名师整理最新中考数学专题复习《函数》精品教案.docx

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名师整理最新中考数学专题复习《函数》精品教案

中考数学人教版专题复习：

函数

一、教学内容

平面直角坐标系、一次函数、反比例函数、二次函数四部分．

二、知识要点

1. 平面直角坐标系

（1）平面直角坐标系中各象限、坐标轴上、坐标轴夹角平分线上点的坐标特征．

（2）关于坐标轴、原点对称的点的坐标特征．

y

O

x

2. 一次函数 y＝kx＋b（k≠0）的图象和性质

yy

OxOx

k

3. 反比例函数 y＝x（k≠0）的图象和性质

yy

OxOx

4. 二次函数的图象和性质

1

（1）二次函数的解析式：

①一般式：

 y＝ax2＋bx＋c（a≠0），其顶点坐标是（－

b

2a，

4ac－b2

4a

）．②顶点式：

y＝a（x－h）2＋k（a≠0）．

（2）二次项系数 a 对抛物线的影响：

①当 a＞0 时，抛物线的开口向上；当 a＜0 时，抛物线的开口向下．

②︱a︱的大小决定抛物线的开口大小．︱ a︱越大，抛物线的开口越小，︱ a︱越小，

抛物线的开口越大．

（3）常数项 c 对抛物线的影响：

c 的大小决定抛物线与 y 轴的交点位置．c＝0 时，抛物线过原点；c＞0 时，抛物线与 y

轴交于正半轴；c＜0 时，抛物线与 y 轴交于负半轴．

b

（4）a、b 的符号决定抛物线的对称轴的位置．当－2a＞0 时，对称轴在 y 轴的右方；

b

当－2a＜0 时，对称轴在 y 轴的左方．

（5）b2－4ac 的值决定抛物线与 x 轴的 交点情况．当 b2－4ac＞0 时，有两个交点；当

b2－4ac＝0 时，只有一个交点；当 b2－4ac＜0 时，没有交点．

（6）抛物线 y＝a（x－h）2＋k 的图像可以由 y＝ax2 的图像移动而得到．将 y＝ax2 向上

移动 k 个单位得 y＝ax2＋k；将 y＝ax2 向右移动 h 个单位得 y＝a（x－h）2；将 y＝ax2 先向上

移动 k（k＞0）个单位，再向右移动 h（h＞0）个单位，即得函数 y＝a（x－h）2＋k 的图像．

三、重点难点

本讲重点是一次函数、反比例函数、二次函数的解析式、图像和性质．难点是运用函数

思想和数形结合的思想解决综合问题和实际问题．

四、考点分析

函数知识是历年中考的重点，压轴题往往与函数相关．主要考查的知识点有：

确定函数

表达式、函数图像和性质、综合运用方程、几何、函数等知识解决问题．选择题、填空题占

5 分左右，综合题一般都在 10 分以上．

2

【典型例题】

例 1. 填空题

（1）如果点 M（a＋b，ab）在第二象限，则点 N（a，b）在第__________象限．

解析：

∵M（a＋b，ab）在第二象限，∴a＋b＜0，ab＞0，∴a＜0，b＜0，∴N（a，b）在

第三象限．

444

（2）如图所示，直线 y＝－3x＋4 与 y 轴交于点 A，与直线 y＝5x＋5交于点 B，且直线 y

44

＝5x＋5与 x 轴交于点 

，则ABC 的面积为__________．

y

A

C

D  B

O

x

4441644

解析：

设直线 y＝5x＋5与 y 轴交于点 D．则易求 OD＝5，OA＝4，∴AD＝ 5 ，在 y＝5x＋5中，

3

⎪⎩y＝4x＋4

可求出 B 点的横坐

31131 161 16 3

标为2，∴S△ABC ＝S△ADC＋S△ADB＝2×AD×1＋2×AD×2＝2× 5 ＋2× 5 ×2＝4．

例 2. 选择题

（1）已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像如图所 示，对称轴是 x＝1，则下列结论中正确

的是（）

A．ac＞0B．b＜0C．b2－4ac＜0 D．2a＋b＝0

3

y

Ox

b

解析：

抛物线开口向下，∴a＜0；又∵对称轴为 x ＝1，∴－2a＝1，即 b＝－2a，∴2a＋b

＝0，∴b＞0．又∵抛物线与 x 轴有 2 个交点，∴b2－4ac＞0；因为抛物线与 y 轴交点在 x

轴上方，∴c＞0，即 ac＜0，选项 D 正确．

（2）已知函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像如图所示，那么关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＋2＝0 的根

