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初一上册数学总复习

初一数学科总复习

第一章有理数

一、 知识要点

本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。

有理数的概念可以利用数轴来认识、理解,同时,利用数轴又可以把这些概念串在一起。

有理数的运算是全章的重点。

在具体运算时,要注意四个方面,一是运算法则,二是运算律,三是运算顺序,四是近似计算。

基础知识:

1、正数(positionnumber):

大于0的数叫做正数。

2、负数(negationnumber):

在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。

3、0既不是正数也不是负数。

4、有理数(rationalnumber):

正整数、负整数、0、正分数、负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。

5、数轴(numberaxis):

通常,用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴。

数轴满足以下要求:

(1)在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点(origin);

(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向;

(3)选取适当的长度为单位长度。

6、相反数(oppositenumber):

绝对值相等,只有负号不同的两个数叫做互为相反数。

7、绝对值(absolutevalue)一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

记做|a|。

由绝对值的定义可得:

|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。

一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.

正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小。

8、有理数加法法则

(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。

(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0.

(3)一个数同0相加,仍得这个数。

加法交换律:

有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变。

表达式:

a+b=b+a。

加法结合律:

有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加或者先把后两个数相加,和不变。

表达式:

(a+b)+c=a+(b+c)

9、有理数减法法则

减去一个数,等于加这个数的相反数。

表达式:

a-b=a+(-b)

10、有理数乘法法则

两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。

任何数同0相乘,都得0.

乘法交换律:

一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。

表达式:

ab=ba

乘法结合律:

三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。

表达式:

(ab)c=a(bc)

乘法分配律:

一般地,一个数同两个的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。

表达式:

a(b+c)=ab+ac

11、倒数

1除以一个数(零除外)的商,叫做这个数的倒数。

如果两个数互为倒数,那么这两个数的积等于1。

12、有理数除法法则:

两数相除,同号得负,异号得正,并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数,都得0.

13、有理数的乘方:

求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂(power)。

an中,a叫做底数(basenumber),n叫做指数(exponent)。

根据有理数的乘法法则可以得出:

负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。

正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。

14、有理数的混合运算顺序

(1)“先乘方,再乘除,最后加减”的顺序进行;

(2)同级运算,从左到右进行;

(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行。

15、科学技术法:

把一个大于10的数表示成a﹡10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数(即0

16、近似数(approximatenumber):

17、有理数可以写成m/n(m、n是整数,n≠0)的形式。

另一方面,形如m/n(m、n是整数,n≠0)的数都是有理数。

所以有理数可以用m/n(m、n是整数,n≠0)表示。

拓展知识:

1、  数集:

把一些数放在一起,就组成一个数的集合,简称数集。

(1)所有有理数组成的数集叫做有理数集;

(2)所有的整数组成的数集叫做整数集。

2、  任何有理数都可以用数轴上的一个点来表示,体现了数形结合的数学思想。

3、  根据绝对值的几何意义知道:

|a|≥0,即对任何有理数a,它的绝对值是非负数。

4、  比较两个有理数大小的方法有:

(1)根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较;

(2)根据规定进行比较:

两个正数;正数与零;负数与零;正数与负数;两个负数,体现了分类讨论的数学思想;

(3)做差法:

a-b>0⇔a>b;

(4)做商法:

a/b>1,b>0⇔a>b.

二、基础训练

选择题

1、下列运算中正确的是(     ).

 A.a2·a3=a6          B.

=2 C.|(3-π)|=-π-3   D.32=-9

2、下列各判断句中错误的是()

A.数轴上原点的位置可以任意选定

B.数轴上与原点的距离等于

个单位的点有两个

C.与原点距离等于-2的点应当用原点左边第2个单位的点来表示

D.数轴上无论怎样靠近的两个表示有理数的点之间,一定还存在着表示有理数的点。

3、

是有理数,若

,下列说法正确的是()

A.

一定是正数B.

一定是负数

C.

一定是正数D.

一定是负数

4、两数相加,如果比每个加数都小,那么这两个数是()

A.同为正数B.同为负数C.一个正数,一个负数D.0和一个负数

5、两个非零有理数的和为零,则它们的商是()

A.0B.-1C.+1D.不能确定

6、一个数和它的倒数相等,则这个数是()

A.1B.-1C.±1D.±1和0

7、如果|a|=-a,下列成立的是()

A.a>0B.a<0C.a>0或a=0D.a<0或a=0

8、(-2)11+(-2)10的值是()

A.-2B.(-2)21C.0D.-210

9、已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶,现有16个矿泉水空瓶,若不交钱,最多可以喝矿泉水(    )

    A. 3瓶        B. 4瓶              C. 5瓶            D.  6瓶

10、在下列说法中,正确的个数是()

