克莱姆法则及证明.docx
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克莱姆法则及证明
第7节克莱姆（Cramer）法则
一、线性方程组
M元线性方程组是指形式为：
&弹1+如心+…+知兀=0
也1忑十幺22兀2十…十a缶耳=鸟
纟內+弧2勺+…F椰兀=%
（1）
的方程组，其中"广耳代表E个未知長，也是方程的个数，即，（"12•皿；
J=1,2,…，对称为方程组的系数，坊°=12・••,烧）称为常数项。
线性方程组的一个解是指由"个数5S*组成的有序数组（“心，…工”），当屯个
未知旻勾內，…心分别用n‘心代入后，式⑴中每个等式都成为恒等式。
方程组⑴
的解的全体称为它的解集台，如果两个线性方程组有相同的解集台，就称它们是同解方程组。
为了求解一个线性方程组，必须讨论以下一些问题：
⑴•这个方程组有没有解？
⑵•如果这个方程组有解，有多少个解？
⑶.在方程组有解时,解之间的关系，并求出全部解。
本节讨论方程的个数与未知長的个数相等（即曲=总）的情形。
二、克莱姆法则
定理1（克莱姆法则）如果线性方程组
的系数行列式:
広11^12・・・a\n
务1§2•八°殛
那么这个方程组有解，并且解是唯一的，这个解可表示成:
其中◎是把。
中第'列换成常敌项玄给*••心所得的行列式，即
如…
珀-】
%
A=
禺1…
宓+1■■■
细…
%
%1…
QT2…卫）
分析：
定理一共有3个结论：
「方程组有解；/解是唯一的；癸解由公式⑶给出。
因此证明的步骤是:
吗=—（｝=1,2,’・‘卫）
第一，把'D''''代入方程组，验证它确实是解。
这样就证明了方程组
有解，并且（3）是一个解，即证明了结论1°与歹。
第二，证明如果兀1’1內％2,…入是方程组
（2）的一个解，那么一定有6=2,巾=2,…,q=2
D'刃‘’”D0这就证明丁解的唯一性，即证明了结论旷。
D=a..
证明：
先回忆行列式的一个性质，设〃阶行列式&，则有：
D
0
当i=J时;当"丿咏
接下来证明定瑾。
首先，证明（3）确实是
（2）的解。
将行列式'按第&列展开得：
q=外竝十鸟禺十…十女4点=12,・丿）
>
了・~=12■■■其中吗是行列式。
中元素旬的代数余于式（3^=12/-;«）o现把'°、…’代入第上个方程的左端，得：
叫I善十％2善十…十％善二£3駄D\+ak2D2十…+%D&
=舟跖0A十泌i十…十g）十乐2（Ma十泌2十…十氏兔2）
=訥（ajaAi十乐2血十…+%A）垃（如&i十乐2血+…十臥£）
i'+氏@赵1+%42+1''十必J]
这说明将（3）代入第上（上=1,2…严）个方程后，得到丁一个恒尊式，所以（3）是
（2）的
一个解。
其次，设%严是方程组
（2）的一个解,那么，将吗=◎代入
（2）
后，得到E个恒等式：
©疋1+刚巾+…+知4弋也口十％巾十…十色AP
用系数行列式的第诵=1,2,…，羽）列的代数余于式血4“…，几依次去乘⑷中E个恒等
式，得到：
anAicl+aliAic^十…十孤血q=^1-4?