的情况是（）

A．无实根B．有两个相等实数根

C．有两个异号实数根

D．有两个同号不等实数根

解析：

方程 ax2＋bx＋c＋2＝0 即 ax2＋bx＋c＝－2．从图像上看，当函数y＝ax2＋bx＋c 的函

数值为－2 时，对应的 x 有 2 个不等的正实数根，故选 D．

例 3. 甲车由 A 地出发沿一条公路向 B 地行驶，3 小时到达．甲车行驶的路程 y（千米）

与所用时间 x（时）之间的函数图像如图所示．

（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；

（2）若乙车与甲车同时从 A 地出发，沿同一条公路匀速行驶至 B 地．乙车的速度与甲车

出发 1 小时后的速度相同，在图中画出乙车行驶的路程 y（千米）与所用时间 x（时）的函

数图像．

4

     ⎧k2＋b＝90⎧k2＝60

y

210

180

150

120

90

60

30

O0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4x

分析：

y 与 x 之间的函数关系式分两段表示．

解：

（1）当 0≤x≤1 时，设 y＝k1x（k1≠0）．

∵图像过（1，90），∴k1＝90，∴y＝90x．

当 1＜x≤3 时，设 y＝k2x＋b（k2≠0）．

∵图像过（1，90），（3，210），

∴⎨，∴⎨．

⎩3k2＋b＝210⎩b＝30

∴y＝60x＋30．

（2）图像如图所示．

y

210

180

150

120

90

60

30

O0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4x

k

例 4. 如图所示，Rt△ABO 的顶点 A 是双曲线 y＝x与直线 y＝－x＋（k＋1）在第四象限

5

3

的交点，AB⊥x 轴于 B，且 S△ABO＝2．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）求直线与双曲线的两个交点 A、C 的坐标和△AOC 的面积．

