四年级奥数教师版第六讲幻方与数阵图.docx
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四年级奥数教师版第六讲幻方与数阵图
第六讲幻方与数阵图
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三阶幻方的性质：
1.中心位置上的数等于幻和除以3；
2.角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数；
3.中心数两头的数等于中心数的2倍。
例1：
我们先来一起解决三道难度相差很大的题目，目的在于总结出三阶幻方的若干重要性质。
如下图，将1—9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你一共可以得到多少种填法？
解析：
首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？
立刻我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。
它是多少呢？
哦，如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是3倍的“幻和”吗？
而另一方面，我们也知道，由于1到9这九个数字都只各用了一次，所以3倍的的“幻和”就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（请复习学过的等差数列知识）。
于是最后，我们终于得到这个至关重要的“幻和”就是45÷3=15。
接下来第二步，我们来关心一下中间一格应该填哪个数字。
同学们可能会说，中间一定填5，因为1到9的中间数字就是5，而幻方又是上下左右对称的。
没错，同学们有这样的数学直观很好，但是为了确定我们的判断，还是需要严格地说明一下。
A
B
C
D
E
F
G
H
I
看上面的表格，由于我们还没有填入任何一个数字，所以就用了九个大写字母来表示。
下面就需要技巧了，我们现在只考虑包含E的四条直线：
因为A+E+I=15,B+E+H=15,C+E+G=15,D+E+F=15,所以如果我们把这四个式子的左右两边分别相加，就可以得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3×E=60,
而A+B+C+D+E+F+G+H+I不就是所填数的总和吗？
不论填法如何，这个数是不变的，它就是45，于是那么我们就得到E=5了。
解：
根据上面的分析，我们知道“幻和”=15，而E=5。
从而我们知道A+I=B+H=C+G=D+F=10，也意味着在所有经过中心的直线上，两端的数字奇偶性相同。
然后我们可以通过枚举的方法确定每个位置上数字的奇偶性：
（大家自己完成）
偶
奇
偶
奇
5
奇
偶
奇
偶
我们可以看到，如果4个角上的偶数被确定下来，那么其余4个奇数也就被确定了，所以我们可以只考虑这4个偶数的填法。
利用一点简单的乘法原理，大家就可以知道本题共有8种填法。
具体填法如下：
2
9
4
2
7
6
8
3
4
8
1
6
7
5
3
9
5
1
1
5
9
3
5
7
6
1
8
4
3
8
6
7
2
4
9
2
4
9
2
4
3
8
6
7
2
6
1
8
3
5
7
9
5
1
1
5
9
7
5
3
8
1
6
2
7
6
8
3
4
2
9
4
总结：
这里要强调一点：
奇偶性分析并不是解决幻方题的典型方法，只在某些特殊的题目中会被用到。
在上面这个解题过程中，我们用到了一点技巧，希望同学们加以领会。
本题中，我们看到所有经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于中间这个E。
那么我们来问一个深入一点的问题：
你认为这是在这道题中才产生的特殊性质，还是所有的三阶幻方都应该具有类似的性质？
还有，就是上面我们曾经得出的那个“幻和”的3倍就等于这九个数之和的这条性质，它能不能推广到所有的三阶幻方？
【巩固】.请你将3~11这9个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行三个数的和相等。
解析：
首先将这列数中的中间数放在中间的格子里
可知幻和是7×3=21；
其次；将最小的数和最大的数分别放在这个数的横
向或竖向的两边；第三，中间数前面的第2和第4个数分
别填在最大数的两侧，这时就可以轻松的确定剩下的几个
空了。
8
9
4
3
7
11
10
5
6
4
3
7
11
6
例2：
下图是一个三阶幻方，请说明幻和等于3倍的E且D+F=2×E。
D
E
F
第2题
解析：
有了第1题的基础，大家应该对本题感到不是那么陌生了，只要把第1题的一部分解题过程搬过来就行。
这道题也是让大家看一看如何把一个特殊的解题过程变成一条普遍的规律或性质。
解：
首先把题目中的空白格子标上不同的字母，以便表述。
A
B
C
D
E
F
G
H
I
首先，只考虑包含E的四条直线，得到A+E+I=“幻和”，B+E+H=“幻和”，C+E+G=“幻和”，D+E+F=“幻和”。
