苏教版数学必修3 第1章 14 算法案例.docx
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苏教版数学必修3第1章14算法案例
1.4 算法案例
1．通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献．（重点）
2．能综合运用所学的算法知识，解决实际问题，会用自然语言、流程图和伪代码表达问题的算法过程．（重点、难点）
[基础·初探]
教材整理1 “韩信点兵—孙子问题”的算法
阅读教材P26～P27“案例2”以上内容，完成下列问题．
1．问题名称：
人们将“韩信点兵——孙子问题”这种问题的通用解法称为“孙子剩余定理”或“中国剩余定理”．
2．问题解法：
“孙子问题”相当于求关于x，y，z的不定方程组
的正整数解．
不定方程5x＋2y＝12的正整数解为________．
【解析】 方程变形为y＝6－
x（x＞0）．
∴0＜x＜
，又∵x∈N*，∴x＝1,2.
当x＝1时，y＝6－
＝
不是整数；
当x＝2时，y＝6－
×2＝1.
【答案】
教材整理2 辗转相除与更相减损
阅读教材P27“案例2”～P29的内容，完成下列问题．
1．辗转相除法求两个正整数a，b的最大公约数的步骤是：
（1）计算出a÷b的余数r，若r＝0，则b即为a，b的最大公约数；
（2）若r≠0，则把前面的除数b作为新的被除数，把余数r作为新的除数，继续运算，直到余数为0，此时的除数即为a，b的最大公约数．
2．更相减损术求两个正整数的最大公约数的步骤：
第一步 任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步；
第二步 以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
3．两个常用函数：
（1）Mod（a，b）表示a除以b所得的余数．
（2）Int（x）表示不超过x的最大整数．
填空：
【导学号：
11032022】
（1）Mod（8,3）＝________.
【解析】 Mod（8,3）表示8除以3所得的余数．
∵8＝2×3＋2，∴Mod（8,3）＝2.
【答案】 2
（2）两个整数490和910的最大公约数是________．
【解析】 490＝72×2×5,910＝13×7×2×5，
∴最大公约数为7×2×5＝70.
【答案】 70
教材整理3 用二分法求方程近似解
阅读教材P30～P31“练习”以上部分，并完成下列问题．
求方程f（x）＝0在区间[a，b]上的近似解的步骤：
S1 取[a，b]的中点x0＝
（a＋b），将区间一分为二；
S2 若f（x0）＝0，则x0就是方程的根，否则判断根x*在x0的左侧还是右侧：
若f（a）f（x0）>0，则x*∈（x0，b），以x0代替a；
若f（a）f（x0）<0，则x*∈（a，x0），以x0代替b；
S3 若|a－b|判断正误：
（1）用二分法求方程的近似解，应先判断方程在给定区间上是否有解．（ ）
（2）二分法求方程近似解的过程是一个多次重复的过程，故可用循环结构处理．（ ）
（3）用二分法求方程近似解时，需要对中点（端点）处的函数值的符号进行判断，故实现算法需用选择结构，即用条件语句进行选择．（ ）
【解析】
（1）√，
（2）√，（3）√.由二分法求方程近似解的步骤可知
（1）
（2）（3）都正确．
【答案】
（1）√
（2）√ （3）√
[小组合作型]
“韩信点兵——孙子问题”
有3个连续的自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，求满足要求的一组3个连续的自然数，画出流程图，并用伪代码表示算法．
【精彩点拨】
→
→
→
【自主解答】 流程图如图所示．
伪代码如下：
解决此类问题的方法就是从m＝2开始，对每一个正整数逐一检验，当m满足所有的已知条件时，则结束循环，输出m.
[再练一题]
1．如图1 4 1所示的流程图，输出的结果是________．
图1 4 1
【解析】 m＝10时，不满足条件，则m←10＋7.m＝17时，Mod（m,3）＝2且Mod（m,5）＝2成立，故输出17.