︱k︱

分析：

（1）过双曲线上任意一点向 x 轴或 y 轴作垂线所得直角三角形面积为2，由 S△ABO

3

＝2及 k＜0 便可得 k 值，从而求得两个函数的解析式；

（2）求 A、C 两点的坐标即求直线与

双曲线方程组成方程组的解．而 S

△AOC 的面积可通过分割成两个三角形面积求解．

y

C

B

O

x

D

A

解：

（1）设 A 点坐标为（x，y），∵S

3

△AOB＝2，

⎧x1＝－3  ⎧x2＝1

13

∴2︱xy︱＝2，∴︱k︱＝3，即 k＝±3．

∵点 A 在第四象限，∴k＝－3．

3

∴反比例函数及一次函数解析式分别为 y＝－x，y＝－x－2．

3

（2）由题意，得⎨，

⎪⎩y＝－x－2

解这个方程组得⎨，⎨．

⎩y1＝1⎩y2＝－3

∴点 A 的坐标为（1，－3），点 C 的坐标为（－3，1）．

如图所示，设直线 AC 与 y 轴交于点 D，则 D 点的坐标为（0，－2），

S

AOC＝S

△AOD＋S

1      1

△COD＝2×2×1＋2×2×3＝4．

6

例 5. 如图所示，足球场守门员在 O 处开出一高球，球从离地面 1 米的 A 处飞出（A 在

y 轴上），运动员乙在距 O 点 6 米的 B 处发现球在自己正上方达到最高点 M，距地面约 4 米

高，球落地后又一次弹起，据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，

最大高度减少到原来最大高度的一半．

（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；

（2）足球第一次落地点 C 距守门员多少米？

（取 4 3＝7）

（3）运动员乙要抢到第二个落点 D，他应再向前跑多少米？

（取 2 6＝5）

y

2N

1 A

OBCD x

解：

（1）设第一次落地前抛物线为 y＝a（x－6）2＋4．

1

∵其过点 A（0，1），∴a（0－6）2＋4＝1，∴a＝－12．

1

∴抛物线表达式为 y1＝－12（x－6）2＋4．

1

（2）当 y1＝0 时，有－12（x－6）2＋4＝0，

解得 x＝4 3＋6≈13（米）（取正根）．

即第一次落地点 C 到守门员的距离为 13 米．

1

（3）由

（1）y1＝－12（x－6）2＋4 得 C 点（13，0），

1

设抛物线 CND 的表达式为 y2＝－12（x－k）2＋2，

1

当 x＝13，y2＝0 时，有－12（13－k）2＋2＝0，

解得 k＝13＋2 6≈18（米）（取正根），

7

1

∴有 y2＝－12（x－18）2＋2．

1

对此当 y2＝0 时，有－12（x－18）2＋2＝0，

解得 x＝18＋2 6≈23（米）（取正根），

∴BD＝OD－OB＝23－6＝17（米）．

所以运动员乙应再向前跑 17 米．

评析：

先要集中精力求抛物线 y1，解决

（1）的表达式，其中 OA＝1 米，BM＝4 米，OB＝6

米是关键词．选择顶点式求简化运算；再求落地点 C（13，0）既是 y1 的终点，也是 y2 的起

点，这样也就打开解题局面．这类综合题呈阶梯递进，前面的结论常为后面问题的条件，宜

逐阶打开局面，步步逼进．

例 6. 某蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1 月份至 6 月份这种蔬菜的上市

时间 x（月份）与市场售价 p（元/千克）的关系如下表：

上市时间 x（月份）123456

市场售价 p（元/千克） 10.5 9 7.5 6 4.5 3

这种蔬菜每千克的种植成本 y（元/千克）与上市时间 x（月份）满足一个函数关系，这个

函数的图像是抛物线的一段（如图所示）．

（1）写出上表中表示的市场售价 p（元/千克）关于上市时间 x（月份）的函数关系式；

（2）若图中抛物线过 A、B、C 点，写出抛物线对应的函数关系式；

（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？

最大值为多少？

（收

益＝市 场售价－种植成本）

分析：

由图表易求二次函数、一次函数解析式，用含 x 的关系式表示收益，运用函数性质求

解最值．

8

y

8

7

6

5

A

4

3

2

B

C

1

O1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

解：

（1）根据表中数据可知，p 与 x 之间符合一次函数，

所以设市场售价 p 关于上市时间 x 的函数关系式为 p＝kx＋b（k≠0）．

⎧k＋b＝10.5⎧k＝－1.5

由题意得⎨，解得⎨

⎩2k＋b＝9⎩b＝12

故市场售价 p 关于上市时间 x 的关系式为 p＝－1.5x＋12．

（2）设图中抛物线解析式为 y＝ax2＋bx＋c（a≠0），

⎪⎩

⎧4a＋2b＋c＝6

由题意得⎨16a＋4b＋c＝3

⎩36a＋6b＋c＝2

⎧a＝4

，解得⎨b＝－3

c＝11

．

1

所以抛物线对应的函数关系式为 y＝4x2－3x＋11．

（3）设每千克的收益为 w 元，

11

则由题意知 w＝p－y＝－1.5x＋12－（ 4x2－3x＋11）＝－4x2＋1.5x＋1，

b

由二次函数的性质知，当 x＝－2a＝3 时有最大收益，最大收益为 3.25 元．

所以，3 月份上市出售蔬菜每千克收益最大，最大值为 3.25 元．

（

评析：

（1）发现 p 与 x 成一次函数关系的方法是比较每月份 p 值成等差下降，进而归纳其函

数为直线（0≤x≤6 且 x 为正整数）； 2）确立抛物线表达式可直接从图像提取条件，但要注意

解方程组务求准确无误；（3）只需依公式运算．

9

【方法总结】

b

1. 一次函数 y＝kx＋b（k≠0）的图像是直线，它与 x 轴的交点为（－k，0），与 y 轴的

b2

︱2k︱

k

2. 反比例函数 y＝x图像上的点横坐标与纵坐标之积为定值 k，在判断函数值大小时，

要先确定图像上点的位置，再由反比例函数的增减性作出判断．

3. 二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，a 的符号决定抛物线的开口方向，c 的符号决定

