新教材苏教版高中数学必修第二册教学备课资料两平面平行.docx

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新教材苏教版高中数学必修第二册教学备课资料两平面平行

13.2.4　平面与平面的位置关系

第1课时　两平面平行

学习目标

核心素养

1.了解平面与平面的两种位置关系，了解两个平面间的距离的概念．（重点）

2．理解空间中面面平行的判定定理和性质定理，并能灵活应用．（重点、难点）

1.通过对平面和平面平行的判定定理和性质定理的推导和应用，培养学生逻辑推理素养．

2．通过利用平面和平面平行的判定定理和性质定理进行相关的计算，培养学生数学运算素养.

空间两条直线从公共点来看可以分为相交直线和不相交的两条直线，不相交的两条直线又分为平行直线和异面直线．利用手中的两本书作为两个平面（不重合），通过移动和反转，先思考它们公共点的个数，再探究两个平面的可能的位置关系．

工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的，你能解释其中的奥秘吗？

1．平面与平面之间的位置关系

位置关系

平面α与平面β相交

平面α与平面β平行

公共点

有一条公共直线

没有公共点

符号表示

α∩β＝a

α∥β

图形表示

2.平面与平面平行的判定定理

自然语言

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行

符号语言

a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β

图形语言

3.平面与平面平行的性质定理

自然语言

两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行

符号语言

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

图形语言

思考：

两平行平面内的直线是否相互平行？

提示：

（1）已知两个平面平行，显然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．

（2）该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．

4．两个平行平面间的距离

（1）公垂线与公垂线段

与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段．

（2）两个平行平面间的距离

两个平行平面的公垂线段都相等．公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离．

1．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行．（　　）

（2）若平面α内的两条不平行的直线分别与平面β平行，则α与β平行．（　　）

（3）若平面α内有一条直线平行于平面β，平面β内也有一条直线平行于α，则α与β平行．（　　）

（4）若平面α内的任何直线都与平面β平行，则α与β平行．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）√

2．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列平面的位置关系是：

（1）平面AB1与平面D1C________；

（2）若E，F，G，H分别为

DD1，CC1，AA1，B1B的中点，则平面ABFE与平面BC1________；平面D1C1HG与平面ABFE________.

[答案]　

（1）平行　

（2）相交　平行

3．平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则下列四种情况：

①a⊥b；②a∥b；③a与b异面；④a与b相交．

其中可能出现的情况有________种．

3　[只有a，b相交不可能．]

4．如图，在四棱锥PABCD中，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，PA⊥平面AC，若PA＝2，则平面EFGH与平面ABCD的距离为________．

1　[∵E，F，G，H为PA，PB，PC，PD的中点，

∴平面EFGH∥平面ABCD，

∵PA⊥平面AC，

∴PA⊥平面EG，

∴AE为平面AC与平面EG的公垂线段，

AE＝

PA＝1.]

面面平行判定定理的应用

【例1】　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．

求证：

（1）E，F，B，D四点共面；

（2）平面MAN∥平面EFDB．

[思路点拨]　解答本题第

（1）问，只需证BD∥EF即可．第

（2）问，只需证MN∥平面EFDB，AM∥平面EFDB即可．

[证明]　

（1）连接B1D1.

∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，

∴EF∥B1D1.

而BD∥B1D1，∴BD∥EF.

∴E，F，B，D四点共面．

（2）易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，

∴MN∥BD．

又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，

∴MN∥平面EFDB．连接MF.

∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，

∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.

∴MF∥AD，MF＝AD．

∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.

又AM⊄平面EFDB，DF⊂平面EFDB，∴AM∥平面EFDB．

又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB．

证明两平面平行的主要方法是用判定定理，即将“面面平行”转化为“线面平行”再转化为“线线平行”，具体操作就是在其中一个面内寻找出两条相交直线，均平行于另一个平面，而寻找这两条相交直线时，应结合条件，常用到中位线定理、平行四边形的性质、比例线段等平面几何知识．

[跟进训练]

1．如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD．求证：

平面MNQ∥平面PBC．

[证明]　∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，

∴MQ∥AD，NQ∥BP.

∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，

∴NQ∥平面PBC．

又底面ABCD为平行四边形，

∴BC∥AD，∴MQ∥BC，

∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，

∴MQ∥平面PBC．

又MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC．

面面平行性质定理的应用

【例2】　如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在α，β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，OA∶OA′＝3∶2.求△A′B′C′的面积．

[思路点拨]　先利用面面平行的性质得线线平行，再利用平行线分线段成比例求△A′B′C′的面积．

[解]　相交直线AA′，BB′所在平面和两平行平面α，β分别相交于AB，A′B′.

由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′.

同理相交直线BB′，CC′确定的平面和平行平面α，β分别相交于BC，B′C′，从而BC∥B′C′.

同理易证AC∥A′C′.

∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反，

∴∠BAC＝∠B′A′C′.

同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′.

