A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
解析：
因为（－1,3）（－∞，3），所以p是q成立的必要不充分条件．
答案：
C
3．设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
A、B是两个集合，则由“A∩B＝A”可得“A⊆B”，由“A⊆B”可得“A∩B＝A”，所以A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.
答案：
C
4．用符号“⇒”与“
”填空：
（1）x2>1________x>1；
（2）a，b都是偶数________a＋b是偶数．
解析：
（1）命题“若x2>1，则x>1”是假命题，故x2>1
x>1.
（2）命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数⇒a＋b是偶数．
答案：
（1）
（2）⇒
题型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断
[教材P18例1、P19例2]
例1
（1）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
①若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
②若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
③若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
④若x2＝1，则x＝1；
⑤若a＝b，则ac＝bc；
⑥若x，y为无理数，则xy为无理数．
（2）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
①若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
②若两个三角形相似，则这两个三角形的三边对应成比例；
③若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；
④若x＝1，则x2＝1；
⑤若ac＝bc，则a＝b；
⑥若xy为无理数，则x，y为无理数．
【解析】
（1）①这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．
②这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．
③这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．
④由于（－1）2＝1，但－1≠1，p
q，所以p不是q的充分条件．
⑤由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件．
⑥
为无理数，但
×
＝2为有理数，p
q，所以p不是q的充分条件．
p⇒q由充分条件的定义来判断．
（2）①这是平行四边形的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件．
②这是三角形相似的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件．
③如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，p
q，所以，q不是p的必要条件．
④显然，p⇒q，所以，q是p的必要条件．
⑤由于（－1）×0＝1×0，但－1≠1，p
q，所以，q不是p的必要条件．
⑥由于1×
＝
为无理数，但1，
不全是无理数，p
q，所以，q不是p的必要条件.
p⇒q由必要条件的定义来判断．
教材反思
充分条件、必要条件、充要条件的判断方法
1．定义法
（1）分清命题的条件和结论：
分清哪个是条件，哪个是结论．
（2）找推式：
判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假．
（3）根据推式及条件得出结论．
2．等价转化法
（1）等价法：
将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题．
（2）逆否法：
这是等价法的一种特殊情况．
若綈p⇒綈q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；
若綈p⇒綈q，且綈q
綈p，则p是q的必要不充分条件；
若綈p⇔綈q，则p与q互为充要条件；
若綈p
綈q，且綈q
綈p，则p是q的既不充分也不必要条件．
3．集合法：
写出集合A＝{x|p（x）}及B＝{x|q（x）}，利用集合间的包含关系进行判断．
4．传递法：
若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断．
5．特殊值法：
对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件（结论）不能推出结论（条件），但是这种方法不适用于证明题．
跟踪训练1 指出下列各题中p是q的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答）．
（1）p：
x－3＝0，q：
（x－2）（x－3）＝0；
（2）p：
两个三角形相似，q：
两个三角形全等；
（3）p：
a>b，q：
a＋c>b＋c.
解析：
（1）x－3＝0⇒（x－2）（x－3）＝0，但（x－2）（x－3）＝0
x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．
（2）两个三角形相似
两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．
（3）a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故p是q的充要条件．
→
题型二 求条件（充分条件、必要条件和充要条件）
[经典例题]
例2 使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．x≥0
B．x<0或x>2
C.x∈{－1,3,5}
D．x≤－
或x≥3
【解析】 由2x2－5x－3≥0，得x≥3或x≤－
，所以选项中只有x∈{－1,3,5}是使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件．
【答案】 C
方法归纳
本题易错的地方是颠倒充分性和必要性，根据{x|x≥3或x≤－
}{x|x>2或x<0}，误选B.事实上，“不等式2x2－5x－3≥0成立”为结论q，我们只需找到条件p使p⇒q且q
p即可．
跟踪训练2 2x2－5x－3<0的必要不充分条件是（ ）
A．－
B．0C．－1D．－
解析：
2x2－5x－3<0⇒－
∵
，
∴－
答案：
D
使2x2－5x－3<0成立的x为－
题型三 充分条件、必要条件、充要条件的应用
[经典例题]
例3 已知p：
2x2－3x－2≥0，q：
x2－2（a－1）x＋a（a－2）≥0，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．
【解析】 令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|（2x＋1）（x－2）≥0}＝
；
N＝{x|x2－2（a－1）x＋a（a－2）≥0}＝{x|（x－a）[x－（a－2）]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}，
由已知p⇒q且q
p，得MN.
∴
或
解得
≤a<2或
≤a≤2，
即所求a的取值范围是
.
―→
方法归纳
根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式（组）进行求解．
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