学年北京市海淀区初三上数学期末试题含答案.docx
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学年北京市海淀区初三上数学期末试题含答案
..
.
北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研
数
学
2018.1
本试卷共8页,共三道大题,28道小题,满分100分。
考试时间120分钟。
一、选择题(本题共16分,每小题2分)
第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.
1.抛物线
yx122
的对称轴是
A.
x1
B.
x1
C.
x2
D.
x2
2.在△ABC中,∠C1
A.
3
90°.若AB
22
B.
3,BC
1,则sinA的值为22
C.
3
D.
3
3.如图,线段BD,CE相交于点A,DE∥BC.若AB4,AD2,DE1.5,则BC的长为
A.1B.2
C.3D.4
B
C
A
E
D
4.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转100°,得到△ADE.若点D在线段
A
BC的延长线上,则B的大小为A.30°
C.50°
B.40°
D.60°
E
BCD
5.如图
OAB∽△OCD,OA:
OC
3:
2,∠A
α,∠C
β
OAB与△OCD的面积分别是S和S,
12
△OAB与△OCD的周长分别是C和C,则下列等式一定成立的是
12
C
A.
OB
CD
3
2
B.
3
2
O
D
C.
S
1
S
2
3
2
D.
C
1
C
2
3
2
AB
6.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A从(3,4)出发,绕点O顺时针旋转一周,则点A不经过
A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
y
5
4
M
3
2
1
–6–5–4–3–2–1O
–1
–2
–3
N
–4
A
Q123456
P
x
–5
7.如图,反比例函数y
k
x
的图象经过点A(4,1),当y1时,x的取值
y
范围是
A.x0或x4
B.0x4
C.x4
D.x4
8.两个少年在绿茵场上游戏.小红从点A出发沿线段AB运动到点B,小兰
从点C出发,以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C,两人的运动
路线如图1所示,其中ACDB.两人同时开始运动,直到都停止运动时
游戏结束,其间他们与点C的距离y与时间x(单位:
秒)的对应关系如
图2所示.则下列说法正确的是
y
A
C
O
D
O1.097.499.6817.12x
B
图1
图2
A.小红的运动路程比小兰的长
B.两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇
C.当小红运动到点D的时候,小兰已经经过了点D
D.在4.84秒时,两人的距离正好等于⊙O的半径
二、填空题(本题共16分,每小题2分)
2
2x0的根为.
9.方程x
°.
10.已知∠A为锐角,且tanA3,那么∠A的大小是
1
O
y
C
D
x=1
A
4x
A
O
B
11.若一个反比例函数图象的每一支上,y随x的增大而减小,则此反比例函数表达式可以是.(写出一个即可)
12.如图,抛物线y
ax
2
bxc
的对称轴为x1,点P,点Q是抛物线与x
OP
x
轴的两个交点,若点P的坐标为(4,0),则点Q的坐标为.
13.若一个扇形的圆心角为60°,面积为6π,则这个扇形的半径为.
B
C
14.如图,AB是⊙O的直径,PA,PC分别与⊙O相切于点A,点C,若∠P60°,
O
PA
3
,则AB的长为.
15.在同车道行驶的机动车,后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距
AP
离.如图,在一个路口,一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处,小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶.设小张距大巴车尾xm,若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m,红灯下沿高于小张的水平视线3.2m,若小张能看到整个红灯,则x的最小值为.
红
黄
3.2m
绿
20m
0.8m
10mxm
交通
信号灯
停止线
16.下面是“作一个30°角”的尺规作图过程.
D
已知:
平面内一点A.
求作:
∠A,使得∠A
30°.
A
OCB
作法:
如图,
(1)作射线AB;
(2)在射线AB上取一点O,以O为圆心,OA为半径作圆,与射线AB相交于点C;(3)以C为圆心,OC为半径作弧,与⊙O交于点D,作射线AD.
∠DAB即为所求的角.
请
回
答:
该
尺
规
作
图
的
依
据
是
.