∴△ABC与△A′B′C′的三内角分别相等，

∴△ABC∽△A′B′C′，

∵AB∥A′B′，AA′∩BB′＝O，

∴在平面ABA′B′中，△AOB∽△A′OB′.

∴

＝

＝

.

而S△ABC＝

AB·AC＝

×2×1＝1.

∴

＝

，

∴S△A′B′C′＝

S△ABC＝

×1＝

.

通过面面平行的性质定理将面面平行转化得到线线平行，这是直接利用面面平行的性质定理．利用面面平行的关键是要找到过已知的直线与已知的直线平行的平面．

[跟进训练]

2．如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1，D是BC的中点，D1是B1C1的中点，设平面A1D1B∩平面ABC＝l1，平面ADC1∩平面A1B1C1＝l2.求证：

l1∥l2.

[证明]　连接D1D（图略），

∵D与D1分别是BC与B1C1的中点，∴DD1

BB1.又BB1

AA1，

∴DD1

AA1，∴A1D1∥AD．

又平面A1B1C1∥平面ABC，

且平面A1B1C1∩平面A1D1B＝A1D1，

平面A1D1B∩平面ABC＝l1，

∴A1D1∥l1.

同理可证AD∥l2，又A1D1∥AD，即A1D1∥l2，

∴l1∥l2.

面面平行关系的综合应用

[探究问题]

1．过平面外一条直线可以作几个与已知平面平行的平面？

[提示]　当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出唯一的一个符合题意的平面．

2．平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分别在平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形有怎样的关系？

[提示]　这两个三角形相似，由于对应顶点的连线共点，则AB与A′B′共面，

由面与面平行的性质知AB∥A′B′，

同理AC∥A′C′，BC∥B′C′，

故两个三角形相似．

【例3】　如图所示，AB，CD是夹在平行平面α，β之间的异面线段，且A，C∈α，B，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且

＝

.求证：

EF∥平面β.

[思路点拨]　利用面面平行的性质，将证明线面平行转化为证明面面平行．

[证明]　如图所示，连接BC并在BC上取一点G，使得

＝

，则在△BAC中，EG∥AC，而AC⊂平面α，EG⊄平面α，∴EG∥α.

又α∥β，∴EG∥β.

同理可得GF∥BD，而BD⊂β，GF⊄β，∴GF∥β.

又EG∩GF＝G，∴平面EGF∥β.

又EF⊂平面EGF，∴EF∥平面β.

线面平行与面面平行性质定理着重体现了平行间的转化思想．转化是综合应用的关键．

[跟进训练]

3．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E是AC的中点，求证：

AB1∥平面BEC1.

[证明]　如图，取A1C1的中点F，连接AF，B1F.

∵E为AC的中点，∴AF∥C1E.

∵AF⊄平面BEC1，C1E⊂平面BEC1，∴AF∥平面BEC1.

连接EF，由E，F分别是AC，A1C1的中点，

可知EF

AA1

BB1，∴BE∥B1F，又B1F⊄平面BEC1，BE⊂平面BEC1，∴B1F∥平面BEC1，∵B1F∩AF＝F，

∴平面BEC1∥平面AB1F.

∵AB1⊂平面AB1F，∴AB1∥平面BEC1.

1．本节课的重点是能应用平面与平面平行的判定定理和平面与平面平行的性质定理来求解所给问题，理解两个定理的含义，并会应用．难点是运用两个定理解题．

2．本节课重点掌握的规律方法

（1）判断或证明平面与平面平行的方法．

（2）证明或判断面面平行的常用方法如中位线定理，平行四边形的性质，比例线段等几何知识．

3．本节课的易错点是运用定理判断或证明平行时条件罗列不全而致错．

1．设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的是（　　）

A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β

B．l⊂α，m⊂β，且l∥m

C．l⊥α，m⊥β，且l∥m

D．l∥α，m∥β，且l∥m

C　[A不正确，α与β有可能相交，也有可能平行；

B不正确，α与β有可能相交，也有可能平行；

C正确，∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又m⊥β，∴α∥β；

D不正确，α与β有可能相交，也有可能平行．]

2．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面的位置关系是________．

平行或相交　[有无数条直线平行于另一个平面并不能保证平面内没有一条直线与另一个平面相交．]

3．若不共线的三点到平面α的距离相等，则这三点确定的平面β与α之间的关系是________．

平行或相交　[若三点在平面α的同侧，则α∥β；若三点在平面α的异侧，则α与β相交．]

4．如图所示，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：

MN∥平面BCE.

[证明]　过点M作MG∥BC交AB于点G，连接GN，

则

＝

.

∵AM＝FN，AC＝BF，∴MC＝NB．

∴

＝

，

∴GN∥AF.又AF∥BE，∴GN∥BE.

∵GN⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，

∴GN∥平面BCE.

∵MG∥BC，MG⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，∴MG∥平面BCE.

∵MG∩GN＝G，∴平面MNG∥平面BCE.

∵MN⊂平面MNG，∴MN∥平面BCE.