然后，把这四个式子的左右两边分别相加，得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3×E=4倍的“幻和”,而另一方面，如果我们只考虑幻方的三行，则有A+B+C=D+E+F=G+H+I=“幻和”，因此A+B+C+D+E+F+G+H+I=3倍的“幻和”。
所以，3×E=“幻和”，而“幻和”=D+E+F，于是D+F=2×E。
总结：
同样的分析办法，还可以得到A+I=B+H=C+G=D+F=2×E（请大家自己说明）。
本题回答了例1评议中提出的两个问题，从而我们得到三阶幻方的两条重要性质。
性质1：
“幻和”的3倍等于这九个数之和；
性质2：
所有经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于正中间的数字。
B
A
C
第3题
例3：
上图是一个三阶幻方，请说明A+B=2×C。
解析：
这是一道难题，它之所以难，就在于条件太少，只有三阶幻方的概念可以用。
于是我们就想到利用性质1和2，看看能不能解决问题。
当然，只利用题目中的A、B、C三个位置上的数字是不可能做出来的，至少还要利用一个其它位置上的数字作为过渡，比如我们可以选择左上角的数字，并用x来表示它：
x
B
A
*
C
下面我们要用到比较法，其实也就是性质1。
解：
现在考虑*处的数字。
如果我们只看上面第一行和右边第一列，可以知道*+C=B+x，也就是*=B+x-C；而如果我们只看中间第二行和左上到右下的对角线，可以知道x+C=A+*，也就是*=x+C-A。
所以B+x-C=x+C-A，两边可以都去掉x，就得到A+B=2×C。
总结：
这就是幻方的性质3，也被形象的称为“T”字型性质。
当然，类似本题中这样A+B=2×C的性质还有另外3种不同方向的表达形式，大家应该自己可以总结出来。
“T”字型性质是非常重要，而且神奇的性质，它神奇就神奇在三阶幻方有无穷多个，看起来好像数字怎么填都可以。
但是这条性质却告诉我们在离得这么远的三个位置上的数字之间却有着这样简单的关系，三阶幻方中的数字不是随便怎么填都可以的，中间还潜藏着一些更深层次的特殊性质。
这正是数学的魅力所在。
例4：
那么究竟我们总结出来的3条性质有什么用呢，
请完成下面的三阶幻方：
解析：
本题需要综合利用上面的3条性质以及比较法来解决，目的主要是求出“幻和”，一旦“幻和”求出来了，一切就都没问题了。
但是不同人的解题顺序和利用性质的方式可能很不一样，所以下面我只是提供一种可行的解题顺序和方法，大家应该有自己的解题顺序和方法。
这类题是简单的。
解：
B
A
100
19
95
（1）
根据性质2，A=100×2-19=181，B=100×2-95=105；“幻和”=100×3=300。
下面就只要根据幻方的概念填就可以了。
答案如下：
24
171
105
181
100
19
95
29
176
（2）
17
A
29
C
19
B
根据比较法，A=19+29-17=31；根据性质3，B=（17+29）÷2=23；根据性质2，C=（19+31）÷2=25，“幻和”=25×3=75。
下面也就只要根据幻方的概念填就可以了。
答案如下：
27
17
31
29
25
21
19
33
23
总结：
最后重申几点注意事项：
I.这些性质只适用于三阶幻方，对于四阶和四阶以上的幻方，有些性质可能就不成立了，而有些需要修改，请同学们慎重，具体问题具体处理。
II.这几条性质适合于所有的三阶幻方，并没有局限性。
2、四阶幻方
4阶幻方的填法：
将数字从左到右、从上到下按顺序填写：
这个方阵的对角线，已经用颜色标出。
将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。
这里，n×n+1=4×4+1=17；把1换成17-1=16；把6换成17-6=11；把11换成17-11=6……换完后就是一个四阶幻方。
（见右上图）
数阵图
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数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这类问题可以按以下步骤解决问题：
第一步：
从整体考虑，将要求满足相等的几个数字和全部相加，一般为n×s的形式。
第二步：
从个体考虑，分别计算每一个位置数字相加的次数，将比较特殊的（多加或少加几次）位置数字用未知数表示，全部相加，一般为题目所给全部数字和×一般位置数字相加次数±特殊位置数字和×多加或少加次数的形式。
第三步：
格局整体与个体的关系，列出等式即n×s=题目所给全部数字和×一般位置数字相加次数±特殊位置数字和×多加或少加次数。
第四步：
根据数论植树即整除性确定特殊位置数的取值即相对应的S值。
第四步：
根据确定的特殊位置数字及S值进行数字分组及尝试。
类型一：
封闭类型的数阵图
例1：
将1~6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11.