三、解答题(本题共68分,第17~22题,每小题5分;第23~26小题,每小题6分;第27~28小题,每小题7分)
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.计算:
2sin30°2cos45°
8
.
18.已知
x1
是关于x的方程x
2
mx2m
2
0的一个根,求m(2
m1)
的值.
19.如图,在△ABC中,∠B为锐角,AB
32
,AC
5,sinC
3
5
,求BC的长.
A
BC
20.码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物,装载完毕恰好用了8天时间.轮船到达目的地后开始卸货,记平均卸货速度为v(单位:
吨/天),卸货天数为t.
(1)直接写出v关于t的函数表达式:
v=
;(不需写自变量的取值范围)
(2)如果船上的货物5天卸载完毕,那么平均每天要卸载多少吨?
21.如图,在△ABC中,∠B
90°,AB
4,BC
2,以AC为边作△ACE,∠ACE
90°,AC=CE,延
长BC至点D,使CD
5,连接DE.求证:
△ABC∽△CED.
A
E
BCD
22.古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究:
如图(图1中BAC为锐角,
图2中BAC为直角,图3中BAC为钝角).
A
A
A
BC'B'C
BB'(C')CBB'C'C
图1
图2
图3
在△ABC的边BC上取B
,C两点,使ABBACCBAC,则△ABC∽
BA∽
AC,
AB
BB
AB
,
AC
CC
AC
,进而可得AB
2
AC
2
;(用BB,CC,BC表
示)
若AB=4,AC=3,BC=6,则B
C
.
23.如图,函数y
k
x
(
x0
)与yaxb的图象交于点A(-1,n)和点B(-2,1).
(1)求k,a,b的值;
(2)直线xm与y
k
x
(x0)的图象交于点P,与yx1的图象交于点Q,当
PAQ90时,直接写出m的取值范围.
y
A
B
Ox
24.如图,A,B,C三点在⊙O上,直径BD平分∠ABC,过点D作DE∥AB交弦BC于点E,在BC的延长线上取一点F,使得EFDE.
(1)求证:
DF是⊙O的切线;
(2)连接AF交DE于点M,若AD
4,DE
5,求DM的长.
A
D
O
BECF
25.如图,在△ABC中,ABC90,C40°,点D是线段BC上的动点,将线段AD绕点A
顺时针旋转50°至AD
,连接BD
.已知AB2cm,设BD为xcm,BD
为ycm.A
D'
BDC
小明根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究,下面是小明的探究过程,请补充完整.(说明:
解答中所填数值均保留一位小数)
(1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:
x/cm
y/cm
0
1.7
0.5
1.3
0.7
1.1
1.01.5
0.7
2.0
0.9
2.3
1.1
(2)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象.
y
2
1
O
123
x
(3)结合画出的函数图象,解决问题:
线段BD
的长度的最小值约为__________cm;
若BDBD,则BD的长度x的取值范围是_____________.
26.已知二次函数
yax
2
4ax3a
.
(1)该二次函数图象的对称轴是x
;
(2)若该二次函数的图象开口向下,当1x4时,y的最大值是2,求当1x4时,y的最小值;
(3)若对于该抛物线上的两点P(x,y)
,Q(x,y)
,当txt+1,x5时,均满足
1
1
2
2
1
2
yy,请结合图象,直接写出t的最大值.
1
2
..
27.对于⊙C与⊙C上的一点A,若平面内的点P满足:
射线AP与⊙C交于点Q(点Q可以与点
P重合),且
1
PP
QQ
2
,则点P称为点A关于⊙C的“生长点”.
已知点O为坐标原点,⊙O的半径为1,点A(-1,0).
