必修第一册第一章集合与常用逻辑用语第5讲 充分条件与必要条件.docx

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必修第一册第一章集合与常用逻辑用语第5讲充分条件与必要条件

第5讲充分条件与必要条件

知识点一：

命　题

【知识梳理】

命题

【要点讲解】

1．判断一个语句是命题的两个要素：

（1）是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；

（2）可以判断真假．

2．命题的条件与结论之间的关系属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．

【知识精讲】

题型一：

命题的判断

[例1]　判断下列语句是不是命题，并说明理由．

（1）

是有理数；

（2）3x2≤5；

（3）梯形是不是平面图形呢？

（4）x2－x＋7＞0.

[解]　

（1）“

是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

（2）因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．

（3）“梯形是不是平面图形呢？

”是疑问句，所以它不是命题．

（4）因为x2－x＋7＝

2＋

＞0，所以“x2－x＋7＞0”是真的，故是命题．

【变式训练】

判断下列语句是否为命题，并说明理由．

（1）若平面四边形的边都相等，则它是菱形；

（2）任何集合都是它自己的子集；

（3）对顶角相等吗？

（4）x＞3.

解：

（1）是陈述句，能判断真假，是命题．

（2）是陈述句，能判断真假，是命题．

（3）不是陈述句，不是命题．

（4）是陈述句，但不能判断真假，不是命题.

【方法技巧总结】

判断语句是不是命题的策略

判断一个语句是不是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，如果满足这两个条件，该语句就是命题，否则就不是．

题型二：

判断命题的真假

[例2]　判断下列命题的真假，并说明理由．

（1）正方形既是矩形又是菱形；

（2）当x＝4时，2x＋1＜0；

（3）若x＝3或x＝7，则（x－3）（x－7）＝0；

（4）一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．

[解]　　

（1）是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．

（2）是假命题，x＝4不满足2x＋1＜0.

（3）是真命题，x＝3或x＝7能得到（x－3）（x－7）＝0.

（4）是假命题，因为当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列．

【变式训练】

下列命题中真命题有（　　）

①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．

A．1个　　　　　　　B．2个C．3个D．4个

解析：

选A　①中当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a＜0时，抛物线与x轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集．

【方法技巧总结】

命题真假的判定方法

（1）真命题的判定方法：

真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．

（2）假命题的判定方法：

通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．

题型三：

命题的结构形式

[例3]　将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

（1）6是12和18的公约数；

（2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；

（3）平行四边形的对角线互相平分；

（4）已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.

[解]　

（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数．是真命题．

（2）若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根．是假命题．

（3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分．是真命题．

（4）已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2.是假命题．

【变式训练】

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

（1）奇数不能被2整除；

（2）当（a－1）2＋（b－1）2＝0时，a＝b＝1；

（3）两个相似三角形是全等三角形；

（4）在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．

解：

（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除．是真命题．

（2）若（a－1）2＋（b－1）2＝0，则a＝b＝1.是真命题．

（3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形．是假命题．

（4）在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行．是假命题．

【方法技巧总结】

（1）把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，要将条件写在前面，结论写在后面．

（2）若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一．

【易错题】命题条件不明致误

[典例]　将命题“已知a，b为正数，当a＞b时，有

＞

”写成“若p，则q”的形式，并指出条件和结论．

【易错点】

1．易误把大前提“已知a，b为正数”当作条件，实际上若一个命题有大前提，则应把它写在“若p，则q”之前，不能写在条件中．

2．任一命题都可以改写成“若p，则q”的形式，关键是分清命题的条件和结论，并且把它们补充成语意完整的句子．

【易错点训练】

把命题“已知a，b为正数，当a＞b时，有

”写成“若p，则q”的形式．

解：

“若p，则q”的形式：

已知a，b为正数，

若a＞b，则

.

