二次函数新1.docx

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二次函数新1

第1课时26.1二次函数

一、阅读教科书第4—6页上方

二、学习目标：

1．知道二次函数的一般表达式；

2．会利用二次函数的概念分析解题；

3．列二次函数表达式解实际问题．

三、知识点：

一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。

其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________．

四、基本知识练习

1．观察：

①y＝6x2；②y＝－

x2＋30x；③y＝200x2＋400x＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的_____________．

2．函数y＝（m－2）x2＋mx－3（m为常数）．

（1）当m__________时，该函数为二次函数；

（2）当m__________时，该函数为一次函数．

3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？

哪些不是？

若是二次函数，请指出各项对应项的系数．

（1）y＝1－3x2

（2）y＝3x2＋2x（3）y＝x（x－5）＋2

（4）y＝3x3＋2x2（5）y＝x＋

五、课堂训练

1．y＝（m＋1）x

－3x＋1是二次函数，则m的值为_________________．

2．下列函数中是二次函数的是（）

A．y＝x＋

B．y＝3（x－1）2C．y＝（x＋1）2－x2D．y＝

－x

3．在一定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为

s＝5t2＋2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为（）

A．28米B．48米C．68米D．88米

4．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_______________________．

5．已知y与x2成正比例，并且当x＝－1时，y＝－3．

求：

（1）函数y与x的函数关系式；

（2）当x＝4时，y的值；

（3）当y＝－

时，x的值．

6．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

六、目标检测

1．若函数y＝（a－1）x2＋2x＋a2－1是二次函数，则（）

A．a＝1B．a＝±1C．a≠1D．a≠－1

2．下列函数中，是二次函数的是（）

A．y＝x2－1B．y＝x－1C．y＝

D．y＝

3．一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式．

4．已知二次函数y＝－x2＋bx＋3．当x＝2时，y＝3，求这个二次函数解析式．

七．课外练习

填空选择

1.下列函数是二次函数的是（）

A.y=8x2＋1B.y=8x＋1C.y=

D.y=

＋1

2.二次函数y=3x2－5的二次项系数是__________,一次项系数是__________,常数项是__________.

3．某物体从上午7时至下午4

时的温度M（℃）是时间t（小时）的函数：

M=t3－5t＋100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为℃__________．

4．把y=（x+1）2—2x2变成一般式为__________,其各项分别是__________、__________、__________．

5．将二次三项式x2＋6x＋7进行适当变形，正确的结果应为（）

A.（x＋3）2＋2B.（x－3）2＋2C.（x＋3）2－2D.（x－3）2－2

6，．如果函数y=（n2－2）x2+3x－5是关于x的一次函数，则n=_____________．

7．.在地表以下不太深的地方，温度y（℃）与所处的深度x（km）之间的关系可以用关系式y=35x＋20表示，这个关系式符合的数学模型是（）

A.正比例函数B.反比例函数　　　　　C.二次函数D.一次函数

8．用配方法将函数y=

x2－2x+1写成y=a（x－h）2+k的形式是（）

A.y=

（x－2）2－1B.y=

（x－1）2－1C.y=

（x－2）2－3D.y=

（x－1）2－3

9．．二次函数y=ax2,当x=－2时,y=8，则a=______________

10．如果函数y=（m－3）xm2－7是二次函数，则m=___________．

11．小明存入银行人民币200元,年利率为x,一年到期后连同利息又续存一到期后的本息和为y，y与x的关系式为______________．

解答题

1．已知一个菱形的两条对角线的和为24cm，设其中一条对角线的长为xcm，菱形的面积为Scm2，求S与x的函数关系式．

2．已知圆的周长为lcm，面积为Scm2．

（1）求S与l的函数关系式；

（2）当S=π时，求圆的周长l；（3）当l取什么值时，S≥9π？

3.某广告公司要为客户设计一幅矩形广告牌,其周长为20米，每平方米价格为1000元，设一边长为x,按要求制作完后客户应付款s元.

（1）写出s与x之间的关系；

（2）确定x的取值范围.

4．已知函数y=（m－1）xm2+1＋5x－3是二次函数，求m的值．

5.“神舟”六号飞船上天震惊世界，振奋民心，可是你知道火箭竖直发射升空后，它的高度h（m）与时间t（s）的关系吗？

告诉你,可用公式h=at2+150t+10表示，其中a为一定值常数，若升空10秒后火箭有1010米高，试问当高度h为1135米时,时间是多少？

图26－1－1－1

6.某商店将每件进价为10元的商品按每件12元出售时，一天可卖出150件，该

商店经过调查发现，该商品每提价0.1元，其销售量下降5件，设该商品每件提高x元时，每天的销售利润为y元，求y与x的函数关系式．

7．完成下列问题：

（1）已知函数y=（m＋1）xm2+1＋（m－2）x－3是二次函数，求m的值；

（2）若函数y=（m＋1）xm2+1＋（m－2）x－3是一次函数，求m的值；

（3）若函数y=（m2＋1）xm－1＋（m－2）x－3是二次函数，求m的值；

（4）若函数y=0时，函数y=（m+1）xm2+1+（m－2）x－3变成关于x的一元二次方程，求方程的解.

