A.0B.1C.2D.3
2+bx+c(a≠0图)象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、
8.如图,若二次函数y=ax
点B(﹣1,0),则
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①二次函数的最大值为a+b+c;②a﹣b+c<0;
③b2﹣4ac<0;④当y>0时,﹣1<x<3.
其中正确的个数是()
A.1B.2C.3D.4
11.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示,顶点坐标为(-2,-9a),下列结论:
①4a+2b+c>0;②5a-b+c=0;③若方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根x1和x2,且x1<x2,则-5<x1
2+bx+c|=1有四个根,则这四个根的和为-4.其中正确的结论有()
<x2<1;④若方程|ax
A.1个B.2个C.3个D.4个
12.已知二次函数y=x2-x+
2-x+
1
4
m-1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是()
A.m≤5B.m≥2C.m<5D.m>2
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二次函数的综合应用
考点1:
线段、周长问题
13.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1),如图,直
线y=x与抛物线交于A、B两点,直线l为y=﹣1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在l上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,
请说明理由.
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14.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0),B(4,0),C(0,3)三点,D为直线BC上
方抛物线上一动点,DE⊥BC于E.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图1,求线段DE长度的最大值;
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2
3.如图1,抛物线y=﹣x+bx+c交x轴于点A(,0)和点B,交y轴于点C(0,4),一次函数y=kx+m
的图象经过点B,C,点P是抛物线上第二象限内一点.
(1)求二次函数和一次函数的表达式;
(2)过点P作x轴的平行线交BC于点D,作BC的垂线PM交BC于点M,设点P的横坐标为t,△PDM
的周长为l.
①求l关于t的函数表达式;
②求△PDM的周长的最大值时点P的横坐标;
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考点2:
图形面积问题
15.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(﹣4,0)、B(2,0),
交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,﹣2),连接AE.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点,求△ADE面积的最大值;
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16.如图,抛物线y=a(x-1)(x-3)(a>0)与x轴交于A、B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,
且使△OCA∽△OBC.
(1)求线段OC的长度;
(2)设直线BC与y轴交于点M,点C是BM的中点时,求直线BM和抛物线的解析式;
(3)在
(2)的条件下,直线BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC面积最大
?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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考点3:
特殊三角形的存在性问题
17.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(﹣4,0)、B(2,0),交
y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,﹣2),连接AE.
(1)求二次函数的表达式;
(2)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP为等腰三角形?
若存在,请直接写出所有P点
的坐标,若不存在请说明理由.
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18.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(﹣1,0)B(3,0)两点,
与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式;
(2)试探究:
在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是
直角三角形?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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考点4:
特殊四边形的存在性问题
19.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(3,0),B(﹣1,0),C(0,﹣3).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点Q在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行
四边形?
若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由
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20.如图1所示,直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,抛物线y=-x2+bx+c经
过点A,C.
(1)求抛物线的解析式;
()如图2所示,M是线段OA上一个动点,过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别
交于点P、N.②若点P恰好是线段MN的中点,点F是直线AC上一动点,在坐标平面内是否
存在点D,使以点D,F,P,M为顶点的四边形是菱形?
若存在,请直接写出点D坐标,若
不存在请说明理由.
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21.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=a-2ax-3a与x轴交于A,B两点(点A在点B
的左侧),经过点A的直线y=kx+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且
CD=4AC.
⑴求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴。
(2)设P是抛物线对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否
成为矩形?
若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由。
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考点5:
相似三角形的存在性问题
22.如图1所示,直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,抛物线y=-x
2+bx+c经过
点A,C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2所示,M是线段OA上一个动点,过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分
别交于点P、N.若以C,P,N为顶点的三角形与相似,求CPN的面积.
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