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第十一章微积分

第十一章：

微积分

第一节微积分的准备工作

众所周知，微积分是牛顿（I．Newton，1643—1727）和莱布尼茨（G．W．Leibniz，1646—1716）创立的．但如果把人类文明史上这一伟大成果仅仅归功于他们二人，就有失公允了．正如牛顿所说：

“我所以有这样的成就，是因为我站在巨人们的肩上．”仅就发明微积分而言，属于他所谓“巨人”之列的，至少可以举出斯蒂文（S．Stevin，1548—1620）、开普勒（J．Kep－ler，1571—1630）、伽利略（G．Galilei，1564—1642）、卡瓦列里（B．Cavalieri，1598—1647）、费马（P．deFermat，1601—1665）、帕斯卡（B．Pascal，1623—1662）、沃利斯（J．Wallis，1616—1703）、巴罗（I．Barrow，1630—1677）等光辉的名字．如果追根溯源，作为微积分基础的极限思想，甚至与古希腊的阿基米德（Archimedes）及中国三国时代的刘徽相联系，他们各自在自己的国土上，提出了计算圆周率的科学方法——割圆术，从而跨入极限领域．当然，微积分的直接准备工作还是从16世纪开始的，体现在微分和求积两个方面．

一、求积理论的发展

在16世纪，积分思想是围绕求积问题发展的，而计算物体重心是与求积有关的一个重要问题．微积分的先驱之一——斯蒂文，首先在这方面有了突破．他在1586年出版的《平衡的原理》（DeBeghinselenderweeghconst）一书中，用极限思想证明了三角形的重心落在中线上．

如图11．1，AD是△ABC的一条中线．斯蒂文在△ABC内作一系列平行四边形，根据阿基米德证明过的对称原理，内接图形的重心应在中线上．当平行四边形的个数无限增加时，内接图形便无限接近△ABC，假定△ABD与△ACD的“重量”不等，其差必为一常数．当平行四边形的个数增加到某一数值时，必使内接图形与△ABC的差小于任意给定常数，从而使△ABD与△ACD之差小于所给常数．这就证明了△ABD与△ACD“重量”相等，即△ABC的重心落在中线上．显然，斯蒂文把三角形看成平行四边形和的极限，其中蕴含着积分思想的萌芽．

开普勒进一步发展了求积中的极限方法，他把球看成是由无穷多个棱锥组成的，每个棱锥的顶点都在球心，底面在球的表面上，高等于球半径r．把这些棱锥的体积加起来，由棱锥体积公式立即得到

开普勒的这一杰出思想，还体现在1615年发表的《测定酒桶体积的新方法》（NovaStereometriadoliorumvinariorum）一书中．据说他对求积问题的兴趣，起源于对啤酒商的酒桶体积的怀疑．他在该书中讨论了许多旋转体的体积，其基本思想是化曲为直，即把曲线形看作边数无限多的直线形．例如，他把圆看作边数为无限的多边形，因此圆面积等于无穷多个等腰三角形面积之和，这些三角形的顶点在圆心，底在圆上，而高为半径r．显然，圆面积等于圆周长与半径的乘积之半．他对球体积公式的推导就是在此基础上发展而来的，著名的开普勒行星三定律中的第二定律——由太阳到行星的向径扫过的面积与经过的时间成正比，其推导过程也应用了这种求积方法．用无穷多个同维的无限小元素之和来确定曲边形面积和体积，这是开普勒求积术的核心，是他对积分学的最大贡献．他的许多后继者都吸取了这一精华．

在《两种新科学》（全名是《关于两种新科学的论述与数学证明》，DiscoursesandMathematicalDemonstrationsConcerningTwoNewSciences，1634）一书中，伽利略的求积方法与开普勒一脉相承．在处理匀加速运动问题时，他证明了在时间一速度曲线下的面积就是距离．如图11．2，假定物体以变速v=32t运动，则在时间OA内通过的距离就是面积OAB．伽利略所以得到这个结论，是因为他不仅把A′B′当作某个时刻的速度，而且把A′B′当作无穷小距离（即把A′B′看作速度与无穷短时间之积）．他认为由动直线A′B′组成的面积OAB必定是总的距离．因为AB是32t，OA是t，所以OAB的面积为16t2，即在时间t内走过的距离为16t2．结论显然是正确的，但推理不够严格．