第2课时二次函数y＝ax2的图象与性质

一、阅读课本：

P6—8

二、学习目标：

1．知道二次函数的图象是一条抛物线；

2．会画二次函数y＝ax2的图象；

3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．

三、探索新知：

画二次函数y＝x2的图象．

【提示：

画图象的一般步骤：

①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】

列表：

x

…

－3

－2

－1

0

1

2

3

…

y＝x2

…

…

描点，并连线

由图象可得二次函数y＝x2的性质：

1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．

2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的图象开口__________．

3．自变量x的取值范围是____________．

4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．

5．抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（，）叫做抛物线y＝x2的_________．

因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________．

6．抛物线y＝x2有____________点（填“最高”或“最低”）．

四、例题分析

例1在同一直角坐标系中，画出函数y＝

x2，y＝x2，y＝2x2的图象．

解：

列表并填：

x

…

－4

－3

－2

－1

0

1

2

3

4

…

y＝

x2

…

…

y＝x2的图象刚画过，再把它画出来．

x

…

－2

－1.5

－1

－0.5

0

0.5

1

1.5

2

…

y＝2x2

…

…

归纳：

抛物线y＝

x2，y＝x2，y＝2x2的二次项系数a_______0；顶点都是__________；

对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”）．

例2请在例1的直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－

x2，y＝－2x2的图象．

列表：

x

…

－3

－2

－1

0

1

2

3

…

y＝x2

…

…

x

…

－4

－3

－2

－1

0

1

2

3

4

…

y=－

x2

…

…

x

…

－4

－3

－2

－1

0

1

2

3

4

…

y＝－2x2

…

…

归纳：

抛物线y＝－x2，y＝－

x2，y＝－2x2的二次项系数a______0，顶点都是________，

对称轴是___________，顶点是抛物线的最________点（填“高”或“低”）．

五、理一理

1．抛物线y＝ax2的性质

图象（草图）

开口

方向

顶点

对称轴

有最高或最低点

最值

a＞0

当x＝____时，y有最_______值，是______．

a＜0

当x＝____时，y有最_______值，是______．

2．抛物线y＝x2与y＝－x2关于________对称，因此，抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于_______

对称，开口大小_______________．

3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；

当a＜0时，｜a｜越大，抛物线的开口越_________；

因此，｜a｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜越小，抛物线的开口越________．

六、课堂训练

1．填表：

开口方向

顶点

对称轴

有最高或最低点

最值

y＝

x2

当x＝____时，y有最_______值，是______．

y＝－8x2

当x＝____时，y有最_______值，是______

2．若二次函数y＝ax2的图象过点（1，－2），则a的值是___________．

3．二次函数y＝（m－1）x2的图象开口向下，则m____________．

4．如图，

①y＝ax2

②y＝bx2

③y＝cx2

④y＝dx2

比较a、b、c、d的大小，用“＞”连接．

___________________________________

七、目标检测

1．函数y＝

x2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，

当x＝___________时，有最_________值是_________．

2．二次函数y＝mx

有最低点，则m＝___________．

3．二次函数y＝（k＋1）x2的图象如图所示，则k的取值

范围为___________．

4．写出一个过点（1，2）的函数表达式_________________．

第3课时二次函数y＝ax2＋k的图象与性质

一、阅读课本：

P9—10

二、学习目标：

1．会画二次函数y＝ax2＋k的图象；

2．掌握二次函数y＝ax2＋k的性质，并会应用；

3．知道二次函数y＝ax2与y＝的ax2＋k的联系．

三、探索新知：

在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．

解：

先列表

x

…

－3

－2

－1

0

1

2

3

…

y＝x2＋1

…

…

y＝x2－1

…

…

描点并画图

观察图象得：

1．

开口方向

顶点

对称轴

有最高（低）点

最值

y＝x2

y＝x2－1

y＝x2＋1

2．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．

3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．

四、理一理知识点

1．

y＝ax2

y＝ax2＋k

开口方向

顶点

对称轴

有最高（低）点

最值

a＞0时，当x＝______时，y有最____值为________；

a＜0时，当x＝______时，y有最____值为________．

增减性

2．抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；

抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．

因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，就得到抛物线_______________；

把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物线_______________．

3．抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状__________，由此可得二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的形状__________________．

五、课堂巩固训练

1．填表

函数

草图

开口方向

顶点

对称轴

最值

对称轴右侧的增减性

y＝3x2

y＝－3x2＋1

y＝－4x2－5

2．将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________．

3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y＝－x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．

4．抛物线y＝4x2＋1关于x轴对称的抛物线解析式为______________________．

六、目标检测

1．填表

函数

开口方向

顶点

对称轴

最值

对称轴左侧的增减性

y＝－5x2＋3

y＝7x2－1

2．抛物线y＝－

x2－2可由抛物线y＝－

x2＋3向___________平移_________个单位得到的．

3．抛物线y＝－x2＋h的顶点坐标为（0，2），则h＝_______________．

4．抛物线y＝4x2－1与y轴的交点坐标为_____________，与x轴的交点坐标为_________．

补充练习

一、课前预习

1.抛物线y=

x2不具有的性质是（）

A.开口向下B.对称轴是y轴C.与y轴不相交D.最高点是坐标原点

2．二次函数y=－3x2，y=－5x2图象的开口较大的是__________，开口方向__________，对称轴是__________，顶点是_____

_____.

3．二次函数y=3x2－3开口向__________，顶点坐标为__________，对称轴为__________．当x＞0时，y随x的增大而__________；当x＜0时，y随x的增大而__________．因为a=3＞0，所以y有最__________值，当x=__________时，y的最__________值是__________．