抛物线与 y 轴交点的位置，a、b 的符号共同决定对称轴的位置，b2－4ac 的符号决定抛物线

与 x 轴交点的个数．

【模拟试题】（答题时间：

50 分钟）

一、选择题

1. 下列四个函数中，y 随 x 的增大而减小的是（）

B. y＝－2x＋5 C. y＝－xD. y＝－x2＋2x－1

2. 在函数 y＝ x＋3中，自变量 x 的取值范围是（）

A. x≥－3B. x＞－3C. x≤－3D. x＜－3

3. 如图抛物线的函数表达式是（）

A. y＝x2－x＋2 B. y＝－x2－x＋2

C. y＝x2＋x＋2D. y＝－x2＋x＋2

y

2

-1O2x

4. 在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量 m 的某种气体，当改变容积 V 时，

m

气体的密度 ρ 也随之改变．ρ 与 V 在一定范围内满足 ρ ＝ V ，它的图像如图所示，则该气体的

10

质量是（）

A. 1.4kgB. 5kgC. 6.4kgD. 7kg

5. 如图所示的计算程序中，y 与 x 之间的函数关系所对应的图象应为（）

输入x

y

y

y

y

取相反数

×2

+4

输出y

4

2

-4 -2 O

-2

-4

A

4

2

2 x -4 -2 O

-2

-4

B

4

2

2 x -4 -2 O

-2

-4

C

2

4

2

x -4 -2 O

-2

-4

D

2  x

的图象可能是（    ）

*6. 直线 y＝ax＋b 经过第二、三、四象限，那么下列结论中正确的是（）

A.（a＋b）2＝a＋b

B. 点（a，b）在第一象限内

a

C. 反比例函数 y＝x，当 x＞0 时函数值 y 随 x 的增大而减小

D. 抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的对称轴过第二、三象限

k－1

*7. 正比例函数 y＝2kx 与反比例函数 y＝ x 在同一坐标系中的图像不可能是（）

yyyy

OxOxOxOx

ABCD

2

*8. 在同一直角坐标系中，函数 y＝mx＋m 和函数 y＝－mx2＋2x＋（m 是常数，且 m≠0）

．．

11

yyyy

OxOx

O         x

O x

A

B

C            D

**9. 两个不相等的正数满足 a＋b＝2，ab＝t－1，设 S＝（a－b）2，则 S 关于 t 的函数

图像是（）

A. 射线（不含端点）

C. 直线

B. 线段（不含端点）

D. 抛物线的一部分

b＋ca＋ba＋c

**10. 已知 a、b、c 为非零实数，且满足 a ＝ c ＝ b ＝k，则一次函数 y＝kx＋1

＋k 的图像一定经过（）

A. 第一、二、三象限

C. 第一象限

B. 第二、四象限

D. 第二象限

二、填空题

1

1. 函数 y＝中，自变量 x 的取值范围是__________．

2. 二次函数 y＝（x－1）2＋2 的最小值是__________ ．

3. 试写出图像位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式__________．

3

4. 函数 y＝－x的图像过点（－1，a），则 a＝__________．

5. 如图所示，二次函数 y1＝ax2＋bx＋c 和一次函数 y2＝mx＋n 的图像，观察图像写出

y2≥y1 时，x 的取值范围 __________．

12

y16

5

4

3

2

1

y

y2

-4 -3 -2 -1 O

2  3  x

6. 如图，已知函数 y＝ax＋b 和 y＝kx 的图像交于点 P，则根据图像可得关于 x、y 的二

⎧y＝ax＋b

元一次方程组⎨的解是__________．

⎩y＝kx

y

y＝kx

-4

P

O

-2

x

y＝ax＋b

11

*7. 已知二次函数的图象经过原点及点（－2，－4），且图象与 x 轴的另一交点到原点

的距离为 1，则该二次函数的解析式为__________．

1

**8. 如图，若正方形 OABC 的顶点 B 和正方形 ADEF 的顶点 E 都在函数 y＝x（x＞0）的

图象上，则点 E 的坐标是（_____，_____）．

y

C

O

B

F  E

AD x

三、解答题

1. 如图，已知 A（－4，n），B（2，－4）是一次函数 y＝kx＋b 的图象和反比例函数 y

m

＝ x 的图象的两个交点．

13

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及△AOB 的面积；

m

（3）求方程 kx＋b－ x ＝0 的解（请直接写出答案）；

m

（4）求不等式 kx＋b－ x ＜0 的解集（请直接写出答案）．

y

A

C

O

x

B

3