(1)若点P是点A关于⊙O的“生长点”,且点P在x轴上,请写出一个符合条件的点P的坐标________;
(2)若点B是点A关于⊙O的“生长点”,且满足tanBAO
1
2
,求点B的纵坐标t的取值
范围;
(3)直线
y3xb
与x轴交于点M,与y轴交于点N,若线段MN上存在点A关于⊙O的
“生长点”,直接写出b的取值范围是_____________________________.
y
5
4
3
2
y
5
4
3
2
A
–3–2–1
1
O
12345
x
A
–3–2–1
1
O
12345
x
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–1
–2
–3
–4
–5
–6
28.在△ABC中,∠A
90°,AB
AC.
(1)如图1
ABC的角平分线BD,CE交于点Q,请判断“QB(填“是”或“否”);
2QA”是否正确:
________
(2)点P是△ABC所在平面内的一点,连接PA,PB,且PB
2PA.
①如图2,点P在△ABC内,∠ABP
30°,求∠PAB的大小;
②如图3,点P在△ABC外,连接PC,设∠APC
α,∠BPC
β,用等式表示α,β之间
的数量关系,并证明你的结论.
A
AA
E
Q
D
P
P
BCBCBC
图1
图2
图3
北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研
数学参考答案及评分标准
2018.1
一、选择题(本题共16分,每小题2分)
1
B
2
A
3
C
4
B
5
D
6
C
7
A
8
D
二、填空题(本题共16分,每小题2分)
9.0
或2
10.6011.y
1
x
(答案不唯一)
12.(2,0)
13.614.215.10
16.三条边相等的三角形是等边三角形,等边三角形的三个内角都是60°,一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半;
或:
直径所对的圆周角为直角,三条边相等的三角形是等边三角形,等边三角形的三个内角都是60°,直角三角形两个锐角互余;
或:
直径所对的圆周角为直角,sinA
1
2
,A为锐角,A30
.
三、解答题(本题共68分,第17~22题,每小题5分;第23~26小题,每小题6分;第27~28小题,每小题7分)
17.解:
原式=
2
12
22222
………………3分
=
=
122212
………………5分
18.解:
∵x1是关于x的方程x2mx2m20的一个根,
∴1m2m
2
0.
∴2m2m1.
………………3分
∴m(2
m1)2m
2
m1
.
………………5分
19.解:
作AD⊥BC于点D,∴∠ADB=∠ADC=90°.
A
3
∵AC=5,sinC,
5
∴ADACsinC3
.
………………2分
B
D
C
∴在
ACD中,CD
AC
2
AD
2
4
.
………………3分
∵AB32,
2
∴在
ABD中,BD∴BCBDCD7
.
AB
2
AD3.
………………4分………………5分
20.解:
240
(1)
.
t
(2)由题意,当t5
时,v
240
t
48.
………………3分
………………5分
答:
平均每天要卸载48吨.
21.证明:
∵∠B=90°,AB=4,BC=2,
A
∴AC
AB
2
BC
2
25
.
E
∵CE=AC,
∴CE25
∵CD=5,
.
BCD
ABAC
∴.
CECD
∵∠B=90°,∠ACE=90°,
∴∠BAC+∠BCA=90°,∠BCA+∠DCE=90°.∴∠BAC=∠DCE.
∴△ABC∽△CED.
………………3分
………………5分
22.BC,BC,BCBBCC11
6
23.解:
………………3分
………………5分
k
(1)∵函数y(x0)的图象经过点B(-2,1),
x
∴
k
2
1
,得k2
.
………………1分
∵函数y
k
x
(x0
)的图象还经过点A(-1,n),
∴
n
2
1
2
,点A的坐标为(-1,2).
………………2分
∵函数
yaxb
的图象经过点A和点B,
∴
ab2,a1,解得
2ab1.b3.
………………4分
(2)2m0且m1.
24.
(1)证明:
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵DE∥AB,
∴∠ABD=∠BDE.
∴∠CBD=∠BDE.
∵ED=EF,
∴∠EDF=∠EFD.
∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD=180°,∴∠BDF=∠BDE+∠EDF=90°.
∴OD⊥DF.
∵OD是半径,
∴DF是⊙O的切线.
