经济数学基础作业1电大.docx

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经济数学基础作业1电大

经济数学基础作业1

（微分学部分第1章函数—第2章极限、导数与微分）

知识要点：

1．函数概念：

函数的两个要素定义域和对应关系。

要求：

会求函数的定义域和函数值；会判断两函数是否相同。

2．函数的性质：

了解函数的四个性质，掌握函数奇偶性的判别。

3．基本初等函数和函数的复合运算：

记住五类基本初等函数的表达式，知道它们的

图形特征。

掌握函数的复合与“分解”。

4．极限的概念：

知道的意义；

知道的充分必要条件是且

5.无穷小量的概念和性质：

了解无穷小量的概念：

在某个变化过程中，以0为极限的函数。

例如若，则称当时，为无穷小量。

了解无穷小量与无穷大量的关系：

无穷大量的倒数为无穷小量；非零的无穷小量的倒数为无穷大量。

知道无穷小量的性质：

无穷小量与有界变量的乘积为无穷小量。

例如

，因此

6．函数连续的概念和性质：

了解函数在点处连续的概念：

；了解“初等函数在定义区间连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点。

7．导数的概念：

牢记导数定义的极限表达式；知道函数在某点导数的几何意义：

表示曲线在点处的切线的斜率；会求曲线的切线方程，曲线在处的切线方程：

。

了解导数的经济意义。

8．微分的概念：

函数的微分：

9．高阶导数的概念，特别是二阶、三阶导数的概念，比如二阶导数

10．函数极限、连续、可导与可微的关系：

可微可导连续极限存在。

11．掌握求简单极限的常用方法

求极限的常用方法有

（1）利用极限的四则运算法则；

（2）利用重要极限

第一重要极限：

特点：

当时，ⅰ）分子、分母的极限为0；

ⅱ）分子或分母中有一个含有正弦函数关系式。

第一重要极限的扩展形式：

（3）利用无穷小量的性质（有界变量乘以无穷小量还是无穷小量）；

（4）利用连续函数的定义。

12．熟练掌握求导数或微分的方法。

具体方法有：

（1）利用导数（或微分）的基本公式；

（2）利用导数（或微分）的四则运算法则；

（3）利用复合函数求导或微分法；

（4）利用隐函数求导法则。

作业解答：

一．填空题

1．.

解：

当时，分子、分母的极限均为0，且

因此

2．设在处连续，则

解：

由函数的连续定义知：

若在处连续，则。

因为

因此，若在处连续，则1。

3．曲线在（1，2）的切线方程是

解：

根据导数的几何意义有，曲线在（1，2）的切线方程是：

而

故切线方程是：

，即

4．设则。

解：

先求的表达式

令，则，

因为

则

则

5．设则

解：

=

二．单项选择题：

1．当时，下列变量为无穷小量的是（）

A.B.

C.D.

解：

无穷小量的概念：

在某个变化过程中，以0为极限的函数。

A中：

因为时，，故时，不是无穷小量；

B中：

因为时，，故时，不是无穷小量

C中：

因为时，，，故时，不是无穷小量。

D中：

因为时，，故当时，是无穷小量。

因此正确的选项是D。

2．下列极限计算正确的是（）。

A.，B.

C.D.

解：

A不正确。

注意到：

，

因此：

，

不存在。

B．正确。

C．不正确。

因为，由无穷小量的运算质量得：

D．不正确。

因为

因此正确的选项是B。

3．设则（）.

A.B.

C．D．

解：

因为

因此正确的选项是B。

4．函数在点处可导，则（）是错误的.

A.函数在点处有定义B．但

C．函数在点处连续D．函数在点处可微。

解：

注意到函数极限、连续、可导与可微的关系：

可微可导连续极限存在。

正确的选项是B。

5．若，则（）.

A.B．

C．D．

解：

令，则

因为，则，

因此正确的选项是B。

三．解答题

1.求下列极限：

（1）；

解：

该极限属型，先因式分解消去零因子，再利用四则运算法则计算

=

==

（2）

解：

该极限属型，先因式分解消去零因子，再利用四则运算法则计算

（3）；

解：

该极限属型，分子有理化消去零因子，再利用四则运算法则计算

＝

==

（4）

解：

该极限属型，注意到

分子、分母同除以，再利用四则运算法则计算

==

（5）

解：

该极限属型，注意到：

分子、分母分别除以，利用重要极限Ⅰ公式计算

==

（6）

解：

该极限属型，利用重要极限Ⅰ公式计算

=

==4

2．设

问：

（1）当为何值时，在处有极限存在？

（2）当为何值时，在处连续？

解：

（1）因为要使在处有极限存在，则要和

存在且相等，因为

=

=1

因此当，取任意实数时，函数在处有极限存在。

（2）因为要使在处连续，则要=

=

结合

（1）知：

当时，在处连续。

3．求下列导数或微分：

知识要点：

导数的基本公式：

（1），求；

解：

利用导数代数和运算法则

知识要点：

（2）,求y；

解：

==

知识要点：

（3）求；

解：

=

=

知识要点：

（4）,求；

解：

=

=

（5），求；

知识要点：

解：

=

=

知识要点：

（6），求；

解：

，

=

=

（7），求；

知识要点：

解：

=

=

（8），求；

知识要点：

解：

=

=

（9）求；

知识要点：

解：

=

==

知识要点：

（10）求。

解：

=

=

=

4．下列各方程中是的隐函数，试求或

（1）求

解：

方程两边对求导数得：

（2），求

解：

方程两边对求导数：

5．求下列函数的二阶导数

（1），求

解：

（1）=

==

（2），求及

解：

，，

==

=