2. 如图，抛物线 y＝ax2－x－2与 x 轴正半轴交于点 A （3，0）．以 OA 为边在 x 轴上方

作正方形 OABC ，延长 CB 交抛物线于点 D ，再以 BD 为边向上作正方形 BDEF ．

（1）求 a 的值．

（2）求点 F 的坐标．

**3. 在杭州市中学生篮球赛中，小方共打了 10 场球．他在第 6，7，8，9 场比赛中分

别得了 22，15，12 和 19 分，他的前 9 场比赛的平均得分 y 比前 5 场比赛的平均得分 x 要高．如

果他所参加的 10 场比赛的平均得分超过 18 分．

（1）用含 x 的代数式表示 y；

（2）小方在前 5 场比赛中，总分可达到的最大值是多少？

（3）小方在第 10 场比赛中，得分可达到的最小值是多少？

**4. 某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价 y（元）与月份 x 之间

14

满足函数关系 y＝－50x＋2600，去年的月销售量 p（万台）与月份 x 之间成一次函数关系，

其中两个月的销售情况如下表：

月份

销售

量

1 月

3.9 万

台

5 月

4.3 万

台

（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？

最大是多少？

（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2 月份该品牌电视机销往农村的售价都比去

年 12 月份下降了 m%，且每月的销售量都比去年 12 月份下降了 1.5m%．国家实施“家电下

乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的 13%给予财政补贴．受此

政策的影响，今年 3 月份至 5 月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年 2 月份的售价

不变的情况下，平均每月的销售量比今年 2 月份增加了 1.5 万台．若今年 3 至 5 月份国家对

这种电视机的销售共给予财政补贴 936 万元，求 m 的值（保留一位小数）（参考数据：

 34

≈5.831， 35≈5.916， 37≈6.083， 38≈6.164）

15

【试题答案】

一、选择题

1. B【∵－2＜0，∴y＝－2x＋5 的 y 值随 x 的增大而减小】

2. A【∵x＋3≥0，∴x≥－3】

3. D【将（－1，0）、（0，2）、（2，0）三点代入 y＝ax2＋bx＋c 中即可】

4. D【代入（5，1.4），m＝7】

5. D

6. D【图像过二、三、四象限，∴a<0，b<0】

7. D【研究 k＞0 或 k<0 的图像位置】

8. D【若 m＞0，直线过一、三象限，抛物线开口向下，A、B、C、D 均不正确，这种假

设不成立．则 m<0，∴直线过二、三、四象限，抛物线开口向上，B、D 可能正确．再判断

b1

抛物线对称轴的位置，－2a＝m<0，∴D 正确】

9. B【S＝（a－b）2＝（a＋b）2－4ab＝22－4（t－1）＝8－4t．∵a、b 是两个不相等

的正数，且 a＋b＝2，∴0

端点）】

b＋ca＋ba＋c

10. D【由 a ＝ c ＝ b ＝k 可得 b＋c＝ak，a＋b＝ck，a＋c＝bk．∴2（a＋b＋c）

＝（a＋b＋c）k，当 a＋b＋c≠0 时 k＝2；当 a＋b＋c＝0 时 k＝－1．则 y＝2x＋3 或 y＝－x，

∴图象一定过第二象限】

二、填空题

1. x≠1

2. 2

1

3. 不唯一，如 y＝－x

16

3

4. 3【将（－1，a）代入得 y＝－＝3】

5. －2≤x≤1

⎧x＝－4

6. ⎨【交点坐标为二元一次方程组的解】

⎩y＝－2

1

或 y＝－3x3

11111

＋bx，将（－2，－4）代入得－4＝4a－2b，整理得 a－2b＝－1．二次函数与 x 轴交点坐标

⎧1

a =-

⎩a＋b＝0⎩a－b＝01⎩b＝1

⎪3

11

＝x2＋x 或 y＝－3x2＋3x．】

5－1

2，2【根据题意正方形 ABCO 的面积为 1 得其边长为 1，则 DE（1＋DE）

＝1，即 DE2＋DE－1＝0，解得 DE＝

5－1                       5＋1

（取正根）．OD＝OA＋DE＝

三、解答题

m

1.

（1）∵B（2，－4）在函数 y＝ x 的图象上，

∴m＝－8．

8

∴反比例函数的解析式为：

y＝－x．

8

∵点 A（－4，n）在函数 y＝－x的图象上，

∴n＝2．∴A（－4，2）．

⎧－4k＋b＝2⎧k＝－1

∵y＝kx＋b 经过 A（－4，2），B（2，－4），∴⎨，解之得⎨.

2k＋b＝－4

⎩⎩b＝－2

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∴一次函数的解析式为：

y＝－x－2．

（2）∵C 是直线