知识点二　充分条件与必要条件

【知识梳理】

（1）“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．

（2）若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要不充分条件．

【要点讲解】

充分条件与必要条件

命题

真假

“若p，则q”是真命题

“若p，则q”是假命题

推出

关系

p⇒q

p

q

条件

关系

p是q的充分条件

q是p的必要条件

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

知识点三　充要条件

如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件．

【要点讲解】

从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.

若A⊆B，则p是q的充分条件，若A

B，则p是q的充分不必要条件

若B⊆A，则p是q的必要条件，若B

A，则p是q的必要不充分条件

若A＝B，则p，q互为充要条件

若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

其中p：

A＝{x|p（x）成立}，q：

B＝{x|q（x）成立}．

【要点讲解】

1、定义法

定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要关系．其基本步骤是：

3．集合法

集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．其解决的一般步骤是：

【知识精讲】

类型一：

充分条件、必要条件、充要条件的判断

[例1]　判断下列各题中p是q的什么条件．

（1）p：

x＞1，q：

x2＞1；

（2）p：

（a－2）（a－3）＝0，q：

a＝3；

（3）p：

a＜b，q：

＜1.

[解]　

（1）由x＞1可以推出x2＞1；由x2＞1，得x＜－1，或x＞1，不一定有x＞1.因此，p是q的充分不必要条件．

（2）由（a－2）（a－3）＝0可以推出a＝2，或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出（a－2）（a－3）＝0.因此，p是q的必要不充分条件．

（3由于a＜b，当b＜0时，

＞1；

当b＞0时，

＜1，故若a＜b，不一定有

＜1；

当a＞0，b＞0，

＜1时，可以推出a＜b；

当a＜0，b＜0，

＜1时，可以推出a＞b.

因此p是q的既不充分也不必要条件．

【变式训练】

1、指出下列各组命题中p是q的什么条件．

（1）p：

四边形的对角线相等，q：

四边形是平行四边形；

（2）p：

（x－1）2＋（y－2）2＝0，q：

（x－1）（y－2）＝0.

解：

（1）∵四边形的对角线相等

四边形是平行四边形，

四边形是平行四边形

四边形的对角线相等，

∴p是q的既不充分也不必要条件．

（2）∵（x－1）2＋（y－2）2＝0⇒x＝1且y＝2⇒（x－1）·（y－2）＝0，

而（x－1）（y－2）＝0

（x－1）2＋（y－2）2＝0，

∴p是q的充分不必要条件.

2、下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．

（1）p：

两个三角形相似，q：

两个三角形全等；

（2）p：

一个四边形是矩形，q：

四边形的对角线相等；

（3）p：

A⊆B，q：

A∩B＝A；

（4）p：

a＞b，q：

ac＞bc.

解　

（1）∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，

∴p是q的必要不充分条件．

（2）∵矩形的对角线相等，∴p⇒q，

而对角线相等的四边形不一定是矩形，

∴q⇏p，∴p是q的充分不必要条件．

（3）∵p⇒q，且q⇒p，∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件．

（4）∵p⇏q，且q⇏p，∴p是q的既不充分也不必要条件．

3、指出下列各题中，p是q的什么条件？

（1）p：

ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：

0

（2）p：

|x－2|<3，q：

<－1；

（3）p：

A∪B＝A，q：

A∩B＝B；

（4）p：

q：

解　

（1）当a＝0时，1>0满足题意；

当a≠0时，由

可得0

故p是q的必要不充分条件．

（2）易知p：

－1

－1

所以p是q的充要条件．

（3）因为A∪B＝A⇔A∩B＝B，所以p是q的充要条件．

（4）由

根据同向不等式相加、相乘的性质，

有

即p⇒q.但

⇏

比如，当α＝1，β＝5时，

而α<2，

所以q⇏p，所以p是q的充分不必要条件．

4、“m≠3”是“|m|≠3”的________条件．

答案：

必要不充分

5、　指出下列命题中p是q的什么条件．

（1）p：

（x－1）（x＋2）≤0，q：

x＜2；

（2）p：

x2－2x－8＝0，q：

x＝－2或x＝4.

