完整版中学《生活中的数学》校本课程教材doc.docx
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《生活中的数学》校本课程
第一讲：
生活中的趣味数学
第二讲：
数学中的悖论
第三讲：
对称——自然美的基础
第四讲：
斐波那契数列
第五讲：
龟背上的学问
第六讲：
巧用数学看现实
第七讲：
运用数学函数方程解决生活中的问题
第八讲：
生活中的优化问题举例
第一讲：
生活中的趣味数学
1．“荡秋千”问题：
我国明朝数学家程大位（1533～1606年）写过一本数学著作叫做《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语大意是：
有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（每5
尺为一步），秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，试问它有多长？
下面我们用勾股定理知识求出答案：
如图，设绳索AC=AD=x（尺），则AB=（x+1）-5（尺），BD=10（尺）
在Rt△ABD中，由勾股定理得
2
2
2
2
2
2
AB+BD=AD，即（x-4
）+10=x，
解得x=14.5，即绳索长为14.5
尺．
2．方程的应用：
小青去植物园春游，回来以后爸爸问他春游花掉多少钱。
小青并不直接回答，却调皮地说：
“我带出去的钱正
好花了一半，剩下的元数是带出去角数的一半，剩下的角数与带出去元数相同。
”爸爸踌躇一下，有些为难。
你能否帮助他把钱数算出来，小青到底带了多少钱？
花了多少钱？
还剩多少钱？
方法一：
设带出去x元,y角.根据"剩下的元数是带出去角数的一半"知道y是偶数
花了的钱分x为奇数与偶数情况
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（1）x是奇数时候,花一半就是花了=剩下=（x-1）/2元,（y/2+5）角
根据后面两句话知道,剩下=y/2元,x角
有二元一次方程组:
（x-1）/2=y/2,y/2+5=x解得x=9,y=8
（2）x是偶数时候,花一半就是花了=剩下=x/2元,（y/2+5）角剩下的同上面情况
有二元一次方程组:
x/2=y/2,y/2+5=x解得x=y=10但是没有10角钱说法不符合实际（舍）
∴答案是9元8角
方法二：
设带出去X元Y角，还剩a元b角
按照用掉一半还剩一半的等式：
10a+b=（10x+y）/2
又因为：
a=y/2
b=x
带入等式化简即可得：
x/y=9/8
因为y只能是小于10的整数
所以，小青带了9元8角！
用了4元9角，还剩4元9角！
3．工资的选择：
假设你得到一份新的工作，老板让你在下面两种工资方案中进行选择：
（A）工资以年薪计，第一年为4000美元以后每年加800美元；
（B）工资以半年薪计，第一个半年为2000美元，以后每半年增加200美元。
你选择哪一种方案？
为什么？
答案：
第二种方案要比第一种方案好得多
4．我们大家一起来试营一家有80间套房的旅馆，看看知识如何转化为财富。
经调查得知，若我们把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人。
每间住了人的
客房每日所需服务、维修等项支出共计40元。
问题：
我们该如何定价才能赚最多的钱？
答案：
日租金360元。
虽然比客满价高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收
入；扣除50间房的支出40*50=2000元，每日净赚16000元。
而客满时净利润160*80-40*80=9600元。
当然，所
谓“经调查得知”的行情实乃本人杜撰，据此入市，风险自担。
第二讲数学中的悖论
“悖论”也可叫“逆论”，或“反论”，这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛
盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。
悖论有三种主要形式。
1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。
悖论有点像魔术中的变戏法，它使人们在看完之后，几乎没有—个不惊讶得马上就想知道：
“这套戏法是怎么搞成的？
”当把技巧告诉他时，他就会不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界之中。
正因为如此，悖论就成了一种十分有价值的教学手段。
悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分，这一分支以“趣味数学”知名于世。
这就是说它