系统运用无限小元素来计算面积和体积，是通过伽利略的学生卡瓦列里实现的．从1635年发表的《不可分连续量的几何学》（GeometriaIndivisibilibusContinuorumNovaQuadamRationePromota）一书可以看出，他不仅继承了开普勒与伽利略的思想，而且有明显的变革．第一，他不再把几何图形看作同维无穷小元素所组成，而是看作由维数较低的无穷小元素所组成，并把这些无穷小元素称为“不可分量”．例如，体积的不可分量是无数个平行的平面．第二，他建立起两个给定几何图形的不可分量之间的一一对应关系，若每对量的比都等于同一个常数，则他断定两个图形的面积或体积也具有同样比例．所谓卡瓦列里原理便是在此基础上提出的，下面，我们以他对球体积的推导为例，说明他是怎样通过不可分量的比较来求积的．

如图11．3，设DHC是以O为圆心的半圆，ABCD是它的外切矩形．以OH为旋转轴，则正方形OHBC画出圆柱，三角形OHB画出圆锥，而弧HC画出半球面．用平行于底面的任意平面去截这些图形，则产生以G为圆心的半径分别为RG、FG和EG的圆，它们分别为圆柱、圆锥和半球的不可分量，这些不可分量存在如下关系：

OE2=GO2＋EG2

即RG2＝FG2+EG2．

所以πRG2＝πFG2＋πEG2．

由于截面的任意性，所以圆柱体积等于半球与圆锥体积之和，设球半径为r，则

大约在1636年，费马提出一种新的求积方法．他吸收了开普勒的同维无限小元素思想，又保留了卡瓦列里不可分量法在求积问题上的有效

坐标为a，αa，α2a…的点（比例常数α＜1），然后在这些点上作纵坐标，于是整个图形被分割成无数个小矩形（图11．4），这些矩形的底边分别为

（1-α）a，α（1-α）a，

α2（1-α）a…

于是，各矩形面积构成一个几何级数：

其和为

为使矩形和充分接近抛物线所围面积，须将矩形的宽无限缩小，即令α→1．为此，费马先令α=βq，则

若α→1，则β→1，上式分子为q个1之和而分母为p＋q个1之和，

显然，在费马辛勤耕耘的数学园地里，已经看得见定积分的曙光了．费马的思想与定积分的差距仅仅在于：

第一，尚未抽象出定积分的概念；第二，还未建立一般的积分公式．

与费马相比，帕斯卡的求积方法更为有效，因为他采取了略去无穷序列之和的高次项的方法（1654年），这种思想对莱布尼茨和牛顿有很大影响．例如，帕斯卡在计算以曲线y=x2为一边的曲边三角形面积时，把由曲线y＝x2，x轴和直线x＝a围成图形的底分成n等分，于是得到n个矩形（图11．5），他称这些矩形为“无穷小矩形”，用它们取

d·d2+d·（2d）2+d·（3d）2＋…＋d（nd）2

法证明了由一般曲线y＝xn，x轴和直线x＝a所围成的曲边梯形面积

在牛顿和莱布尼茨之前，为发明微积分作准备工作最多的是英国的沃利斯．他的《无限算术》（ArithmeticaInfinitorium，1655）一书，把不可分量法译成了数的语言，从而把几何方法算术化．他把几何中的极限方法转移到数的世界，首次引入变量极限的概念，他说：

“变量的极限——这是变量所能如此逼近的一个常数，使得它们之间的差能够小于任何给定的量．”他使无限的概念以解析形式出现在数学中，从而把有限算术变成无限算术，为微积分的确立准备了必要的条件．牛顿便曾直接得益于《无穷算术》．我们从下面的例子可以清楚地看出沃利斯的思想特点．