[解]　　

（1）令A＝{x|（x－1）（x＋2）≤0}＝{x|－2≤x≤1}，集合B＝{x|x＜2}．

显然，A

B，

所以p⇒q，但q

p，

即p是q的充分不必要条件．

（2）令A＝{x|x2－2x－8＝0}

＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}，

B＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}．

∵A＝B，∴p⇔q，

即p是q的充要条件．

6．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　）

A．a＜0　　　　　　　B．a＞0

C．a＜－1D．a＜1

解析：

选C　∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0（a≠0）有一正根和一负根．

∴

即

解得a＜0.

由于{a|a＜－1}⊆{a|a＜0}，故选C.

【方法技巧总结】

充分条件、必要条件的两种判断方法

（1）定义法：

①确定谁是条件，谁是结论；

②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；

③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．

（2）命题判断法：

①如果命题：

“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

②如果命题：

“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．

类型二　充要条件的探求与证明

题型1　充要条件的探求

例2　求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？

解　

（1）当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，即x＝－

，符合要求．

（2）当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a≥0，∴a≤1.

①方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负根的充要条件是

即

∴a<0.

②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件是

即

∴0

综上所述，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.

题型2　充要条件的证明

例3　求证：

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.

证明　充分性（由ac＜0推证方程有一正根和一负根），

∵ac＜0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，

∴原方程一定有两不等实根，

不妨设为x1，x2，则x1x2＝

＜0，

∴原方程的两根异号，

即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

必要性（由方程有一正根和一负根推证ac＜0），

∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，

不妨设为x1，x2，

∴由根与系数的关系得x1x2＝

＜0，即ac＜0，

此时Δ＝b2－4ac＞0，满足原方程有两个不等实根．

综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.

【变式训练】

1、　求证：

方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k＜－2.

证明　必要性：

若方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则

即

即

解得k＜－2.

充分性：

当k＜－2时，Δ＝（2k－1）2－4k2＝1－4k＞0.

设方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0的两个根为x1，x2.

则（x1－1）（x2－1）＝x1x2－（x1＋x2）＋1＝k2＋2k－1＋1＝k（k＋2）＞0.

又（x1－1）＋（x2－1）＝（x1＋x2）－2＝－（2k－1）－2＝－2k－1＞0，

∴x1－1＞0，x2－1＞0，∴x1＞1，x2＞1.

综上可知，方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k＜－2.

类型三　利用充分条件、必要条件求参数的值（或范围）

例4　设命题p：

x（x－3）＜0，命题q：

2x－3＜m，已知p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．

答案　[3，＋∞）

解析　p：

x（x－3）＜0，即0＜x＜3；

q：

2x－3＜m，即x＜

.

由题意知p⇒q，q⇏p，

则在数轴上表示不等式如图所示，

则

≥3，解得m≥3，

即实数m的取值范围为[3，＋∞）．

【变式训练】

　设A＝

，B＝

，记命题p：

“y∈A”，命题q：

“y∈B”，若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围为______________．

答案　

解析　由题意知A＝（0,1），B＝

，

依题意，得BA，

故

∴

.

【课堂小测】

1．“x＞0”是“x2＋x＞0”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

考点　充分条件、必要条件的判断

题点　充分、必要条件的判断

答案　A

解析　由x2＋x＞0⇔x＜－1或x＞0，由此判断A符合要求．

2．若a，b，c是实数，则“ac＜0”是“不等式ax2＋bx＋c＞0有解”的（　　）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

考点　充分条件、必要条件的判断

题点　充分、必要条件的判断

答案　B

解析　由ac＜0，得方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，

则方程ax2＋bx＋c＝0一定有实数解，

此时不等式ax2＋bx＋c＞0有解；

反过来，由不等式ax2＋bx＋c＞0有解不能得出ac＜0，

例如，当a＝b＝c＝1时，

不等式ax2＋bx＋c＞0，

即x2＋x＋1＝

2＋

＞0有解，

此时ac＝1＞0.故选B.