带有强烈的游戏色彩。
然而，切莫以为大数学家都看不起“趣味数学”问题。
欧拉就是通过对bridge-crossing之谜的分析打下了拓扑学的基础。
莱布尼茨也写到过他在独自玩插棍游戏（一种在小方格中插小木条的游戏）时分析
问题的乐趣。
希尔伯特证明了切割几何图形中的许多重要定理。
冯·纽曼奠基了博弈论。
最受大众欢迎的计算机游戏—生命是英国著名数学家康威发明的。
爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。
悖论一览
1．理发师悖论（罗素悖论）：
某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理
发的人理发。
试问：
理发师给不给自己理发？
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如果理自己理，背了自己的定；如果理不自己理，那么按照他的定，又自己理。
，理陷入了两的境地。
2．芝悖——阿基里斯与：
公元前5世，芝用他的无、以及部分和的知，引出以下著
名的悖：
他提出阿基里斯与之行一跑，并在阿基里斯前1000米开始。
假定阿基里斯能
跑得比快10倍。
比开始，当阿基里斯跑了1000米，仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100
米，依然前于他10米⋯⋯所以，阿基里斯永追不上。
3．者悖：
公元前6世，古希腊克里特的哲学家伊壁尼德斯有如此断言：
“所有克里特人所的每一句都是。
”
如果句是真的，那么也就是，克里特人伊壁尼德斯了一句真，但是却与他的真——所有克里特人所的每一句都是——相悖；如果句不是真的，也就是克里特人伊壁尼德斯了一句，真是：
所有克里特人所的每一句都是真，两者又相悖。
所以怎也以自其，就是著名的者悖。
公元前4世，希腊哲学家又提出了一个悖：
“我在正在的句是真的。
”同上，又是以自其
！
4．跟无限相关的悖：
{1，2，3，4，5，⋯}是自然数集：
{1，4，9，16，25，⋯}是自然数平方的数集。
两个数集能很容易构成一一，那么，在每个集合中有一多的元素？
5．伽利略悖：
我都知道整体大于部分。
由段BC上的点往点A，每一条都会与段DE（D点在AB
上,E点在AC上）相交，因此可得DE与BC一，与矛盾。
什么？
6．谷堆悖：
然，1粒谷子不是堆；
如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆；
如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆；⋯⋯
如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆；
7、“意外刑”悖：
“一名囚犯被法官告知将于周一到周五的某一天被死。
法官并且声明：
刑
的具体日期将是完全出人意料的。
个囚犯非常明（也以前是学教授），他由此推断出他根本不会被
死，什么？
他由此推断出刑一定不会安排在周五，因否的，前四天一他就知道刑的具体日期了，但法官
具体日期会是完全出人意料的。
法官是不会撒的，因此刑不可能在周五。
排除了周五，就只剩下四天
了。
但是依据同的推理，周四也可以被排除掉，...，以此推，最每一天都可以排除掉。
于是他得出令
人欣慰的：
他根本不会被死。
可是到了周二法官却突然宣布行刑，大大出乎了他的意料！
而，恰
恰明法官的确没有撒。
”
1、小丁和小明、小三个小朋友并排在有灰的楼梯上同从上向下走。
小明一步下2，小一步下3
，小丁一步下4，如果楼和楼底均有所有三个人的脚印，那么有一个人脚印的楼梯最少有几？
2、偶数的
在很久以前，一个年的国王要自己的独生公主女婿，一者如云。
国王于是想出了比武招的法。
文、武，三个英俊的小伙子成最后的人。
要从三个分高下的小伙子中出一个女婿来，可真
了国王。
他尽汁想出了一个方法。
国王命人拿出一个4*4的方格，将16枚棋子依次放在16个方格中。
国王三个小伙子：
“在你从１６枚棋子中随便拿去６个，但要保、横行列中留下的都是偶数枚棋子。
三
个小伙子犯了，最后，其中一个小伙子于解开了道，迎娶了公主。
个小伙子是怎解开道的？
第三讲：
对称——自然美的基础
在丰富多彩的物质世界中，对于各式各样的物体的外形，我们经常可以碰到完美匀称的例子。
它
们引起人们的注意，令人赏心悦目。
每一朵花，每一只蝴蝶，每一枚贝
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壳都使人着迷；蜂房的建筑艺术，向日葵上种子的排列，以及植物茎上叶子的螺旋状颁都令我们惊讶。
仔细的观察表明，对称性蕴含在上述各种事例之中，它从最简单到最复杂的表现形式，是大自然形式
的基础。
花朵具有旋转对称的性征。
花朵绕花心旋转适当位置，每一花瓣会占据它相邻花瓣原来的位置，
