完整版高中数学参数方程知识点大全.docx
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完整版高中数学参数方程知识点大全
高考复习之参数方程
一、考纲要求
1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.
2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.
二、知识结构
1.直线的参数方程
（1）标准式过点Po（x0,y0），倾斜角为α的直线l（如图）的参数方程是
（t为参数）
（2）一般式过定点P0（x0,y0）斜率k=tgα=
的直线的参数方程是
（t不参数）②
在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a2+b2=1,②即为标准式，此时，｜t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b2≠1，则动点P到定点P0的距离是
｜t｜.
直线参数方程的应用设过点P0（x0,y0）,倾斜角为α的直线l的参数方程是
（t为参数）
若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则
（1）P1、P2两点的坐标分别是
（x0+t1cosα,y0+t1sinα）
（x0+t2cosα,y0+t2sinα）；
（2）｜P1P2｜=｜t1-t2｜;
（3）线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则
t=
中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜
｜
（4）若P0为线段P1P2的中点，则
t1+t2=0.
2.圆锥曲线的参数方程
（1）圆圆心在（a,b），半径为r的圆的参数方程是
（φ是参数）
φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，φ∈［0,2π］（见图）
（2）椭圆椭圆
（a＞b＞0）的参数方程是
（φ为参数）
椭圆
（a＞b＞0）的参数方程是
（φ为参数）
3.极坐标
极坐标系在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴.
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.
点的极坐标设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对（ρ,θ）叫做M点的极坐标.（见图）
极坐标和直角坐标的互化
（1）互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；
②极轴与x轴的正半轴重合
③两种坐标系中取相同的长度单位.
（2）互化公式
三、知识点、能力点提示
（一）曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化
例1在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.
解：
将圆的方程化为参数方程：
（
为参数）
则圆上点P坐标为（2+5cos
，1+5sin
），它到所给直线之距离d=
故当cos（φ-θ）=1，即φ=θ时，d最长，这时，点A坐标为（6，4）；当cos（φ-θ）=-1,即θ=φ-π时，d最短，这时，点B坐标为（-2，2）.
（二）极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化
说明这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.
例2极坐标方程ρ=
所确定的图形是（）
A.直线B.椭圆C.双曲D.抛物线
解：
ρ=
（三）综合例题赏析
例3椭圆
（）
A.（-3，5），（-3，-3）B.（3，3），（3，-5）
C.（1，1），（-7，1）D.（7，-1），（-1，-1）
解：
化为普通方程得
∴a2=25,b2=9,得c2＝１６,c=4.
∴F（x-3,y+1）=F（0,±4）
∴在xOy坐标系中，两焦点坐标是（3，3）和（3，-5）.
应选B.
例4参数方程
A.双曲线的一支，这支过点（1，
）B.抛物线的一部分，这部分过（1，
）
C.双曲线的一支，这支过（-1，
）D.抛物线的一部分，这部分过（-1，
）
解：
由参数式得x2=1+sinθ=2y（x＞0）
即y=
x2（x＞0）.
∴应选B.
例5在方程
（θ为参数）所表示的曲线一个点的坐标是（）
A.（2,-7）B.（
，
）C.（
，
）D.（1，0）
解：
y=cos2
=1-2sin2
=1-2x2
将x=
代入，得y=
∴应选C.
例6下列参数方程（t为参数）与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是（）
A.
B.
C.
D.
解：
普通方程x2-y中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A.和B.
C.中y=
=ctg2t=
=，即x2y=1，故排除C.
∴应选D.
例7曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化成直角坐标方程为（）
A.x2+（y+2）2=4B.x2+（y-2）2=4C.（x-2）2+y2=4D.（x+2）2+y2=4
解：
将ρ=
，sinθ=
代入ρ=4sinθ，得x2+y2=4y，即x2+（y-2）2=4.
∴应选B.
例8极坐标ρ=cos（
）表示的曲线是（）
A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆
解：
原极坐标方程化为ρ=
（cosθ+sinθ）
=ρcosθ+ρsinθ，
∴普通方程为
（x2+y2）=x+y，表示圆.
应选D.
例9在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的条直线的方程是（）
A.ρsinθ=2B.ρcosθ=2
C.ρcosθ=-2D.ρcosθ=-4例9图
解：
如图.
⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥OX,OA为直径，｜OA｜=4,l和圆相切，
l交极轴于B（2，0）点P（ρ,θ）为l上任意一点，则有
cosθ=
，得ρcosθ=2，
∴应选B.