在求曲线y＝xn下的面积时，沃利斯不是直接去求，而是考虑该面积与横轴及过端点的纵线为边而成的矩形OABC（图11．6）之比，即

把横轴从0到a分为m等分，则曲线y=xn下的面积近似为：

0n+1n+2n+…＋an，

而与此相比较的矩形面积为

an+an+an+……＋an．

它们的比为

当m→∞时，上式的极限便是曲线下的面积与矩形面积之比．

沃利斯分别考虑了n＝1，2，3，4，5，6的情况．当n＝2时，有

任意给定的量．”如果项数趋于无限，则这个差将“趋于消失”，因此

即

显然，沃利斯已经接近现代意义的定积分了．

二、微分方法的形成

微分方法形成于对速度、切线和极值的研究．

关于切线的新观点是伽利略首先提出的，他认为作斜抛运动的物体具有两个方向的速度——水平速度PQ和垂直速度PR，它们的合速度是以PQ和PR为边的平行四边形的对角线PC（图11．7），它代表了物体在P点运动的方向，即运动轨迹在P点的切线．在这一认识的基础上，伽利略的学生、意大利数学家托里切利（E．Torricelli，1608—1647）对切线作了进一步的研究．

托里切利的方法可用现代数学语言叙述如下：

设O是抛射体M的初始位置（图11．8），M具有垂直下落的速度gt（g是重力加速度）及水平速度u，于是在瞬间t有

可见动点M（即抛射体）的轨迹是抛物线．由于垂直速度与水平速度之比为

再应用相似三角形的性质，可知M点的切线同抛物线对称轴的交点与顶点的距离为y．所以，只要由o点向上量出y，就很容易作出M点的切线了．不过这种方法只局限于力学范畴，不能适用于一般的曲线切线．

同托里切利相比，费马的方法就普遍多了．在“求最大值和最小值的方法”（MethodusadDisquirendamMaximametMinimam，1637）一文中，费马求切线的方法大致如下：

设PT是曲线在P点的切线（图11．9），PQ⊥TQ．费马称TQ为次切线，只要知其长，便可确定T点，从而作出切线TP．

为确定TQ，设QQ1为TQ的微小增量，其长为E（相当于今天的Δx）．

∵△TQP∽△PRT1，

费马认为，当E很小时，RT1同RP1几乎相等，因此有

若改写成现在的符号，以f（x）代替QP，则上式变为

这时，费马先用E同除分子和分母，然后再让E＝0，便得到TQ的数值．显然，他的方法已接近微分了，只是还未提炼出E→0的极限概念．数学史家伊夫斯（H．Eves）称费马的工作是“微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作．”①

在同一篇论文中，费马还用类似的方法处理了如下的极值问题：

分一个量为两部分，使它们的乘积最大．费马令B为给定的量，以A和B－A表示所求的两部分．他认为在E很小时，A－E与A几乎相等，所以他写成

A（B-A）＝（A-E）[B-（A－E）]，

即2AE-BE-E2=0．

除以E后得2A-B-E=0．

令E=0，得2A＝B，这便是所求的划分．从本质上来说，费马的方法等价于

如果我们注意一下图11．9，就会发现一个含微小增量的三角形PRT1，它被莱布尼茨称为“微分三角形”，沿用至今．帕斯卡认真研究了这种三角形．在他的《戴东维尔的某些几何发现的信件》（LettresdeA．Dettonvillecontenantquelquesunesdesesinventionsdegēomētrie，1659）①中正确指出，当区间（即PR）很小时，“弧可以代替切线”，因此可由微分三角形来决定切线．从微积分的观点来看，微分三角形即是由自变量增量Δx与函数增量Δy为直角边所组成