花朵就自相重合。
旋转时达到自相重合的最小角称为元角。
不同的花这个角不一样。
例如梅花为72°，
水仙花为60°。
“对称”在生物学上指生物体在对应的部位上有相同的构造，分两侧对称（如蝴蝶），
辐射对称（放射虫，太阳虫等）。
我国最早记载了雪花是六角星形。
其实，雪花形状千奇百怪，但又
万变不离其宗（六角星）。
既是中心对称，又是轴对称。
很多植物是螺旋对称的，即旋转某一个角度后，沿轴平移可以和自己的初始位置重合。
例如树
叶沿茎杆呈螺旋状排列，向四面八方伸展，不致彼此遮挡为生存所必需的阳光。
这种有趣的现象叫叶
序。
向日葵的花序或者松球鳞片的螺线形排列是叶序的另一种表现形式。
“晶体闪烁对称的光辉”，这是俄国学者费多洛夫的名言。
无怪乎在古典童话故事中，奇妙的
宝石交织着温馨的幻境，精美绝伦，雍容华贵。
在王冠上，以其熠熠光彩向世人炫耀，保持永久不衰
的魅力。
第四讲：
斐波那契数列
斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁，人们深信这不是偶然的。
（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：
延龄草、野玫瑰、南美血根草、大
波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。
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（2）察以下花的似花瓣部分，它也具有斐波那契数：
紫宛、大波斯菊、菊。
斐波那契数常与花瓣的数目相合：
3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯百合和蝴蝶花
5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯花斗菜、金花、
燕草
8⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯翠雀花
13⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯金草
21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯紫宛
34，55，84⋯⋯⋯⋯⋯菊
（3）斐波那契数可以在植物的叶、枝、茎等排列中。
例如，在木的枝干上一片叶子，其数0，然后依序点数叶子（假定没有折），直到到达与那息叶子正的位置，其的叶子
数多半是斐波那契数。
叶子从一个位置到达下一个正的位置称一个循回。
叶子在一个循回中旋的圈数也是斐波那契数。
在一个循回中叶子数与叶子旋圈数的比称叶序（源自希腊，意即叶子的排列）比。
多数的叶序比呈斐波那契数的比。
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（4）斐波那契数有时也称松果数，因为连续的斐波那契数会出现在松果的左和右的两种螺旋形
走向的数目之中。
这种情况在向日葵的种子盘中也会看到。
此外，你能发现一些连续的鲁卡斯数吗？
（5）菠萝是又一种可以检验斐波那契数的植物。
对于菠萝，我们可以去数一下它表面上六角形
鳞片所形成的螺旋线数。
斐波那契数列与黄金比值
相继的斐波那契数的比的数列：
它们交错地或大于或小于黄金比的值。
该数列的极限为。
这种联系暗示了无论（尤其在自然现象中）在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，那里也就会出现斐波那契数，反之亦然。
第五讲：
龟背上的学问
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传说大禹治水时，在一次疏通河道中，挖出了一只大龟，人们很是惊讶，争相观看，只见龟背上
清晰刻着图1所示的一个数字方阵。
这个方阵，按《孙子算经》中筹算记数的纵横相间制：
“凡算之法，先识其位。
一纵十横，百立
千僵，千十相望，万百相当。
六不积算，五不单张。
”可译成现代的数字，如图2所示。
方阵包括了九个数字，每一行一与列的数字和均为15，两条对角线上的数也有相同的性质。
当时，
人们以为是天神相助，治水有望了。
后来，人们称刻在龟背上的方阵为“幻方”（国外称为“拉丁方”），
属于组合数学范畴。
使用整数1—9构成的3×3阶“拉丁方”唯一可能的和数是15，这一点只要把这
“拉丁方”中所有数加起来便可证明，1十2十3十4十5十6十7十8十9＝45，要把这几个数分
配到三行（或列）使得每行（或列）有同样的和，那么，每行（或列）的和应为45／3＝150
组合数学是数学中的一个分支，在实际生活中应用很广泛，请看下面的例子。
5名待业青年，有7项可供他们挑选的工作，他们是否能找到自己合适的工作呢?
