较复杂的因式分解习题.docx
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较复杂的因式分解习题
1•双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法•对于某些二元二次
六项式（ax+bxy+cy2+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幕排列，并把y当作常数，于是上式
22
可变形为2x-（5+7y）x-（22y-35y+3），可以看作是关于x的二次三项式.
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为
2
即-22y+35y-3=（2y-3）（-11y+1）
分解
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式
所以原式=:
x+（2y-3）］：
2x+（-11y+1）:
=（x+2y-3）（2x-11y+1）
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图
合并在一起，可得到下图：
用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是:
（1）用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图（有两列）；
（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交
叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的
dx.
例1分解因式：
22
⑴X-3xy-10y+x+9y-2;
（2）x2-y2+5x+3y+4;
2
（3）xy+y+x-y-2;
22
（4）6x-7xy-3y-xz+7yz-2z
解
（1）
原式=（x-5y+2）（x+2y-1）
⑵
原式=（x+y+1）（x-y+4）
（3）原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解.
0
it
原式=（y+i）（x+y-2）.
⑷
原式=（2x-3y+z）（3x+y-2z）.
说明（4）中有三个字母，解法仍与前面的类似.
2•求根法
我们把形如anxn+an-ixn-1+…+aix+ao（n为非负整数）的代数式称为关于x的一元多项式，并用f（x）,g（x），…等记号表示，女口
f（x）=x2-3x+2,g（x）=x5+x2+6，…，
当x=a时，多项式f（x）的值用f（a）表示.如对上面的多项式f（x）
f
（1）=12-3X1+2=0;
2
f（-2）=（-2）-3X（-2）+2=12.
若f（a）=0，则称a为多项式f（x）的一个根.
定理1（因式定理）若a是一元多项式f（x）的根，即f（a）=0成立，则多项式f（x）有一个因式x-a.
根据因式定理，找出一元多项式f（x）的一次因式的关键是求多项式f（x）的根.对于任意多项式f（x），要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f（x）的系数都是
整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根.
定理2
若既约分数旦是整系数多项式
P
的根，则必有p是ao的约数，q是an的约数•特别地，当a°=1时，整系数多
项式f（x）的整数根均为an的约数.
我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解.
例2分解因式：
x3-4x2+6x-4.
分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验
-4的约数：
土1，土2，土4，只有
32
f
（2）=2-4X2+6X2-4=0,
即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2.
解法1用分组分解法，使每组都有因式（x-2）.
原式=（x-2x）-（2x-4x）+（2x-4）
=x2（x-2）-2x（x-2）+2（x-2）
2
=（x-2）（x-2x+2）.
品-蠢*2
x_2/4jc~+6s-4
-2x2+6x
-2x2+4x
2x-4
2h二4
~Q
所以
原式=（x-2）（x2-2x+2）.
说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不
成立，即-4的约数不一定是多项式的根.因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进
行验证.
例3分解因式：
9x4-3x3+7x2-3x-2.
分析因为9的约数有土1，土3，土9;-2的约数有土1，土
2、所以原式的有理根只可能是±1,±2,士*士彳，士*土彳，
12—~12
经检验，只有冷和彳是原式的根，所以原式有因式出和迸.又因
为：
仪+|）（x~'）=£（強+1）（3x「2）
=-3z~2）,
所以，原式有因式9x2-3x-2.
解9x4-3x3+7x2-3x-2
=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2
=x2（9x3-3x-2）+9x2-3x-2
22
=（9x-3x-2）（x+1）
=（3x+1）（3x-2）（x2+1）
说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因
式，如上题中的因式
可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程.
总之，对一元高次多项式f（x），如果能找到一个一次因式（x-a），那么f（x）就可以
分解为（x-a）g（x），而g（x）是比f（x）低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g（x）进行分解了.
3.待定系数法
待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式
分解中的应用.
在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这
几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数•由于该
多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，
或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组）,解出待
定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法.
例4分解因式：
x2+3xy+2y2+4x+5y+3.
分析由于
22
（x+3xy+2y）=（x+2y）（x+y）,
若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式,
应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决.
解设
22
x+3xy+2y+4x+5y+3
=（x+2y+m）（x+y+n）
22
=x+3xy+2y+（m+n）x+（m+2n）y+mn,
比较两边对应项的系数，则有
r
in+n=,
m+2n=5,inn—3.
k
解之得m=3,n=1.所以
原式=（x+2y+3）（x+y+1）.
说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下.
例5分解因式：
x4-2x3-27x2-44x+7.
分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理
根，则只可能是土1，土7（7的约数），经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式.如果原式能分解，只能分解为（x2+ax+b）（x2+cx+d）的形式.
解设
原式=（x2+ax+b）（x2+cx+d）
432
=x+（a+c）x+（b+d+ac）x+（ad+bc）x+bd,
所以有
'a+c=-2,
b+d+ac=-27,ad4-be=a44,bd=7,
L
由bd=7，先考虑b=1,d=7有
a+c=-2*
彳ac=-35,
7a+c—-44,
L
a=-7
解之得£
c=5.
所以
原式=（x-7x+1）（x2+5x+7）.
说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1,d=-7等可以不加以考虑.本题如
果b=1,d=7代入方程组后，无法确定a,c的值，就必须将bd=7的其他解代入方
程组，直到求出待定系数为止.
本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式•但利用待定系数法，使我
们找到了二次因式.由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地.
练习二
1•用双十字相乘法分解因式：
22
（1）x-8xy+15y+2x-4y-3;
（3）3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2
2．用求根法分解因式：
（1）x3+x2-10x-6；
432
（2）x4+3x3-3x2-12x-4；
（3）4x4+4x3-9x2-x+2．
3．用待定系数法分解因式：
22
（1）2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；
（2）x4+5x3+15x-9
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