十分重要的．实际上，揭示微分三角形的实质就等于掌握微分概念．不过帕斯卡却忽视了微分三角形两边的商对于决定切线的重要性，所以没有击中微积分的要害．

认识微分三角形两边之商对于决定切线的重要性的是英国的巴罗．在《几何讲义》（Lectionesgeometricae，1670）一书中，巴罗叙述的方法大致如下：

如图11．10，欲求给定曲线上P点的切线，令Q为曲线上点P的邻点，则△PTM与△PQR接近于相似．巴罗认为，当小三角形变得无限小时，则

令QR＝e，RP＝a，若P的坐标是x和y，则Q的坐标是x－e和y-a．将这些值代入曲线方程，并略去e和a的二次以上的项，即可求出比值

（x-e）3＋（y－a）3=r3，

即x3－3x2e＋3xe2－e3＋y3－3y2a+3ya2-a3=r3．

略去e和a的二次以上的项，得

x3－3x2e+y3－3y2a=r3，

即3x2e＝－3y2a．

几何与微积分的关系，如果没有解析几何中的坐标观念和以方程表示曲线的理论，是不会产生微分概念的．

巴罗的贡献不仅在于微分，还在于他首次认识到作切线与求积的互逆关系，这说明他已对微积分基本定理有了局部的认识．他的这项成果反映在《几何讲义》第十讲中．

为方便起见，设y轴和z轴方向相反，并设f（x）为增函数．如图11．11，以曲线y＝f（x）为一边的曲边梯形面积用z＝A（x）表示．给定x轴上的一点D（x0，0），设T是x轴上一点，使得

巴罗断言：

直线TF与曲线z=A（x）只在点F（x0，A（x0））相接触，即TF是z=A（x）的切线．从微积分的观点看，这相当于由z＝

标．这显然与微积分基本定理相符．不过，巴罗并没有用分析的方法定义斜率，也没有从理论上总结出微分与积分的互逆关系．他只用如下方法证明了他的结论．

设x1＜x0，由I（x1，A（x1））作IL∥x轴，交TF于K．

∴LF＝LK·DE．

但LF＝DF－PI＝A（x0）－A（x1）＜DP·DE（考虑到f（x）是增函数），

∴LK·DE＜DP·DE，

∴LK＜DP=LI．

即K在I的右边．

同理可证x1＞x0时K亦在I的右边，所以直线TF与曲线A（x）只有一个接触点F．

显然，巴罗的思想完全是以几何面貌出现的，所以还不能看作微积分的真正创始．

综上所述，数学家们已经作了大量属于微积分范畴的工作．但如果说他们已经发明微积分，那就不合适了．因为微积分的产生需要三个不可或缺的条件：

一是引入变化率的概念；二是建立具有普遍意义的微分和积分方法；三是确认微分与积分的互逆关系．但上述数学家的兴趣都在于今天说来应该算是微积分应用的那些方面——作切线、求面积、求体积等等．尽管在具体工作中一步步接近微积分，但谁也没有抽象出变化率这个微积分的基本概念，谁也没有建立起普遍适用的方法．巴罗虽然在几何问题中注意到作切线与求积的互逆关系，但并没有从理论上概括出微积分基本定理．至于其他数学家，则从未考虑过这种互逆关系．

实际上，数学中的重大突破总是与许多人的辛勤工作分不开的．在此基础上需要一位杰出人物走那最后的，也是最关键的一步，这个人要能够从大量材料中清理出前人的有价值的思想，能够洞察问题的本质，给予理论上的概括和提高．在微积分方面，这个人就是牛顿．

第二节牛顿的微积分

一、牛顿传略

1643年1月4日牛顿生于英国林肯郡的沃尔索普（Woolsthorpe）村，父亲是一个农民，在牛顿出生前就死了．虽然母亲也希望他务农，但幼年的牛顿却在做机械模型和实验上显示了他的爱好和才能．例如，他做了一个玩具式的以老鼠为动力的磨和一架靠水推动的木钟．14岁时，由于生活所迫，牛顿停学务农，以后在舅父的帮助下又入学读书．1661年，不满19岁的牛顿考入剑桥大学的三一学院．1665年初，他在毕业前夕发现了二项式定理，同年获文学学士学位，并当了研究生．但不久便由于在伦敦流行鼠疫，剑桥大学关闭，牛顿只好回农村居住．在沃尔索普村的18个月里，牛顿发明了微积分，提出了万有引力定律，还研究了光的性质．牛顿一生的重大成就大都发韧于这期间．后来，他在追忆这段峥嵘的青春岁月时说：

“当年我正值发明创造能力最强的年华，比以后任何时期更专心致志于数学和哲学（科学）．”①我们特别注意到，他于1666年10月写成的《流数后人加的）①是世界上第一篇微积分论文，它标志着这一学科的诞生．虽然论文直到本世纪才公开发表，但当时有抄本流传，牛顿的不少朋友和同事都看到过．

