高考数学理一轮复习文档第一章集合与常用逻辑用语第3讲命题及其关系充分条件与必要条件Word版.docx
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高考数学理一轮复习文档第一章集合与常用逻辑用语第3讲命题及其关系充分条件与必要条件Word版
第3讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
（1）四种命题间的相互关系
（2）四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件
（1）若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）若p⇒q且q
p，则p是q的充分不必要条件；
（3）若p
q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
（4）若p⇔q，则p是q的充要条件．
1．辨明两个易误点
（1）否命题与命题的否定：
否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．
（2）注意区别A是B的充分不必要条件（A⇒B且B
A），与A的充分不必要条件是B（B⇒A且A
B）两者的不同．
2．充要条件常用的三种判断方法
（1）定义法：
直接判断若p则q、若q则p的真假．
（2）等价法：
利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
（3）利用集合间的包含关系判断：
若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
1.
“（x－1）（x＋2）＝0”是“x＝1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B
2.
“x>4”是“x2－2x－3>0”的（ ）
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
B 因为x2－2x－3>0，所以该不等式的解集为{x|x<－1或x>3}，
所以x>4⇒x2－2x－3>0.
但x2－2x－3>0
x>4，
所以“x>4”是“x2－2x－3>0”的充分而不必要条件．
3．（2015·高考山东卷）设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是（ ）
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
D 根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选D．
4.
命题：
“若一个三角形的两边不相等，则这两条边所对的角也不相等”的否命题是____________．
“若一个三角形的两边相等，则这两条边所对的角也相等”
四种命题的相互关系及真假判断
（1）（2017·银川模拟）命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是（ ）
A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0
B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
（2）命题p：
“矩形的对角线相等”的逆命题为q，则p与q的真假性是（ ）
A．p真q假 B．p真q真
C．p假q真D．p假q假
【解析】
（1）将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.
（2）q：
对角线相等的四边形是矩形，根据矩形的性质可知，p真，q假．
【答案】
（1）D
（2）A
判断四种命题间关系、真假的方法
（1）写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写，当一个命题有大前提时，写其他三个命题时，大前提需要保持不变；
（2）当一个命题直接判断真假不容易进行时，可转而判断其逆否命题的真假．
1．命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的否命题是（ ）
A．若a＞b，则a－1≤b－1
B．若a＞b，则a－1＜b－1
C．若a≤b，则a－1≤b－1
D．若a＜b，则a－1＜b－1
C 根据否命题的定义可知，命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”，故选C.
2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为（ ）
A．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为真命题
B．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为真命题
C．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为假命题
D．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为假命题
C 根据逆否命题的定义可以排除A，D，由x2＋3x－4＝0，得x＝－4或1，故选C.
3．下列命题中为真命题的是（ ）
A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题
B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若
＞1，则x＞1”的逆否命题
B 对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于D，命题“若
＞1，则x＞1”的逆否命题为“若x≤1，则
≤1”，易知为假命题，故选B．
充分条件、必要条件的判断（高频考点）
充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面．
高考对充要条件的考查主要有以下两个命题角度：
（1）判断指定条件与结论之间的关系；
（2）与命题的真假性相交汇命题．
（1）（2016·高考天津卷）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（ ）
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
（2）给出下列命题：
①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；
②“m＝3”是“直线（m＋3）x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；
③设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝
，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．
其中真命题的序号是________．
【解析】
（1）由x＞y推不出x＞|y|，由x＞|y|能推出x＞y，所以“x＞y”是“x＞|y|”的必要而不充分条件．
（2）对于①，当数列{an}为等比数列时，易知数列{anan＋1}是等比数列，但当数列{anan＋1}为等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列1，3，2，6，4，12，8…显然不是等比数列，而相应的数列3，6，12，24，48，96…是等比数列，因此①正确；对于②，当m＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m＝3，也可能m＝0.因此②不正确；对于③，由题意得
＝
＝
，若B＝60°，则sinA＝
，注意到b>a，故A＝30°，反之，当A＝30°时，有sinB＝
，由于b>a，所以B＝60°或B＝120°，因此③正确．综上所述，真命题的序号是①③.
【答案】
（1）C
（2）①③
充要条件问题的常见类型及解题策略
（1）充要条件的三种判断方法有定义法、集合法、等价转化法（见本讲要点整合）．
（2）充要条件与命题真假性的交汇问题．依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可．
角度一 判断指定条件与结论之间的关系
1．（2017·合肥市第一次教学质量检测）“x>2”是“x2＋2x－8>0”成立的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B 由x2＋2x－8>0，可解得x<－4或x>2，所以“x>2”是“x2＋2x－8>0”成立的充分不必要条件，故选B．
角度二 与命题的真假性相交汇命题
2．（2017·黄冈中学月考）下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
B．p：
A∩B＝A；q：
A
B，则p是q的充分不必要条件
C．已知数列{an}，若p：
对于任意的n∈N*，点Pn（n，an）都在直线y＝2x＋1上；q：
{an}为等差数列，则p是q的充要条件
D．“x<0”是“ln（1＋x）<0”的必要不充分条件
D 选项A：
当x＝－1时，x2－5x－6＝0，所以x＝－1是x2－5x－6＝0的充分条件，故A错．
选项B：
因为A∩B＝A
A
B（如A＝B），
而A
B⇒A∩B＝A，从而p
q，q⇒p，
所以p是q的必要不充分条件，故B错．
选项C：
因为Pn（n，an）在直线y＝2x＋1上．
所以an＝2n＋1（n∈N*），
则an＋1－an＝2（n＋1）＋1－（2n＋1）＝2，
又由n的任意性可知数列{an}是以公差为2的等差数列，即p⇒q.