由于每个人的文
化水平、兴趣爱好及性别等原因，每个人只能从七项工作中挑选某些工种，也就是说每个人都有一张
志愿表，最后根据需求和志愿找到一个合适的工作。
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组合数学把每一种分配方案叫一种安排。
当然第一个问题是考虑安排的存在性，这就是存在问
题；第二个问题是有多少种安排方法，这就是计数问题。
接下去要考虑在众多的安排中选择一种最好
的方案，这就是所谓的“最优化问题”。
存在问题、构造问题、计数问题和最优化问题就构成了全部组合数学的内容。
如果你想了解更多
的组合数学问题，那就要博览有关书籍，你会得到许多非常有趣的知识，会给你许多的启发和教益。
第六讲：
巧用数学看现实
在现实生活中，人们的生活越来越趋向于经济化，合理化．但怎样才能达到这样的目的呢？
在数学活动组里，我就遇到了这样一道实际生活中的问题：
某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行有奖销售：
特等奖10000元1名，一等奖1000元2名，
二等奖100元10名，三等奖5元200名，乙商厦则实行九五折优惠销售。
请你想一想；哪一种销售
方式更吸引人？
哪一家商厦提供给销费者的实惠大？
面对问题我们并不能一目了然。
于是我们首先作了一个随机调查。
把全组的16名学员作为调查
对象，其中8人愿意去甲家，6人喜欢去乙家，还有两人则认为去两家都可以。
调查结果表明：
甲商
厦的销售方式更吸引人，但事实是否如此呢？
在实际问题中，甲商厚每组设奖销售的营业额和参加抽
奖的人数都没有限制。
所以我们认为这个问题应该有几种答案。
一、苦甲商厦确定每组设奖，当参加人数较少时，少于213（1十2＋10＋200=213人）人，人们
会认为获奖机率较大，则甲商厦的销售方式更吸引顾客。
二、若甲商厦的每组营业额较多时，它给顾客的优惠幅度就相应的小。
因为甲商厦提供的优惠金
额是固定的，共14000元（10000＋2000＋1000＋1000=14000）。
假设两商厦提供的优惠都是14000
元，则可求乙商厦的营业额为280000元（14000÷5％=280000）。
所以由此可得：
（l）当两商厦的营业额都为280000元时，两家商厦所提供的优惠同样多。
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（2）当两商厦的都不足280000元，乙商厦的惠小于14000元，所以甲商厦
提供的惠仍是14000元，惠大。
（3）当两家的都超280000元，乙商厦的惠大于14000元，而甲商厦的惠仍保
持14000元，乙商厦所提供的惠大。
像的，我在日常生活中随可。
例如，有两家液化气站，已知每瓶液化气的和量
相同，开始定的价也相同。
了争取更多的用，两站分推出惠政策。
甲站的法是行七五折
售，乙站的法是客自第二次气以后以7折售。
两站的惠期限都是一年。
你作用，
哪家好？
个与前面的有很大相同之。
只要通你所需要的罐数来分析，，便可
迎刃而解了。
随着市的逐步完善，人日常生活中的活越来越丰富多彩。
与，存款与保，
股票与券，⋯⋯都已入我的生活．同与一系列活相关的数学，利比和比例，利息与
利率，与概率。
运筹与化，以及系分析和决策，都将成数学程中的“座上客”。
作跨
世的中学生，我不要学会数学知，而且要会用数学知去分析、解决生活中遇到的．
才能更好地适社会的展和需要。
看票价问题：
某音乐厅五月决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的
2。
3；零售票每张
3
若提前购票，则给予不同程度的优惠。