【答案】 17
求最大公约数
设计用辗转相除法求8251与6105的最大公约数的算法，并画出流程图，写出伪代码．
【精彩点拨】 根据辗转相除法的步骤设计算法，然后画出流程图，写出伪代码．
【自主解答】 算法如下：
S1 a←8251；
S2 b←6105；
S3 如果Mod（a，b）≠0，那么转S4，否则转S7；
S4 r←Mod（a，b）；
S5 a←b；
S6 b←r，转S3；
S7 输出b.
流程图与伪代码：
辗转相除法是一个多次循环的过程，当大数被小数除尽时，结束除法运算，此时较小的数就是两个整数的最大公约数.
[再练一题]
2．求324,243,270的最大公约数.
【导学号：
11032023】
【解】 324＝243×1＋81,243＝81×3，所以324与243的最大公约数为81，又270＝81×3＋27,81＝27×3，故81与270的最大公约数为27，综上可知，324,243,270这三个数的最大公约数为27.
[探究共研型]
二分法求方程的近似解
探究1 设计用二分法求方程近似解的算法的基本思想是什么？
在算法中要用到怎样的结构？
【提示】 算法的设计思想是：
如果估计出方程f（x）＝0在某个区间[a，b]内有一个根x0，则就可以用二分法求得符合误差限制要求的近似解．
由于二分法求解是一个多次循环的过程，因此在算法的设计中要用到循环结构，从而必含有条件结构．
探究2 用二分法求方程log2x＝3－x在区间[a，b]内的一个近似解（误差不超过0.001）时，利用循环语句“Do…EndDo”编写伪代码，其循环的终止条件是什么？
【提示】 由二分法的求解过程知终止条件是
|a－b|＜0.001.
设计用二分法求方程x3－2＝0在区间[1,2]内的近似解（误差不超过0.005）的流程图，写出伪代码．
【精彩点拨】 先回忆用二分法求近似解的步骤，然后由步骤画出流程图，最后写出算法的伪代码．
【自主解答】 流程图如图：
伪代码如下：
用二分法求方程的近似解就是逐步把“解”所在的区间缩短，直到近似解或方程的解所在的区间的长度小于误差为止.因此求方程的近似解时，一定要给出精确度.
[再练一题]
3．流程图1 4 2表示的算法的功能是________．
图1 4 2
【解析】 由流程图知，该算法的功能是用二分法求方程x2－3x＋1＝0在区间[0,1]内的近似解，误差不超过0.001.
【答案】 用二分法求方程x2－3x＋1＝0在区间[0,1]内的一个近似解（误差不超过0.001）
1．Int
＋Mod（80,3）的值为________.
【导学号：
11032024】
【解析】 ∵Int
＝10,80＝26×3＋2，Mod（80,3）＝2，
∴Int
＋Mod（80,3）＝12.
【答案】 12
2．已知一个班的学生人数在30至56之间，现按3人一排，多出1人；按5人一排，多出3人；按7人一排，多出1人，则该班人数为________．
【解析】 设此班有m人，问题转化为解关于x、y、z的不定方程组
又m∈（30,56），
故m的值为43.
【答案】 43
3．图1 4 3表示的流程图，输出的结果是________．
图1 4 3
【解析】 第一次执行循环体：
r＝34，a＝119，b＝34，第二次执行循环体：
r＝17，a＝34，b＝17.第三次执行循环体：
r＝0，a＝17，b＝0，输出b＝0.
【答案】 0
4．给出下面的说法：
①若f（a）f（b）<0（a≠b），则方程f（x）＝0在区间（a，b）上一定有根；
②若f（a）f（b）>0（a≠b），则方程f（x）＝0在区间（a，b）上一定没有根；
③连续不间断的函数y＝f（x），若f（a）f（b）<0（a≠b），则方程f（x）＝0在区间（a，b）上只有一个根．其中不正确的说法有________个．
【解析】 ①的反例：
f（x）＝
区间：
（－1,1）．
②的反例：
图象为
区间：
（－1,2）．
③若y＝f（x）在区间（a，b）上单调，则f（x）＝0在区间（a，b）上只有一个根，否则，可能有2个以上的根．
【答案】 3
5．设计求被6除余4，被10除余8，被9除余4的最小正整数的算法流程图，并写出伪代码．
【解】 流程图如下：
伪代码如下：
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