但反之则不成立，如：
令an＝n，则{an}为等差数列，但点（n，n）不在直线y＝2x＋1上，从而q
p.
从而可知p是q的充分而不必要条件，故C错．
选项D：
利用充分条件和必要条件的概念判断．因为ln（x＋1）<0⇔0 充分条件、必要条件的应用
已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
【解】 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则
所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，
即所求m的取值范围是．
若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
所以
所以
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
根据充要条件求解参数范围的方法
（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解．
（2）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
（2017·常德一中月考）若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．
由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.
因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，
所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.
3
——等价转化思想在充要条件中的应用
已知p：
≤2，q：
1－m≤x≤1＋m（m>0），且綈p是綈q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围为________．
【解析】 法一：
由
≤2，得－2≤x≤10，
所以綈p对应的集合为{x|x>10或x<－2}，
设A＝{x|x>10或x<－2}．
1－m≤x≤1＋m（m>0），
所以綈q对应的集合为{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}，
设B＝{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}．
因为綈p是綈q的必要而不充分条件，所以B
A，
所以
且不能同时取得等号．
解得m≥9，所以实数m的取值范围为由q⇒綈p且綈p
q可得p⇒綈q且綈q
p，所以p是綈q的充分而不必要条件．
2．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
C 法一：
设集合A＝{（x，y）|x≠y}，B＝{（x，y）|cosx≠cosy}，则A的补集C＝{（x，y）|x＝y}，B的补集D＝{（x，y）|cosx＝cosy}，显然C
D，所以B
A，于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件．
法二：
（等价转化法）x＝y⇒cosx＝cosy，而cosx＝cosy
x＝y.
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．若
＝
，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则
＝
D．若x＜y，则x2＜y2
A 由
＝
得x＝y，A正确；由x2＝1得x＝±1，B错误；
由x＝y，
，
不一定有意义，C错误；由x＜y不一定能得到x2＜y2，如x＝－2，y＝－1，D错误，故选A.
2．命题“若x＞1，则x＞0”的逆否命题是（ ）
A．若x≤0，则x≤1B．若x≤0，则x＞1
C．若x＞0，则x≤1D．若x＜0，则x＜1
A 依题意，命题“若x＞1，则x＞0”的逆否命题是“若x≤0，则x≤1”，故选A.
3．（2017·上海模拟）原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．4
D 由题意可知，否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”，其为真命题；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，其为真命题．由等价命题的真假性相同可知，该命题的逆命题与原命题也为真命题．故选D．
4．设M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A 若N⊆M，则a2＝1或a2＝2，
解得a＝±1或a＝±
，
所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件，故选A.
5．（2016·高考四川卷）设p：
实数x，y满足x>1且y>1，q：
实数x，y满足x＋y>2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A 若x>1且y>1，则有x＋y>2成立，所以p⇒q；反之由x＋y>2不能得到x>1且y>1.所以p是q的充分不必要条件．
6．（2017·大连质检）命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是（ ）
A．“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac”
B．“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”
C．“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”
D．“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”
D 根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”．
7．下列命题中正确的个数是（ ）
①命题“若m>－1，则方程x2＋2x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋2x－m＝0有实根，则m>－1”；
②“x≠1”是“x2－3x＋2≠0”的充分不必要条件；
③一次函数f（x）＝kx＋b（k≠0）是奇函数的充要条件是b＝0.
A．0B．3
C．2D．1
C 对于①，命题“若m>－1，则方程x2＋2x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋2x－m＝0有实根，则m>－1”，故①正确；对于②，由x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，所以“x≠1”不是“x2－3x＋2≠0”的充分不必要条件，故②错误；对于③，因为f（x）＝kx＋b（k≠0）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x），即k（－x）＋b＝－（kx＋b），所以b＝0，反之，如果b＝0，那么f（x）＝kx，所以f（－x）＝－kx＝－f（x），所以f（x）为奇函数，故③正确．正确命题的个数为2，故选C.
8．（2017·荆门模拟）下列命题中正确的个数为（ ）
①“若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题；
②“若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等”的否命题；
③“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题；
④“每个正方形都是平行四边形”的否定．
A．1B．2
C．3D．4
B ①“若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题为“若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0”，显然错误，故①错误；②“若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等”的逆命题为“若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等”，显然正确，根据原命题的逆命题与否命题的等价性知原命题的否命题正确，故②正确；③“奇函数的图象关于原点对称”正确，根据原命题与逆否命题的等价性知原命题的逆否命题正确，故③正确；④“每个正方形都是平行四边形”正确，则“每个正方形都是平行四边形”的否定错误，故④错误．故正确的个数是2，故选B．
9．（2017·合肥市第一次教学质量检测）“x≥1”是“x＋
≥2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A 由题意得，x＋
≥2⇔x>0，所以“x≥1”是“x＋
≥2”的充分不必要条件，故选A.
10．若p：
|x|≤2，q：
x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2B．a≤2
C．a≥－2D．a≤－2
A p：
|x|≤2，即－2≤x≤2，因为q：
x≤a，且p是q的充分不必要条件，
所以a≥2，故选A.
11．（2017·济南模拟）若a＝log2x，b＝
，则“a>b”是“x>1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A 函数a＝log2x，b＝
的图象如图所示，
由图象可知，若a>b，则x>2，即x>1成立，反之，若x>1，当x＝
时，a12．已知命题p：
x2＋2x－3>0；命题q：
x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是（ ）
A．
C．
A 由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1.
13．对于原命题：
“已知a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为________．
原命题为真命题，故逆否命题为真；
逆命题：
若a＞b，则ac2＞bc2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题个数为2.
2
14．函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
已知函数f（x）＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．
所以函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
m＝－2
15．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题为________（填写所有真命题的序号）．
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．
①②③
16．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得
解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.
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