⑴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示

⑵数轴上的每一个点都表示一个有理数

⑶任何有理数的绝对值都不可能是负数

⑷每个有理数都有相反数

A、1B、2C、3D、4

11、如果一个数的相反数比它本身大,那么这个数为()

A、正数B、负数

C、整数D、不等于零的有理数

12、下列说法正确的是()

A、几个有理数相乘,当因数有奇数个时,积为负;

B、几个有理数相乘,当正因数有奇数个时,积为负;

C、几个有理数相乘,当负因数有奇数个时,积为负;

D、几个有理数相乘,当积为负数时,负因数有奇数个;

13、如果零上3℃记作+3℃,那么零下3℃记作(   )

  A、—3   B、-6  C、-3℃  D、-6℃

14、若a与2互为相反数,则∣a+2∣等于(   )

  A、0  B、-2  C、2  D、4

填空题

1、在有理数-7,

,-(-1.43),

,0,

,-1.7321中,是整数的有_____________是负分数的有_______________。

2、一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在原点的____边,与原点的距离是____个单位长度;表示数-a的点在原点的____边,与原点的距离是____个单位长度。

3、如果一个数是6位整数,用科学记数法表示它时,10的指数是_____;用科学记数法表示一个n位整数,其中10的指数是___________.

4、实数a、b、c在数轴上的位置如图:

化简|a-b|+|b-c|-|c-a|.

 

5、绝对值大于1而小于4的整数有_____________________________________,其和为___________.

6、若a、b互为相反数,c、d互为倒数,则(a+b)3-3(cd)4=________.

7、1-2+3-4+5-6+……+2001-2002的值是____________.

8、若(a-1)2+|b+2|=0,那么a+b=_____________________.

9、平方等于它本身的有理数是___________,立方等于它本身的有理数是_____________.

10、用四舍五入法把3.1415926精确到千分位是          ,用科学记数法表示302400,应记为            ,近似数3.0×

 精确到          位。

11、正数–a的绝对值为__________;负数–b的绝对值为________

12、甲乙两数的和为-23.4,乙数为-8.1,甲比乙大

13、在数轴上表示两个数,的数总比的大。

(用“左边”“右边”填空)

14、数轴上原点右边4.8厘米处的点表示的有理数是32,那么,数轴左边18厘米处的点表示的有理数是____________。

15、温度由-5℃下降3℃后,结果可记为_____.

16、-1/3的相反数是_______,绝对值是_______,倒数是_______.

三、强化训练

1、计算:

1+2+3+…+2002+2003=__________.

2、已知:

(a,b均为整数)则a+b=

3、观察下列等式,你会发现什么规律:

,。

请将你发现的规律用只含一个字母n(n为正整数)的等式表示出来

4、已知

,则

___________

5、已知

是整数,

是一个偶数,则a是(奇,偶)

6、已知1+2+3+…+31+32+33==17×33,求1-3+2-6+3-9+4-12+…+31-93+32-96+33-99的值。

7、在数1,2,3,…,50前添“+”或“-”,并求它们的和,所得结果的最小非负数是多少?

请列出算式解答。

8、如果规定符号“*”的意义是a*b=ab/(a+b),求2*(-3)*4的值。

9、已知|x+1|=4,(y+2)2=4,求x+y的值。

10、投资股票是一种很重要的投资方式,但股市的风云变化又牵动了股民的心。

例:

某股民在上星期五买进某种股票500股,每股60元,下表是本周每日该股票的涨跌情况(单位:

元):

星期

每股涨跌

+4

+4.5

-1

-2.5

-6

(1)

(1) 星期三收盘时,每股是多少元?

(2)

(2) 本周内最高价是每股多少元?

最低价是多少元?

(3) 已知买进股票是付了1.5‰的手续费,卖出时需付成交额1.5‰的手续费和1‰的交易费,如果在星期五收盘前将全部股票一次性地卖出,他的收益情况如何?

(4) 以买进的股价为0点,用折线统计图表示本周该股的股价情况。

第二章整式的加减总复习

【知识点定义】

1、单项式

对数字和若干个字母施行有限次乘法运算,所得的代数式叫做单项式.单独一个数或一个字母也是单项式.

2、系数

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.

3、单项式的次数

一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.

4、多项式

几个单项式的和叫做多项式.

5、多项式的项

在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.

-6是常数项.

6、常数项

多项式中,不含字母的项叫做常数项.

7、多项式的次数

多项式里,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数.

8、降幂排列

把一个多项式,按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列.

9、升幂排列

把一个多项式,按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列.