3．“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0，x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是（　　）

A．0＜a＜1B．0≤a≤1

C．0＜a＜

D．a≥1或a≤0

考点　充分条件、必要条件的概念及判断

题点　充分、必要条件的判断

答案　B

解析　当关于x的不等式x2－2ax＋a＞0，x∈R恒成立时，应有Δ＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1.所以一个必要不充分条件是0≤a≤1.

4．设p：

1≤x＜4，q：

x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________．（用区间表示）

考点　充分条件的概念及判断

题点　由充分条件求取值范围

答案　[4，＋∞）

解析　因为p为q的充分条件，所以[1,4）⊆（－∞，m），

得m≥4.

5．设p：

|x|＞1，q：

x＜－2或x＞1，则q是p的____________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”）

考点　充分条件、必要条件的判断

题点　充分、必要条件的判断

答案　充分不必要

解析　由已知，得p：

x＜－1或x＞1，则q是p的充分不必要条件．

【课后作业】

一、选择题

1．“x为无理数”是“x2为无理数”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

考点　充分条件、必要条件的判断

题点　充分、必要条件的判断

答案　B

解析　当x2为无理数时，x为无理数．

2．设a，b∈R，则“a＋b＞2”是“a＞1且b＞1”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

考点　充分条件、必要条件的判断

题点　充分、必要条件的判断

答案　B

3．设x∈R，则x＞π的一个必要不充分条件是（　　）

A．x＞3B．x＜3C．x＞4D．x＜4

考点　充分条件、必要条件的判断

题点　充分、必要条件的判断

答案　A

4．已知p：

x2＋2x－3＜0，q：

1－a≤x≤1＋a，且q是p的必要不充分条件，则a的取值范围是（　　）

A．（4，＋∞）B．（－∞，0]

C．[4，＋∞）D．（－∞，0）

考点　充分、必要条件的综合应用

题点　充分、必要条件求参数的范围

答案　C

解析　由命题p：

－3＜x＜1，因为p⇒q，

所以

即

所以a≥4.

5．下列四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是（　　）

A．a≥b＋1B．a＞b－1

C．a2＞b2D．a3＞b3

考点　充分、必要条件的判断

题点　充分不必要条件的判断

答案　A

解析　由a≥b＋1＞b，从而a≥b＋1⇒a＞b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4＞3.5⇏4≥3.5＋1，故a＞b⇏a≥b＋1，故A正确．

6．设a1，b1，c1，a2，b2，c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1>0和a2x2＋b2x＋c2>0的解集分别是集合M和N，那么“

＝

＝

”是“M＝N”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

考点　充分条件、必要条件的判断

题点　充分、必要条件的判断

答案　D

解析　若

＝

＝

<0，则M≠N，

即

＝

＝

⇏M＝N；反之，若M＝N＝∅，

即两个一元二次不等式的解集为空集时，

只要求判别式Δ1<0，Δ2<0（a1<0，a2<0），

而与系数之比无关．

二、解答题

7．已知p：

2x2－3x－2≥0，q：

x2－2（a－1）x＋a（a－2）≥0，且命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

考点　充分、必要条件的综合应用

题点　由充分、必要条件求参数的范围

解　令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|（2x＋1）（x－2）≥0}

＝

，N＝{x|x2－2（a－1）x＋a（a－2）≥0}

＝{x|（x－a）[x－（a－2）]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}．

由已知p⇒q且q⇏p，得MN，

∴

或

解得

≤a<2或

≤a≤2.

即实数a的取值范围是

.

8．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

考点　充分、必要条件的综合应用

题点　由充分、必要条件求参数的取值范围

解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}．

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

则

∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．