1667年，瘟疫过去，牛顿又回到剑桥大学．第二年，他制成世界上第一架反射望远镜．由于他在科学上的出色成就，他的老师巴罗认为他的学识已超过自己，便于1669年10月主动把数学教授的职位让给他，于是牛顿开始了他三十年的大学教授生活．

他在1669年写成《运用无穷多项方程的分析学》（DeAnalysiperAequationesNumeroTerminorumInfinitas，1711年发表）②，又于1671年写成《流数法和无穷级数（DeMe－thodisSerierumetFluxionum，1736年发表）③．这两篇论文同《流数简论》一起，奠定了微积分的理论基础．1672年，他当选为皇家学会会员，并第一次发表论文，内容是关于白色光的组成，引起广泛的兴趣和讨论．1675年，他将关于光的粒子说的论文送交皇家学会．1685年，他开始撰写《自然哲学的数学原理》（PhilosophiaeNaturalisPrincipiaMathematiˉca）．1687年，这部伟大著作刚刚写完，便由哈雷（E．Halley，1656—1742）出资发表，立即对整个欧洲产生了巨大影响．著名的牛顿力学三定律、万有引力定律及牛顿的微积分成果都载于此书．它成为科学史上的一个里程碑．

1689年，牛顿代表剑桥大学进入议会．不久，牛顿的母亲病重，他彻夜不眠地守着她，但并没有能挽留母亲的生命．由于长简论》（TheOctober1666TractonFluxions，题目是期的紧张工作及母亲病逝的精神打击，牛顿得了精神衰竭症，大约一年后才复原．1693年，牛顿写成他的最后一部微积分专著《曲线求积术》（DeOuadraturaCurvarum）．1696年，牛顿被任命为造币厂督办，三年后当了厂长．

从1665年到1696年，牛顿纯粹是一个科学家，为科学事业做出了许多卓越贡献．这以后的三十一年中，他一方面在官场服务，另一方面作为英国科学界的领袖而发挥作用．1703年，牛顿开始担任皇家学会会长，1704年发表了他的名著《光学》（Op－ticks，《曲线求积术》作为《光学》的附录同时发表，获得巨大成功．1705年被女皇封为爵士，得到了一生的最高荣誉．但他的研究重心却逐渐由科学转移到神学，晚年写了大量关于神学的文字．1727年3月31日，牛顿病逝于英国的肯辛顿．

纵观牛顿的一生，他在科学上的最重要成就有三个：

发明微积分、建立经典力学体系、提出光的性质的理论．其中任何一项成就都足以使他列入世界上的大科学家行列．但牛顿并不认为自己发现了真理的海洋，他在逝世前不久给朋友写的信中说：

“我不知道世人怎样看待我；但我自己觉得，我不过像在一个海滨玩耍的小孩，为时而拾到一片比寻常更为莹洁的卵石，时而拾到一片更为美丽的贝壳而雀跃欢欣，而对于我面前的真理的海洋，却茫然无知．”

二、《流数简论》

《流数简论》表明，牛顿微积分的来源是运动学．1666年，他在坐标系中通过速度分量来研究切线，既促使了流数法的产生，又提供了它的几何应用的关键．

牛顿把曲线f（x，y）＝0看作动点的轨迹，动点的坐标x，y是时间的函数，而动点的水平速度分量和垂直速

度和垂直速度为边的矩形对角线，所以曲线f（x，y）＝0的切线斜率

所以牛顿便在后来称它们为流数①，实际上就是x和y对t的导数：

而它们的比就是y对x的导数

布尼茨发明的，我们这里采用它们是为了叙述方便．

牛顿考虑的第一个问题是：

给定x和y的关系f（x，y）＝0，求

的次数……令这些乘积的总和等于零．这个方程就给出速度（流数）之间的关系．若用子表示，则为

它是牛顿用来计算流数之比（即求导）的基本法则．实际上，这个式子

牛顿是用“无穷小”概念和他一年前发明的二项式定理来证明

（1）式的．他认为，作非匀速运动的物体在无穷小时间间隔o中的运动情况同作匀速运动的物体在有限时间间隔中的情况相同，“因此，如果到某一时刻，它们已描绘的线段为x和y，那么到下一时刻所描绘的线段就是x＋xo和y＋yo．”牛顿用x＋xo和y＋yo代替f（x，y）＝0中的x和y，于是有