解析：
此图是封闭3—3图，因为每条边上的和都为11，那么三条边上的数字之和为11
，而1+2+…+5+6=21.所以三角形的三个数之和等于33-21=12，在1~6中选3个和为12的数，且其中任意两个的和不等于11，这样的组合有：
12=2+4+6=3+4+5,经试验，填法如图。
例2：
将1~6填入左下图的六个○中，是三角形每条边上的三个数之和都等于
，请指出
的取值范围。
解析：
设三角形三个顶点的数字之和为
，因为每个顶点属于两条边公有，所以把三条边的数字和加起来，等于将1至6加一遍，同时将三个顶点数字多加一遍，于是有（1+2+3+4+5+6）+
=
，化简后为
。
由于
是三个数之和，故最小为1+2+3=6，最大为4+5+6=15，由此求出9
。
和
有四组取值：
通过实验，每组取值都相应一种填数方法（见右上图）。
像例题中的数阵图，它的各边相互连接，形成封闭图形，我们称它们为“封闭型数阵图”天这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系方式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图。
一般地，有
条边，每条有
个数的图形称为封闭型（或辐射型或复合型）
图，封闭型
图有
个重叠数，重叠次数都是1次。
对于封闭型数阵图，因为重叠一次，所以：
已知各数之和+重叠之和=每边各数之和
边数
类型二：
辐射类型的数阵图
例1：
将1~7这七个数字，分别填入图中各个○内，使每条线段上的三个○内数的和相等。
解析：
设中心○内填
，由于三条线上的数字和相加应是3的倍数，其中
一共加了3次，所以1+2+3+4+5+6+7+2
=28+2
一定是3的倍数。
而28
，那么2
的余数应该是2，因此，
，4或7.
（1）当
28+2=30，30
，10-1=9，除中心外，其它两数的和应是9，只要把2，3，4，5，6，7，六个数按“和”是9分成三组填入相应的，○内就可以了。
填法如图
（1）
（2）当
时，28+8=36，36
。
填法如图
（2）
当
时，28+14=42，42
。
填法如图（3）
课后练习
5
6
1.在九宫图中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列位置上填6，如下图.请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为27.
解析：
已知幻和是27，可知中间数是：
27÷3=9,
根据：
和-差=减数，分别将其他数求出。
8
14
5
6
9
12
13
4
10
答案如下：
2、在下图的九个方格中,每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则
N=.
解析：
已知幻和，8+6+16=30，可求中间数是：
30÷3=10；设一个角上的数是，根据幻和的特点，可将其他的空格一次算出。
答案如下右图：
8
N
6
16
12
8
18
4
6
10
14
16
2
12
3、请你将5~13这9个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行三个数的和相等。
10
11
6
5
9
13
12
7
8
解析：
中间数是：
9，幻和：
27；可据此
分别填出其他的空格，不做过多的解释了。
4、编制一个三阶幻方，使其幻和等于24.
解析：
根据幻和是24，可以求出中间数是：
24÷3=8，
再根据例题中的方法填其他的空格。
9
10
5
4
8
12
11
6
7
5、用1至16这十六个数编制一个四阶幻方。
解析：
可用“错位移动法”来填。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解：
（1）
1
15
14
4
12
6
7
9
8
10
11
5
13
3
2
16
（2）正确结果
【巩固】用3至18这16个数排出一个4阶幻方。
3
17
16
6
14
8
9
11
10
12
13
7
15
5
2
18
解：
6、在下图中填入不大于15且互不相等的8个数，使每行每斜行的三个数的和都等于30.
解析：
利用幻和，可以求出中间数，再利用“斜线填法”编制三阶幻方。
具体步骤是：
第一,把最大的数填在除中间位置外任意行或列的格子中，第二，把第二大数填入任意一个角上的格子中，其余就根据幻和来填。
解：
中间数：
30÷3=10，要填入的九个数：
6,7,8,9,10，11,12,13,14.
11
12
7
6
10
14
13
8
9
7、把20以内的质数分别填入下图的一个○中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。
解析：
由上图看出，三组数都包括左、右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等。
20以内共有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数，两两之和相等的有
5＋19＝7＋17＝11＋13，
于是得到下图的填法。
8、在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等。
解析：
因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○，又因为每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10。
10分为三个质数之和只能是2＋3＋5，由此得到右图的填法。
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