高中数学苏教选修23课件第一章计数原理122.docx

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高中数学苏教选修23课件第一章计数原理122

1.2排列

第2课时利用排列数公式解应用题

1.能用排列数公式解决一些简单的应用问题.（重点）

2.掌握无限制条件的排列问题的解法.（重点）

3.掌握几种有限制条件的排列问题的解法.（难点'易错点）

［小组合作型］

无限制条件的排列问题

亦U

（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本,共有

多少种不同的送法？

（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不

同的送法?

【精彩点拨】⑴从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；

（2）给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算.

【自主解答】⑴从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是民=5X4X3=60,所以共有60种不同的送法.

（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法,因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5X5X5=125,所以共有125种不同的送法.

1.没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可.

2.对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解.

［再练一题］

1.⑴将3张不同的购物券分给10人中的3人，每人1张，共有

种不同的分法.

（2）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员，文娱委员与体育委员，不同的选法共有种.

【解析】⑴问题相当于从10人中选出3人排列起来，故不同分法的种数^4=10X9X8=720.

（2）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员，文娱委员与体育委员，应有A；=5X4X3=60种.

【答案】

（1）720⑵60

7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2

人，在下列情况下，各有多少种不同站法?

（1）老师甲必须站在中间或两端；

（2）2名女生必须相邻而站；

（3）4名男生互不相邻；

（4）若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站.

【精彩点拨】解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数

时，应分类讨论.

【自主解答】⑴先考虑甲有A］种站法，再考虑其余6人全排，故不同站法总数为：

川虞=2160（#）.

（2）2名女生站在一起有站法A；种，视为一种元素与其余5人全排，有A訓排法，所以有不同站法ArA6=1440（种）.

（3）先站老师和女生，有站法启种，再在老师和女生站位的间隔（含两端）处插入男生，每空一人，则插入方法圍种，所以共有不同站法A^Aj=144（种）.

（4）7人全排列中,4名男生不考虑身高顺序的站法有圍种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2•审=420（种）.

A4

名师」

解决排队问题时应注意的问题

1.对于相邻问题可以采用捆绑的方法，将相邻的元素作为一个整体进行排列，但是要注意这个整体内部也要进行排列.

2.对于不相邻问题可以采用插空的方法，先排没有限制条件的元素，再将不相邻的元素以插空的方式排入.

3.对于顺序给定的元素的排列问题只需考虑其余元素的排列即可.

4.“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.

［再练一题］

2.3名男生，4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种.

⑴甲不站中间，也不站两端；

（2）甲、乙两人必须站两端.

【解】⑴分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有总种站法，然后再排其他位置，有A：

种站法，所以共有就=2880种不同站法.

（2）甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有用种站法，其余5人全

排列，有A?

种站法.故共有用尿=240种不同站法.

［探究共研型］

探究1偶数的个位数字有何特征？

从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成

多少个不同的偶数？

【提示】偶数的个位数字一定能被2整除.先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2X4=8（个）不同的偶数.

探究2在一个三位数中，身居百位的数字兀能是0吗？

如果在0〜9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?

【提示】在一个三位数中，百位数字不能为0,在具体排数时，从元素0的角度出发,可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位（或十位）位置;从“位置”角度出发可先从1〜9这9个数字中任取一个数字排百位,然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置.

探究3如何从26,17,31,48,19中找出大于25的数？

【提示】先找出十位数字比2大的数，再找岀十位数字是2,个位数字比

5大的数即可.

⑴六位奇数？

（2）个位数字不是5的六位数？

【精彩点拨】这是-道有限制条件的排列问题，每-问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则.另外，还可以用间接法求解.

【自主解劄⑴法-：

从特殊位置入手值接法）分三步完成，第一步先填个位，有A；种填法,第二步再填十万位,有诵填法,第三步填其他位,有眉种填法，故共有心园二288（个）六位奇数.

法二：

从特殊元素入手值接法）

0不在两端有A〔种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有启种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A：

种排法，故共有AiAjA：

=288（个）六位奇数.

法三：

排除法

6个数字的全排列有£个，0,2,4在个位上的六位数为3A；个，1,3,5在个位上,0在十万位上的六位数有3A：

个，故满足条件的六位奇数共有A》3A：

—3Aj=288（个）.

（2）法一：

排除法

0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A：

个,0在十万位且5在个位的六位数有足个・

故符合题意的六位数共有虞一2A汁尼=504（个）.

法二：

直接法

十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同.因此需分两类：

第一类：

当个位排0时，符合条件的六位数有A?

个.

第二类：

当个位不排0时，符合条件的六位数有A〔A〔Aj个.

故共有符合题意的六位数A汁A〔A〔A：

=504（个）.

［再练一题］

3.用0,1,2,3,4,5这六个数取不同的数字组数.

⑴能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？

（2）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？

（3）若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列｛如，则240135是第几项.

【解】⑴符合要求的五位数可分为两类：

第一类，个位上的数字是0的五位数，有A?

个；第二类，个位上的数字是5的五位数，有个.故满足条件的五位数的个数共有A?

+A；・M=216（个）.

（2）符合要求的比1325大的四位数可分为三类：

第一类，形如2口口口，3□□口，4口口口，5口口口，共A[A；个；

第二类，形如14口口，15□口，共有A、A；个；

第三类，形如134口，1350,共有A：

・A拎.

由分类计数原理知，无重复数字且比1325大的四位数共有:

A〔・A汁用加+圧谢二270（个）.

（3）由于是六位数，首位数字不能为0,首位数字为1有A?

个数，首位数字为2,万位上为0,1,3中的一个有3圍个数,240135的项数是A汁3A；+1=193,即240135是数列的第193项.

［构建体系］

排列的综合应用

无限制条件

的排列问题

排队问题

排数问题

解决

方法

捆绑法

直接法

插空法

特殊优先

定序除法

1.6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为种.

【解析】由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为虞=

720（#）.

【笞案】720

2.要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有种.【导学号：

29440007]

【解析】从5名志愿者中选2人排在两端有A；种排法，2位老人的排法有用种，其余3人利老人排有A：

种排法，共有民用皿=960种不同的排法.

【答案】960

3.用12,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必

须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有个.

【解析】先排奇数位有AJ种,再排偶数位有A；种，故共有Ah144个.【答案】144

4.（2016-连云港高二检测）两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为种.

【解析】分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A=2种排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A=2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有用=6种排法.

则共有2X2X6=24种排法.

【答案】24

5.从6名短跑运动员中选出4人参加4X100m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？

【解】法一：

从运动员（元素）的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：

第1类，甲不参赛，有A?

种参赛方案；

第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有恳种方法，此时有2A?

种参赛方案.

由分类计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A；+2A=

240种・

法二从位置（元素）的角度考虑，优先考虑第-棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有Af种方法；其余两棒从剩余4人中选，有民种方法.

种.

我还有这些不足:

（1）

⑵

我的课下提升方案；

（1）

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