匀I血5+咛&卢2+，"+<22»4^»=“2禺
耳1九勺+^4^2十…+如几务=氏几
将此"个等式相加，得：
（的迢+砌14十…十如心）"十（牝血+购血十…+知心）勺+…十
（仏血+幻M+，,，+做凤）勺=Mu十巧禺+，,，+Mi
==2（7=12…，力）（、
从而有：
Do这就是说，如果5心，疋”丿是方程组
（2）的
q二各。
=1,2,…,丸）
一个解，那么一定有°,所以方程组只有一个解。
三、齐次线性方程组
在线性方程组中，有一种特殊的线性方程组，即常教项全为零的方程组，称为齐次线性方程组。
显然，齐次线性方程组总是有解的，因为召=0（212…卫）就是它的解，这个解称为零解；其他的，即吗不全为零的解（如果还有的话），称为非零解。
所以，对于齐次线性方程组，需要讨论的问题，不是有没有解，而是有没有非零解。
这个问题与齐次线性方程组解的个数是有密切关系的。
如果一个齐次线性方程组只有零解，那么这个方程组就只有唯一解；反之，如果某个齐次线性方程组有唯一解，那么由于零解是一个解，所以这个方程组不可能有非零解。
对于方程个数与未知長个数相同的齐次线性方程组，应用克莱姆法则，有
推论1如果齐次线性方程组
十如屯十…十仏心=0
角內+如勺+如兀=0
的系数行列式不等于零，那么（5）只有零解。
推论2齐次线性方程组
曲內十如心十…
•十%%=0
勺內+如尤2+，'
'+如兀=°
3izi+^2+"
卄细兀=°
有非零解的必要条件是它的系数行列式等于零。
四、例子
例1解线性方程组
与西十花一兀十兀|=_3X]+x3+2x4=4
彳~_
2再十花十2也=7
X]+2勺十兀=6
解：
方程组的系教行列式：
31-11
1-1D=
21
2
=_13丸
-1
1021
-3
1
-1
1
3
-3
-1
1
4
-1
1
2
=-13
6=
1
4
1
2
7
1
2
-1
2
7
2
-1
6
0
2
1
1
6
2
1
所以根据克菜姆法则,
这个线性方程组有唯一解。
又因
A=
=-26
3
1
1
-1
-3
4
1
2
込=
2
1
7
-1
1
0
6
1
所以这个线性方程组的唯一解为:
3
1
1
-1
-1
1
-3
4
2=
2
1
2
7
1
0
2
6
X\
D
例2解线性方程组
解：
方程组的系教行列式:
2
=-70^0
2
2-132
3-33
D=
3-1-1
3-13-1
所以根据克茱姆法则，这个线性方程组有唯一解。
又因
6-1
-1
=-70,
-1
2
=-70
2
2
343-1
-1
-1
-1
=-70,
5
=-70
3
-1
-1
所以这个线性方和组的唯一解为:
例3已知三次曲线》=丁仗）叫十V+十际在四个点入=±1，花=±2处的
值分别为：
=⑵f介刀=-6,试求其系护旳幻化
解：
将三次曲线在4点处的值代入其方程，得到关于弘心的线性方程组:
aQ+©+a2+他=6
呦+幻（・1）+幻（・1）2+幻（・1）—6a0+如2+a222十他2’=6
=-6
所以根据克茱姆法则,
它的系数行列式是范德蒙行列式:
1111
1111
1-1（-1）2（-厅
1-11-1
122223
1248
1-2（—2）2（-2『
1-24-8
D=
=72^0
这个线性方程组有唯一解。
又因
6
1
1
1
1
6
1
1
6
-1
1
-1
=576
6=
1
6
1
-1
6
2
4
8
1
6
4
8
-6
_2
4
-8
1
-6
4
-8
A=
=-72
1
1
6
1
1
1
1
6
1
-1
6
-1
=-144
2=
1
-1
1
6
1
2
6
8
1
2
4
6
1
-2
-6
-8
1
-2
4
_&
A=
=72
所以血=&两=-U2=-2^3=1^即所求的三次曲线方程为/«=8-x-2?
+x3
例4如果齐次线性方程组
厂珂+花+也=0再十2花十也十耳=0
彳
珂十花■3兀3十兀j=0丙4%+&勺一％=0
有非零解，那么必须满足什么条件？
解：
由克莱姆法则知，齐次线性方程组有非零解的必要条件是其系教行列式等于零，因此有
又由:
121D=
11一3
=0
1
1
一3
11a
1-31
1ab
11a
0-4l-Q=（小）2-4&
0a-1b-a
从而必须
满足的条件为
注用克莱姆法则求解系数行列式不等于零的M元非齐次线性方程组，壽要计算左+1
个尬阶行列式，它的计算工作長很大。
实际上关干数宇系数的线性方程组（包括系数行列式等于零尺方程个数和未知長个数不相同的线性方程组）的解法，一般都采用后续章节介绍的方法来求解。
克茱姆法则主要是在理论上具有重要的意义，特别是它明确地揭示丁方程组的解和系数之间的关系。
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