在五月份内，团体票每张
12元，共售出团体票的
16元，共
5
售出零售票的一半。
如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？
解析：
本题中数量较多，关系复杂，为了便于弄清它们之间的关系首先要分别列出五、六月份售出的团体票、
零售票的张数及票款的代数式。
设总票数为a张，六月份零售票应按每张x元定价，则五月份团体票售出数为：
3
2a
2a，票款收入为：
12
2a
24a（元）
5
3
3
5
5
零售票售出数为：
1
1a
1a，票款收入为：
16
1a
8a
（元）
2
3
6
6
3
六月份团体票所剩票数为：
2
2a
4a，票款收入为：
16
4a
64a（元）
5
3
15
15
15
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零售票所剩票数：
1
1a
1a，票款收入：
1ax
1ax（元）
2
3
6
6
6
根据意，得
24a
8a
24a
1ax
5
3
15
6
解之，得：
x
19.2
19.2
答：
六月份零售票按每
元定价
第七讲运用数学函数方程解决生活中的问题
以社会的生、生活背景的数学用愈来愈受到关注。
由于涉及的背景材料十分广泛，涉及社会生活方方面面，所以要求解者具有丰富的社会常和的理解能力，再加之有些目中名、性太，使多同学望而生畏。
此，本文就列一元一次方程解决生活中的一些数学几例行解析，供同学参考。
一、税
例1依法税是公民尽的。
根据我国税法定，公民全月工、薪金所得不超929元不必税，超
929元的部分全月税所得，此税款按下表累加算：
全月税所得税率
不超500元部分5％
超500元至2000元的部分10％
超2000元至5000元的部分15％
⋯⋯⋯⋯
某人本月税150.1元。
他本月工收入。
解析：
解答本首先要弄清意懂表，从中理解税款是分段算累加求和而得的。
因500×5％＜150.1
＜2000×10％，所以可以判断此人的全月税按表中第一档和第二档累加算。
此人的本月工x元。
根据
意得：
500×5％＋（x－929－500）×10％=150.1
解得，x=2680
即此人的本月工是2680元。
二、售利
例2某企生一种品，每件成本400元，售价510元，本季度售m件。
了一步大市，企决定下季度售价降低4％，售量将提高10％。
要使售利（售价－成本价）保持不，品每
件的成本价降低多少元？
解析：
解答本的关是要弄清降低、提高的百分数的含。
品每件的成本价降低x元，每件降低
后的成本是（400x）元，售价510（1－4％）元，根据意得，
[510（1－4％）－（400x）]（1+10％）m=（510-400）m
解之，得x=10.4
答：
品每件得成本价降低10.4元
三、方案
例3某牛奶加工厂有奶9吨，若在市上直接售奶，每吨可取利500元；制成酸奶售，每吨可
取利1200元；制成奶片售，每吨可取利2000元。
工厂的生能力是：
如制成酸奶，每天可加工3吨；
制成奶片每天可加工1吨；但受人限制，两种加工方式不可同行，又受气温条件限制，批牛奶必在4天
内全部售或加工完。
此，厂了两种可行性方案：
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方案一：
尽可能多的制成奶片，其余直接售牛奶；
方案二：
将一部分制成奶片，其余制成酸奶售，并恰好4天完成。
你哪种方案利最多，什么？
解析：
本看似很复，限制条件多，但如将此分解分求出方案一、方案二的利就很容易解答。
若方案一，利=4×2000+（9－4）×50
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