10、整式

单项式和多项式统称整式。

11、同类项

所含字母相同,并且相同字母的次数也相同的项,叫做同类项.常数项都是同类项.

12、合并同类项

把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.

合并同类项的法则是:

同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变.

13、去括号法则

括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不变符号;

括号前是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉,括号里各项都改变符号.

例:

a+(b-2c)-(e-2d)=a+b-2c-e+2d

14、添括号法则

添括号后,括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变符号;

  添括号后,括号前面是“-”号,括到括号里的各项都改变符号.

  例:

m+2x-y+z-5=m+(2x-y)-(-z+5)

15、整式的加减

整式加减的一般步骤:

  1.如果遇到括号,按去括号法则先去括号;

  2.合并同类项.

16、代数式的恒等变形一个代数式用另一个与它恒等的表达式去代换,叫做恒等变形.

第三章《一元一次方程》综合复习指导

【知识点归纳】

一、方程的有关概念

1.方程:

含有未知数的等式就叫做方程.

2.一元一次方程:

只含有一个未知数(元)x,未知数x的指数都是1(次),这样的方程叫做一元一次方程.例如:

1700+50x=1800,2(x+1.5x)=5等都是一元一次方程.

3.方程的解:

使方程中等号左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解.

注:

⑴方程的解和解方程是不同的概念,方程的解实质上是求得的结果,它是一个数值(或几个数值),而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵方程的解的检验方法,首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值,其次比较两边的值是否相等从而得出结论.

二、等式的性质

    等式的性质

(1):

等式两边都加上(或减去)同个数(或式子),结果仍相等.用式子形式表示为:

如果a=b,那么a±c=b±c

(2)等式的性质

(2):

等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等,用式子形式表示为:

如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么=

三、移项法则:

把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.

四、去括号法则

1.括号外的因数是正数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.

2.括号外的因数是负数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变.

五、解方程的一般步骤

1、去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)

2、去括号(按去括号法则和分配律)

3、移项(把含有未知数的项移到方程一边,其他项都移到方程的另一边,移项要变号)

4、合并(把方程化成ax=b(a≠0)形式)

5.系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=).

六、用方程思想解决实际问题的一般步骤

1、审:

审题,分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间的关系.

2.、设:

设未知数(可分直接设法,间接设法)

3、列:

根据题意列方程.

4、解:

解出所列方程.

5、检:

检验所求的解是否符合题意.

6、答:

写出答案(有单位要注明答案)

七、有关常用应用类型题及各量之间的关系

1、和、差、倍、分问题:

(1)倍数关系:

通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率……”来体现.

(2)多少关系:

通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.

2、等积变形问题:

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为:

①形状面积变了,周长没变;

②原料体积=成品体积.

3、劳力调配问题:

这类问题要搞清人数的变化,常见题型有:

(1)既有调入又有调出;

(2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;

(3)只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变

4、数字问题

(1)要搞清楚数的表示方法:

一个三位数的百位数字为a,十位数字是b,个位数字为c(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9)则这个三位数表示为:

100a+10b+c.

(2)数字问题中一些表示:

两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示;奇数用2n+1或2n—1表示.

5、工程问题:

工程问题中的三个量及其关系为:

工作总量=工作效率×工作时间

6、行程问题:

  

(1)行程问题中的三个基本量及其关系:

路程=速度×时间.

  

(2)基本类型有

    ①相遇问题;

    ②追及问题;常见的还有:

相背而行;行船问题;环形跑道问题.

7、商品销售问题

有关关系式:

商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价

商品利润率=商品利润/商品进价

商品售价=商品标价×折扣率

8、储蓄问题

⑴顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税

⑵利息=本金×利率×期数

本息和=本金+利息

利息税=利息×税率(20%)

【典型例题】

一、一元一次方程的有关概念

例1.一个一元一次方程的解为2,请写出这个一元一次方程.

分析与解:

这是一道开放性试题,答案不唯一.如x=1,x-2=0等等.

【点拨】解答这类开放性问题时要敢于大胆猜想,然后利用一元一次方程的定义与解来完成.

二、一元一次方程的解

例2.若关于

的一元一次方程

的解是

的值是()

A.

B.1C.

D.0

分析:

根据方程解的定义,一元一次方程的解能使方程左、右两边的值相等,把x=-1代入原方程得到一个关于k的一元一次方程,解这个方程即可得到k的值.

解:

把x=-1代入

中得,-=1,解得:

k=1.答案为B.

【点拨】根据方程解的概念,直接把方程的解代入即可.

三、一元一次方程的解法

例3.如果

那么

等于()

(A)1814.55(B)1824.55(C)1774.45(D)1784.45

分析与解:

移项,得2005-200.5+20.05=x,解得:

x=1824.55.答案为A.