按二项式展开并略去o的二次以上（含二次）的项，得

除以o后便得到

（1）式．作为一个实例，可把y＝xn写成f（x，y）＝y－xn的形式，由

（1）式推出

的代数式）．他对这一问题的研究导致了微积分基本定理的发现，即：

其中A表示曲线y=f（x）下的面积．从《流数简论》可以看出，他是用如下方法推导这一重要定理的：

设y表示曲线f（x）下的面积abc（图11．13），并把它看作垂

平行移动，描绘出面积x和y，它们随时间而增加的速度是be和bc，”显然，be＝1而bc=f（x）．因此，牛顿认为面积y随时间的变化率是

这显然等价于

（2）式，就是说函数曲线下的面积的变化率等于曲线的纵坐标．他把求积问题看作求变化率的逆过程，即把y看作f（x）的积分（不定积分）．

牛顿的工作可以清楚地说明切线及面积的互逆关系．如果面积y＝

在解决了基本的微积分问题后，牛顿又进一步提出变量代换法，它

变量z＝1＋xn，其流数比为

分，设z＝f（x），得到

这便是我们熟知的幂函数微分公式，它的现代形式为

类似地，牛顿在积分中也采用了代换法，并在稍后的著作中总结出代换积分公式．这个问题将在下面讨论．

《流数简论》中，牛顿还导出函数的积和商的微分法则．设y=u（x）·v（x），则由计算流数之比的基本法则得到

至于函数和的微分，牛顿认为是显然的，没有作为公式列出．

由于牛顿首次引入“流数”和“变化率”的概念，明确提出一般性的微积分算法，特别是提出微积分基本定理，所以说他“发明”了微积分．不过，他当时只是观察到这一重要定理，至于定理的证明则是在他的第二本微积分著作中才出现的．

三、《运用无穷多项方程的分析学》

（下简称《分析学》）

在这本书中，牛顿假定曲线下的面积为

z＝axm，

其中m是有理数．他把x的无穷小增量叫x的瞬，用o表示．由曲线、x轴、y轴及x＋o处纵坐标所围成的面积用z＋oy表示（图11．14），其中oy是面积的瞬，于是有

z+oy＝a（x＋o）m．

根据二项式定理

考虑到z＝axm，并用o去除等式两边，得

略去仍然含o的项，得x

y=maxm-1．

这就是相应于面积z的纵坐标y的表达式，或者说是面积z在点的变化率

线为y=maxm－1；反之，若曲线是y＝maxm－1，则它下面的面积是z=axm．在这里，牛顿不仅给出了求变化率的普遍方法，而且证明了微积分基本定理．从计算角度来说，他实际上给出了两个基本的求导和积分公式（用现代符号表出）

（axm）′＝maxm-1；

在证明了面积的导数是y值，并断言逆过程是正确的以后，牛顿给出下面的法则：

若y值是若干项的和，则面积是由每一项得到的面积的和，用现在的话来说，就是函数之和的积分等于各函数的积分的和：

∫[f1（x）+f2（x）＋…+fn（x）]dx=∫f1（x）dx

＋∫f2（x）dx+…+∫fn（x）dx．

他对如下的积分性质也有明确认识：

∫af（x）dx＝a∫f（x）dx．

他利用上述知识得到各种曲线下的面积，解决了许多能表成和式的问题．

在此基础上，牛顿提出了利用无穷级数进行逐项积分的方法．例如

然后对这个无穷级数逐项积分，得

他说，只要b是x的倍数，取最初几项就可以了．

y＝1-x2＋x4－x6＋x8－…

（1）

y＝x-2－x-4＋x-6-x-8＋…

（2）

他说，当x很小时，应该用

（1）式，若x较大就必须用

（2）式了．可见他已意识到级数收敛和发散的区别，不过还没有提出收敛的概念．

同《流数简论》相比，《分析学》的另一项理论进展表现在定积分上．牛顿把曲线下的面积看作无穷多个面积为无限小的面积之和，这种观念与现代是接近的．为了求某一个区间的确定的面积