}=P{max（E,®=1,min（匚①=3}=P{©}=0
P{X=2Y=1}=P{max（J）=2,minGn）=1}=p{t=1]=2}+P{E=2?
=1}=?
9
P{X=2,Y=2}=P{max（E,n）=2,min（J*）=2}=P{E=2,n=2}=丄
9
P{X=2,Y=3}=P{max（匕4）=2,min（E,n）=3}=P{^=0
2
P{X=3Y=1}=P{maxGn）=3,minGS）=1}=P{L=11=3}+尺©=3卩=1}=-
9
2
P{X=3Y=2}=P{max（©n）=3,min^n）=2}=Rt=2,n=3}+P代=3】=2}=-
9
P{X=3Y=3}=P{max（qn）=3,minG*）=3}=P[E=3卩=3}J
9
所以（X,Y）的联合分布律:
解设X1>X2、X3分别为三个元件的寿命（无故障工作的时间），则T=min{X1,X2，X3}，
依题设Xj的概率密度为
而相应的分布函数为
.x
Fid）"1-eNx>0
x
x=1—e7）
L0,其他
（当X〉0时，有Fi（x）=Te%x—e
」0Z
因为X1＞X2、X3相互独立，当t》0时，有
F（t）=P{Tt}=1-P{min（Xi,X2,X3）At}
=1-P{XiAt,X2>t,X3At}
=1-P{XiAt厂P{X2At}P{X3At}=1—[1_P{Xi=1—[1—F1（t）]{1-F2（t）]■[^F3（t）]
t3t
=1-（e约3=1-e人
所以T的分布函数为
厂jt
FuJ—e"t〉0
I0,其他
24.假设随机变量丫服从参数为几=1的指数分布，随机变量
Xk
0,若丫兰k
11,若丫＞k
若k=1,2，求（X1,X2）的联合分布率和边缘分布率。
解据已知，有
f丫（y）T爲0
X1-
d1
[1,若丫>1
P，若丫＜2
[1,若丫2
PVXj=0,X2=0}=P{Y<1,丫<2}=P{Y<1}=*e—ydy=1-e」
P{Xi=0,X2=1}=P{Y<1Y>2}=P{4}=0
2
P{X1=1,X2=0}=P{Y〉1丫<2}=P{1cY<2}=Le」dy=e-*-e工
P{Xi=1,X2=1}=P{Y〉1Y>2}=P{Y>2}
◎dy=e，
0
1
0
-1
1-e
0
1
」_2
e-e
_2e
X2的边缘分布律分别为：
X1
0
1
P
1-e°
-4e
X2
0
1
P
1-e^
e
设随机变量X与丫相互独立,
X-N（0,1）:
，Y~N（0,
而Xi、
求Z
25.
故（XjX2）的联合分布律为
=JX2+丫2的分布函数
与概率密度。
解据已知，有
x2
1
e2（二二fe2（二5＜母）
因为X与Y相互独立，故（X,Y）的联合概率密度为
1
f（x,y）=fx（x）fY（y）=——e2
为求Z的概率密度，先求其分布函数F（Z）:
VZ亡R，设
D={（x,y）Jx?
+y2=0
F（z）=P{Z当zcO时，F（z）=P{Z当z>0时,
F（z）=JJf（x,y）dxdy
D
x+
2dxdy
2兀z丄:
2」叫2rdr
•0
丄2
"2兀
2i[—eWe
~2
所以Z=Jx2+Y2分布函数为
而概率密度为
5的指数分布；首先开动其中一台,
T的概率密度f（t）。
26.两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间都服从参数为
当其发生故障工作时停用而另一台自动开动。
试求两台记录仪无故障工作的总时间
解设X、Y分别为两台记录仪无故障工作的时间，则T=X+Y，依题设有
1冷c£/\j_e5,X>0fx（x）詔5
10,x<0
1Wcf、J—e5,y>0，fY（y）=«5
I0,y"
fx（x）fY（t-x）dx
因为X与Y相互独立，当tA0时，利用卷积公式，有
坯t
f（t）=LfX（X）fY（t—X）dx=J0
x
-5
1
）dx=——e
_t
"5
所以T的概率密度
r1上
£/*\!
—te5,t>0
f（t）={25
丨0,t兰0
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