例104ρsin2
=5表示的曲线是（）
A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线
解：
4ρsin2
=5
4ρ·
把ρ=
ρcosθ=x，代入上式，得
2
=2x-5.
平方整理得y2=-5x+
.它表示抛物线.
∴应选D.
例11极坐标方程4sin2θ=3表示曲线是（）
A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线
解：
由4sin2θ=3,得4·
＝3,即y2=3x2，y=±
它表示两相交直线.
∴应选B.
四、能力训练
（一）选择题
1.极坐标方程ρcosθ=
表示（）
A.一条平行于x轴的直线B.一条垂直于x轴的直线
C.一个圆D.一条抛物线
2.直线：
3x-4y-9=0与圆：
的位置关系是（）
A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心
3.若（x，y）与（ρ，θ）（ρ∈R）分别是点M的直角坐标和极坐标，t表示参数，则下列各组曲线：
①θ=
和sinθ=
；②θ=
和tgθ=
，③ρ2-9=0和ρ=3；④
其中表示相同曲线的组数为（）
A.1B.2C.3D.4
4.设M（ρ1，θ1），N（ρ2，θ2）两点的极坐标同时满足下列关系：
ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=0，则M，N两点位置关系是（）
A.重合B.关于极点对称C.关于直线θ=
D.关于极轴对称
5.极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是（）
A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线
6.经过点M（1，5）且倾斜角为
的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是（）
A．
B.
C.
D.
7.将参数方
（m是参数，ab≠0）化为普通方程是（）
A.
B.
C.
D.
8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin（θ+
），则圆心的极坐标和半径分别为（）
A.（1,
）,r=2B.（1,
）,r=1C.（1,
）,r=1D.（1,-
）,r=2
9.参数方程
（t为参数）所表示的曲线是（）
A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线
10.双曲线
（θ为参数）的渐近线方程为（）
A.y-1=
B.y=
C.y-1=
D.y+1=
11.若直线
（（t为参数）与圆x2+y2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为（）
A.
B.
C.
或
D.
或
12.已知曲线
（t为参数）上的点M，N对应的参数分别为t1，t2，且t1+t2=0，那么M，N间的距离为（）
A.2p（t1+t2）B.2p（t21+t22）C.│2p（t1-t2）│D.2p（t1-t2）2
13.若点P（x，y）在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M（-2xy，y2-x2）也在单位圆上运动，其运动规律是（）
A.角速度ω，顺时针方向B.角速度ω，逆时针方向
C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω，逆时针方向
14.抛物线y=x2-10xcosθ+25+3sinθ-25sin2θ与x轴两个交点距离的最大值是（）
A.5B.10C.2
D.3
15.直线ρ=
与直线l关于直线θ=
（ρ∈R）对称，则l的方程是（）
A．
B．
C．
D．
（二）填空题
16.若直线l的参数方程为
（t为参数），则过点（4，-1）且与l平行的直线在y轴上的截距为
.
17.参数方程
（
为参数）化成普通方程为.
18.极坐标方程ρ=tgθsecθ表示的曲线是.
19.直线
（t为参数）的倾斜角为；直线上一点P（x，y）与点M（-1，2）的距离为.
（三）解答题
20.设椭圆
（θ为参数）上一点P，若点P在第一象限，且∠xOP=
，求点P的坐标.
21.曲线C的方程为
（p＞0，t为参数），当t∈［-1，2］时，曲线C的端点为A，B，设F是曲线C的焦点，且S△AFB=14，求P的值.
22.已知椭圆
=1及点B（0，-2），过点B作直线BD，与椭圆的左半部分交于C、D两点，又过椭圆的右焦点F2作平行于BD的直线，交椭圆于G，H两点.
（1）试判断满足│BC│·│BD│=3│GF2│·│F2H│成立的直线BD是否存在?
并说明理由.
（2）若点M为弦CD的中点，S△BMF2=2，试求直线BD的方程.
23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线
（θ为参数）的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为
，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.
24.A，B为椭圆
=1，（a＞b＞0）上的两点，且OA⊥OB，求△AOB的面积的最大值和最小值.
25.已知椭圆
=1，直线l∶
=1，P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足│OQ│·│OP│=│OR│2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线.
参考答案
（一）1.B2.D3.C4.C5.B6.A7.A8.C9.B10.C11.C12.C13.C14.C15.D
（二）16.-
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