四边形综合经典难题.docx

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四边形综合经典难题

1.已知：

如图，在△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC，且与CD相交于G，GE∥CA交AB于E点，求证：

四边形CFEG是菱形.

2.已知：

如图，EG、FH过正方形ABCD的对角线交点O，EG⊥FH，求证：

四边形EFGH是正方形．

3.如图，三角形ABC中，AB=AC，角A=108o，BD平分角ABC交AC于D，求证:

BC=AB+CD.

4.在▱ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，求∠A的度数.

5.已知在平行四边形ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长.

6.如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连接DF．

（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；

（2）连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；

（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系．（直接写出结论）

7.如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．

8.已知，如图，正方形ABCD的面积为25，菱形PQCB的面积为20，求阴影部分的面积．

9.已知，如图，▱ABCD中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，BE，CF相交于点O。

（1）求证：

BE⊥CF；

（2）试判断AF与DE有何数量关系，并说明理由；

（3）当△BOC为等腰直角三角形时，四边形ABCD是何特殊四边形？

（直接写出答案）

10.在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？

并说明理由．

11.如图，四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，

AD=2，求四边形ABCD的面积.

12.已知，在四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F两点.

（1）当AE=CF时（如图1），求证:

AE+CF=EF；

（2）当AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，AE+CF=EF是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需要证明。

13.在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，AB=BC=8，CD=10，求梯形面积.

14.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=90°，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的点，且满足AE=CF.

求证:

DE=DF.

15.两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合．将图①中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点．

（1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形；

（2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D1E1C，点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1，如图③．探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程；

（3）在

（2）的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：

G1I=CI．

16.在直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有多少个？

17.如图

（1），在Rt△ABC，∠ACB=90°，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连结AD、CF，AD与CF交于点M。

（1）求证：

△ABD≌△FBC；

（2）如图

（2），已知AD=6，求四边形AFDC的面积；

（3）在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，当∠ACB≠90°时，c2≠a2＋b2。

在任意△ABC中，c2＝a2＋b2＋k。

就a＝3，b＝2的情形，探究k的取值范围（只需写出你得到的结论即

可）。

18.如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且BF平分∠ABC，若AB=5，BC=8，求EF长.

19.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部份面积。

20.如图两个边长为2的正方形重叠在一起，O是其中一个正方形的中点，求阴影部分的面积。

21.如图，正方形ABCD的边长为2，E是CD的中点，在对角线AC上有一动点P，求PD+PE的最小值.

22.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，求DE最小的值.

23.如图，△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长.

24.如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，求PQ的长.

25.如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE于点G，AD＝BE＝6，求AC的长．

26.已知：

如图，在△ABC中，CD⊥AB垂足为D，BE⊥AC垂足为E，连接DE，点G、F分别是BC、DE的中点．

求证：

GF⊥DE．

27.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC于点A，

（1）求∠BAD的度数；

（2）证明：

DC=2BD.

28.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，求BC的长.

29.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC上一点，且∠BAD=2∠C．

求证：

∠B=∠ADB．

30.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求EB′的长。

31.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于

AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE，则：

（1）∠ADE=      °；

（2）AE    EC；（填“=”、“＞”或“＜”）

（3）当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长．

32.如图，在Rt△ABC∠B＝90°中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD＝1，求AC的长.

33.如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，求△ACD的面积.

34.如图，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，求△ABC的面积.

35.如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，求线段DF的长.

36.如图，过边长为1的△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于D，求DE的长.

37.如图，点D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且DM=DN，∠BMD+∠BND=180°．

求证：

BD平分∠ABC．

38.如图，AE、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，求证：

∠1=∠2．

39.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，求AC长.

40.如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，求两平行线AD与BC间的距离.

41.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G．

求证：

（1）DF∥BC；

（2）FG=FE．

42.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD=3，BC=5，求EF的值.

43.已知：

∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．

（1）如图1，若AB∥ON，则

①∠ABO的度数是______；

②当∠BAD=∠ABD时，x=______；当∠BAD=∠BDA时，x=______．

（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？

若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

44.探索归纳：

（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于 （    ）

A.90°  B.135°    C.270°      D.315°

（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝_______

（3）如图2，根据

（1）与

（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是________________

（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系并说明理由.

45.在▱ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：

CH＝EH．

46.如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，求▱ABCD的周长.

47.如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证：

AB=CE．

48.如图，▱ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，且BE=4，CE=3，求AB的长.

49.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，求CE的长.

50.如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于E，若∠EAO=15°，求∠BOE的度数.

51.如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，求∠CBO度数．

52.如图：

菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=a．求：

（1）∠ABC的度数；

（2）对角线AC的长；

（3）菱形ABCD的面积．

53.，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD.

（1）求证:

四边形ABEF是菱形;

（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求PD。

54.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．

（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？

并说明理由．

55.如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，求四边形BCDE的面积.

56.如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE。

求证：

（1）△ABF≌△DCE；

（2）四边形ABCD是矩形。

57.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，求正方形ABCD的边长.

58.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，求线段EF的最小值．

59.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F． 

（1）证明：

PC=PE； 

（2）求∠CPE的度数； 

（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．