4．若点A（－2，a）在抛物线y=－5x2上，则点A关于y轴对称点的坐标为__________．

二、课中强化

1．对于二次函数y=（a2+3）x2，下列命题中正确的是（）

A．函数图象开口方向不确定B．当a<0时，抛物线开口向下

C．此抛物线的对称轴是y轴，顶点是坐标原点;D．当x<0时，y随x的增大而增大

图26－1－2－1

2．某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高处各有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，如图26－1－2－1所示，则大门的高（水泥建筑物厚度不计，精确到

0．1米）为（）

A．6.9米B．7.0米

C．7.1米D．6.8米

3．将抛物线y=2x2向上平移3个单位

得到的抛物线，其解析式是_________________.

若向下平移3个单位,得到的抛物线的解析式是_________________．

4．

（1）已知二次函数①y=－3x2，②y=－3x2+5.在同一个坐标系中画出图象后比较它们的开口大小、方向，顶点坐标，对称轴有什么关系？

（2）y=ax2，y=ax2+b的开口大小，顶点坐标，对称轴有什么关系？

5．如图26－1－2－2，等边△ABC以2m/s的速度沿直线l向菱形DCEF移动，直到

AB与CD重合，其中∠DCF＝60°，设xs时，三角形与菱形重叠部分的面积为ym2．

（1

）写出y与x的关系表达式．

（2）当x＝0.5，1时，y分别是多少?

（3）当重叠部分的面积是菱形面积的一半时，三角形移动了多长时间？

图26－1－2－2

三、课后巩固

1．如图26－1－2－3，已知h关于t的函数关系式为h=

gt2（g为正常数，t为时间），则函数图象为（）

图26－1－2－3

2．二次函数y=－mx2－m+4，开口向下，其图象的顶点在y轴的正半轴上，则m的取值范围是（）

A.m<0B.m>0C.m>4D.0

3．二次函数的图象如图26－1－2－4所示,则它的解析式为（）

A.y=2x2+2B.y=2x2－4C.y=2x2－2D.y=－2x2－2

图26－1－2－4

4．函数y=－ax2与y=－ax+a的图象在同一个坐标系中的图象大致是（）

图26－1－2－5

5．已知二次函数y=mxm2－2m－6中，当x＞0时，y随x的增大而增

大，则m=______________．

6．抛物线y=

x2关于x轴对称的函数解析式为_________________

．

7．抛物线y=5x2与直线y=kx+3的交点为（1，b），则b=____________，k=____________．

8．如图26－1－2－6，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．

（1）建立适当的坐标系，求抛物线的关系式；

（2）若洪水到来时水位以0．2米／时的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？

图26－1－2－6

9.如图26－1－2－7，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（2，0），且其面积为8．求此抛物线解析式。

图26－1－2－7

第4课时二次函数y＝a（x-h）2的图象与性质

一、阅读课本：

P10—11

二、学习目标：

1．会画二次函数y＝a（x-h）2的图象；

2．掌握二次函数y＝a（x-h）2的性质，并要会灵活应用；

三、探索新知：

画出二次函数y＝－

（x＋1）2，y－

（x－1）2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性．

先列表：

x

…

－4

－3

－2

－1

0

1

2

3

4

…

y＝－

（x＋1）2

…

…

y＝－

（x－1）2

…

…

描点并画图．

1．观察图象，填表：

函数

开口方向

顶点

对称轴

最值

增减性

y＝－

（x＋1）2

y＝－

（x－1）2

2．请在图上把抛物线y＝－

x2也画上去（草图）．

①抛物线y＝－

（x＋1）2，y＝－

x2，y＝－

（x－1）2的形状大小____________．

②把抛物线y＝－

x2向左平移_______个单位，就得到抛物线y＝－

（x＋1）2；

把抛物线y＝－

x2向右平移_______个单位，就得到抛物线y＝－

（x＋1）2．

四、整理知识点

1．

y＝ax2

y＝ax2＋k

y＝a（x-h）2

开口方向

顶点

对称轴

最值

增减性

（对称轴左侧）

2．对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．

五、课堂训练

1．填表

图象（草图）

开口

方向

顶点

对称轴

最值

对称轴

右侧的增减性

y＝

x2

y＝－5（x＋3）2

y＝3（x－3）2

2．抛物线y＝4（x－2）2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．

3．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．

把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．

4．将抛物线y＝－

（x－1）x2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．

5．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式

___________________________．

六、目标检测

1．抛物线y＝2（x＋3）2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．

2．抛物线y＝m（x＋n）2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4（x－4）2，则

m＝__________，n＝___