传输矩阵法.docx

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传输矩阵法

传输矩阵法

一、传输矩阵法概述

1.传输矩阵

在介绍传输矩阵的模型之前，首先引入一个简单的电路模型。

如图1（a）所示，

在（a）中若已知A点电压及电路电流，则我们只需要知道电阻R，便可求出B点电压。

传输矩阵具有与电阻相同的模型特性。

（a）

（b）

图1传输矩阵模型及电路模拟模型

如图1（b）所示，有这样的关系式存在：

E0=M（z）E1。

M（z）即为传输矩阵，它将介质前后空间的电磁场联系起来，这与电阻将A、B两点的电势联系起来的实质是相似的。

图2多层周期性交替排列介质

传输矩阵法多应用于多层周期性交替排列介质（如图2所示），M（z）反映的介质前后空间电磁场之间的关系，而其实质是每层薄膜特征矩阵的乘积，若用表示第j层的特征矩阵，则有：

（1）

其中，

（2）

为相位厚度，有（3）

如公式

（2）所示，的表示为一个2×2的矩阵形式，其中每个矩阵元都没有任何实际物理意义，它只是一个计算结果，其推导过程将在第二部分给出。

2.传输矩阵法

在了解了传输矩阵的基础上，下面将介绍传输矩阵法的定义：

传输矩阵法是将磁场在实空间的格点位置展开，将麦克斯韦方程组化成传输矩阵形式，变成本征值求解问题。

从其定义可以看出，传输矩阵法的实质就是将麦克斯韦方程转化为传输矩阵，也就是传输矩阵法的建模过程，具体如下：

利用麦克斯韦方程组求解两个紧邻层面上的电场与磁场，从而可以得到传输矩阵，然后将单层结论推广到整个介质空间，由此即可计算出整个多层介质的透射系数与反射系数。

传输矩阵法的特点：

矩阵元少（4个），运算量小，速度快；关键：

求解矩阵元；适用介质：

多层周期性交替排列介质。

二、传输矩阵的基础理论——薄膜光学理论

1.麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组由四个场量：

D、E、B、H，两个源量：

J、以及反映它们之间关系的方程组成。

而且由媒质方程中的参数、、反映介质对电磁场的影响。

方程组的实质是描述电磁场的传播，即：

一个变化的磁场引起邻近区域的电场变化，而此电场的变化又引起邻近磁场的变化，如此进行下去，便可抽象出电磁场的传播。

如图3所示。

图3电磁场传播的模拟图

将媒质方程带入麦克斯韦方程组，并对方程组求解可得以下两个重要结论：

1）（4）

式（4）中，N即为介质的光学导纳，单位为西门子特别说明：

光波段时，约等于1，N数值上等于折射率。

自由空间导纳。

2）（5）

（6）

式（5）为电场的波动方程，与经典波导方程（6）相比可得，通常把光速c与电磁波在介质中速度之比定义为折射率，即得折射率公式：

（7）

2.边界条件及反射折射

电磁波在介质交界处满足切向分量连续的边界条件。

垂直入射时，电场与磁场均与入射面垂直，则它们的切向分量既是本身。

根据边界条件可得：

（8）

式（8）中，上标为+的代表入射波，-表示反射波。

又由导纳定义式（4）可得：

（9）

（10）

将式（9）、（10）代入（8）中，整理可得反射系数定义式：

（11）

r为反射系数，R为反射率。

透射系数原理相同，在此不再推导。

上面讨论的是垂直入射的情况，斜入射时情况类似，只是用修正导纳、代替（11）中的、。

其实，无论电磁波入射情况如何，电磁波只有两种情况：

一种是电场E平行入射面即TM波（P分量），此时电场的切向分量（为入射角），而磁场的切向分量是其本身，因此由（4）式可得：

（12）

将（12）式与（4）式对比可得到P分量的修正导纳，同理可得TE波（S分量）的修正导纳：

（13）

可得一般情况下的反射、透射系数表达式：

（14）

介质的传光特性可以由反射、透射系数所表征，而由以上讨论可知，这两个参数与导纳紧紧联系。

因此，求解介质的传光特性就可以转换为求解导纳问题，

这也是传输矩阵法所解决的核心问题之一。

其实，传输矩阵法就是通过求得介质的导纳，从而得到介质的反射透射系数。

3.传输矩阵

这一部分将应用薄膜光学理论详细推导介质的传输矩阵，以及如何求得介质导纳，根据第一部分传输矩阵的介绍可以知道，它其实是每层特征矩阵的乘积，所以，这一部分的推导就从单层薄膜的特殊矩阵入手，进而推广到整个介质空间推导出介质的传输矩阵。