【点拨】由于一元一次方程的形式、结构多种多样,所以在解一元一次方程时除了要灵活运用解一元一次方程的步骤外,还要根据方程的特定结构运用适当的解题技巧,只有这样才能降低解题难度.

例4.{[(x-1)-3]-3}=3

分析:

观察本题中各个系数的特点,可以选择由外到内去括号的方法,从而可以一次性去掉大括号和中括号,既简化了解题过程,又能避开一些常见解题错误的发生.

解:

去大括号,得[(x-1)-3]-2=3

    去中括号,得(x-1)-3-2=3

    去小括号,得x--3-2=3

    移项,得x=+3+2+3

    合并,得x=

    系数化为1,得:

x=17

四、一元一次方程的实际应用

例5.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅.经过测试:

同时开放1个大餐厅、2个小餐厅,可供1680名学生就餐;同时开放2个大餐厅、1个小餐厅,可供2280名学生就餐.

(1)求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐;

(2)若7个餐厅同时开放,能否供全校的5300名学生就餐?

请说明理由.

分析:

可以先设1个小餐厅可供

名学生就餐,这样的话,2个小餐厅就可供2y个学生就餐,因此大餐厅就可共(1680-2y)名学生就餐.然后在根据开放2个大餐厅、1个小餐厅可以就餐的人数列出方程2(1680-2y)+y=2280

解:

(1)设1个小餐厅可供

名学生就餐,则1个大餐厅可供(1680-2y)名学生就餐,根据题意,得

2(1680-2y)+y=2280

解得:

y=360(名)

所以1680-2y=960(名)

答:

(略).

(2)因为

所以如果同时开放7个餐厅,能够供全校的5300名学生就餐.

【点拨】第⑴问属于直接列方程解应用题,而第⑵问属于说理题,关键是求出这7个餐厅共能容纳多少人就餐,然后比较即可.

例6.工艺商场按标价销售某种工艺品时,每件可获利45元;按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元?

分析:

根据利润=售价-进价与售价=标价×折扣率这两个等量关系以及按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等,就可以列出一元一次方程.

解:

设该工艺品每件的进价是

元,标价是(45+x)元.依题意,得:

8(45+x)×0.85-8x=(45+x-35)×12-12x

解得:

x=155(元)

所以45+x=200(元) 

答:

(略).

【点拨】这是销售问题,在解答销售问题时把握下列关系即可:

商品售价=商品标价×折扣率

商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折数—商品进价

商品利润率=×100%

例7.(2006·益阳市)八年级三班在召开期末总结表彰会前,班主任安排班长李小波去商店买奖品,下面是李小波与售货员的对话:

李小波:

阿姨,您好!

售货员:

同学,你好,想买点什么?

李小波:

我只有100元,请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本.

售货员:

好,每支钢笔比每本笔记本贵2元,退你5元,请清点好,再见.

根据这段对话,你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗?

分析:

这是一道情景对话问题,具有一定的新颖性.解答这类问题的关键是要从对话中捕捉等量关系.从对话中可以知道每支钢笔比每本笔记本贵2元,同时还可以发现买10支钢笔和15本笔记本共消费(100-5)=95元.根据上述等量关系可以得到相应的方程.

解:

设笔记本每本x元,则钢笔每支为(x+2)元,据题意得

  10(x+2)+15x=100-5

  解得,x=3(元)

所以x+2=5(元)

答:

(略).

【点拨】在情景问题应用中,捕捉等量关系是关键.

第四章图形认识初步

【知识点归纳】

一、多姿多彩的图形

1.从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。

2.点、线、面、体

A.点:

线和线相交的地方。

B.线:

面和面相交的地方,线可分为直线、射线、线段

C.体:

正方体、长方体、圆柱、球等都是几何体,几何体简称体。

D.面:

包围着体的是面,面可分为平的面、曲的面。

二、直线、射线、线段

1.两点确定一条直线

2.当两条不同的直线有一个公共点时,我们就称这两条直线相交,

这个公共点叫做它们的交点。

3.两点之间,线段最短。

4.连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离。

三、角

1.有且只有一个角

2.把一个周角360等分,每一份就是一度的角,记做1°﹔把1度的角60等分,每一份叫做1分的角,记作1′﹔把1分的角60等分,每一份叫做1秒的角,记作1″。

3.角的运算:

1周角=360°,1平角=180°,1°=60′,1′=60″

4.角的平分线:

A.从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线。

B.角平分线上的一点到角的两边距离相等。

四、线段、射线和直线的联系与区别

联系:

线段、射线、直线是部分与整体的关系.线段向一方无限延长形成了射线,向两个方向无限延长得到了直线.直线上的

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