下面就详细介绍单层薄膜的特殊矩阵。

电磁波通过厚度为d的单层薄膜过程如图4所示。

图4电磁波通过单层薄膜

图5单层薄膜等效为介质面的示意图

薄膜是存在一定厚度的，电磁波从透过薄膜变为的过程，与简单的穿过介质面相比多了个的中间变换，如果可以将与通过导纳直接联系起来，那么薄膜就可以等效为一个介质面（如图5所示），前面所介绍的反射透射公式便可用。

因此，我们第一步完成从薄膜到介质面的等效推导。

令薄膜导纳（介质面1与介质面2的组合导纳）为Y，则可得到薄膜的透射反射系数：

（15）

由式（15）可知，求得Y便可求得r、t。

由导纳定义并对薄膜的第一介质面应用边界连续条件可得：

（16）

（17）

图4中的、表示刚刚穿过介质面一的瞬时状态。

、表示即将穿过介质面二的瞬时状态。

这两个瞬时状态的唯一不同只是因为薄膜厚度引入的相位因子，即有：

（18）

将式（18）代入式（17）中可得式（19），并将其转为矩阵形式（20）：

（19）

（20）

同理，薄膜的第二介质面有如下关系式：

（21）

（22）

（23）

式（20）、（23）分别表示介质面一、二两侧空间电磁场之间的联系，若将式（23）代入式（20）中相乘，则所得到的结果就表示整个薄膜两侧空间电磁场之间的联系，即：

（24）

从式（24）中得到了第一层的特征矩阵：

（25）

（26）

考虑到导纳定义有如式（26）的关系，则可对式（24）进一步化简：

（27）

令为为膜系的特征方程，则有关系式：

（28）

对比式（24）等号左边的形式，由导纳定义可得整个单层薄膜的组合导纳：

（29）

从而由式（15）可求得单层薄膜的反射、透射系数。

至此完成了第一步，即从薄膜到介质面的等效推导。

将将单层得到的结论推广到整个介质空间可得：

（30）

（31）

（32）

（33）

（34）

（35）

式（30）为介质第j层的特征矩阵，需要注意的是特征矩阵的行列式值为1。

由式（32）即可得到整个介质的传输矩阵。

至此，完成了多层介质传输矩阵的建模过程。

值得一提的是，在讨论单层薄膜时，得到单层薄膜的反射率后，若对薄膜的光学厚度H（H=nd，n为薄膜折射率，d为薄膜实际厚度）求导，可得如图6的结果。

从结果中我们可以看出，在厚度为时，反射率根据折射率的不同可达到最大或最小值。

图6反射率与光学厚度的关系

三、传输矩阵法的应用举例

传输矩阵法的典型应用是对多层周期性交替排列介质的分析，具有这样结构的器件实例有：

光子晶体、光栅、量子阱结构、DBR结构器件等。

具体应用过程请参见文献《传输矩阵法分析一维光子晶体的传光特性》。

四、小结

（1）传输矩阵法概念：

将麦克斯韦方程组转换为传输矩阵的形式，应用传输矩阵分析的计算方法。

（2）传输矩阵：

形式为每层特征矩阵的乘积。

（3）典型应用：

多层周期性交替排列介质。

（4）解决问题：

传光特性（R、T）、场强度（E、H）。

注意：

（3）、（4）共同决定传输矩阵法对所研究问题的适用性。

（5）重要结论：

导纳N、折射率定义，光波段下，导纳无意义，它就是折射率。

（6）传输矩阵的推导（薄膜光学理论）是繁琐的，但实际应用中可忽略推导，直接应用结论式（30）—（35）。

（7）用传输矩阵法求解问题过程：

1）应用已有结论式（30）—（35）建立介质模型并求解：

2）建立实际问题的模型。

3）模型整合。

（8）额外的结论：

薄膜厚度选为的原因。

参考文献

[1]唐晋发，郑权.应用薄膜光学.上海科学技术出版社.1984:

1-51.

[2]贾习坤.基于传偷矩阵法对垂直腔半导体光放大器小信号增益特性的研究.西南交通大学.2002:

6-13

[3]匡萃方,张志峰.传输矩阵法分析一维光子晶体的传光特性.激光杂志.2003,（24）4:

38-39.