(2)解:
连接DC,
∵BD是⊙O的直径,
∴∠BAD=∠BCD=90°.
∵∠ABD=∠CBD,BD=BD,
∴△ABD≌△CBD.
∴CD=AD=4,AB=BC.
∵DE=5,
B
………………6分
………………1分
………………2分
………………3分
A
D
M
O
ECF
∴CE
DE2DC23
,EF=DE=5.
∵∠CBD=∠BDE,∴BE=DE=5.
∴BFBEEF10
,BCBEEC8
.
∴AB=8.
∵DE∥AB,∴△ABF∽△MEF.
………………5分
∴
ABBF
MEEF
.
∴ME=4.
∴DMDEEM1.
………………6分
25.
(1)0.9.
(2)如右图所示.
………………1分………………3分
y
2
(3)0.7,………………4分
0x0.
.9
………………6分
1
26.解:
O
123
x
(1)2.
………………1分
(2)∵该二次函数的图象开口向下,且对称轴为直线x2
,
∴当x2
时,y取到在1x4
上的最大值为2.
∴4a8a3a2
.
∴a2,y2x
2
8x6
.
………………3分
∵当1x2
时,y随x的增大而增大,
∴当x1
时,y取到在1x2
上的最小值0
.
∵当2x4
时,y随x的增大而减小,
∴当x4时,y取到在2x4
上的最小值6.
∴当1x4(3)4.
时,y的最小值为6
.
………………4分………………6分
27.解:
(1)(2,0)(答案不唯一).
………………1分
(2)如图,在x轴上方作射线AM,与⊙O交于M,且使得tanOAM
1
2
,并在AM上
取点N,使AM=MN,并由对称性,将MN关于x轴对称,得MN
,则由题意,线
段MN和MN
上的点是满足条件的点B.
y
作MH⊥x轴于H,连接MC,
N
∴∠MHA=90°,即∠OAM+∠AMH=90°.∵AC是⊙O的直径,
∴∠AMC=90°,即∠AMH+∠HMC=90°.∴∠OAM=∠HMC.
AO
M
HC
M'
x
∴tanHMCtanOAMMHHC1
∴
.
HAMH2
1
2
.
N'
设MHy,则AH2y,CH
1
2
y
,
544
∴ACAHCHy2,解得y,即点M的纵坐标为.
255
又由AN2AM
8
,A为(-1,0),可得点N的纵坐标为,
5
48
故在线段MN上,点B的纵坐标t满足:
t.
55
……………3分
由对称性,在线段MN
84
上,点B的纵坐标t满足:
t.……………4分
55
8448
∴点B的纵坐标t的取值范围是t或t.
5555
(3)43b1或1b43
28.解:
.
………………7分
(1)否.
(2)①作PD⊥AB于D,则∠PDB=∠PDA=90°,
………………1分A
∵∠ABP=30°,1
∴PDBP.2
………………2分
D
P
∵PB2PA
,
B
C
∴PD
2
2
PA
.
∴sinPAB
PD2
PA2
.
由∠PAB是锐角,得∠PAB=45°.
另证:
作点P关于直线AB的对称点P'
………………3分
,连接BP',P'A,PP',则
P'BAPB,A'PAB
P,AB'BP,
B'P.AP
AP
∵∠ABP=30°,
∴
P'BP60
.
∴△P'BP是等边三角形.∴P'PBP.
P'
A
∵
PB2PA
,
P
∴
B
C
P'P2PA
.
………………2分
PAP'A.
∴P'P
222
∴PAP'90
∴PAB45
.
.
………………3分
②45,证明如下:
………………4分
作AD⊥AP,并取AD=AP,连接DC,DP.∴∠DAP=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAC+∠CAP=∠DAP+∠CAP,
D
1
3
即∠BAP=∠CAD.
A
∵AB=AC,AD=AP,
E
2
P
∴△BAP≌△CAD.
∴∠1=∠2,PB=CD.
∵∠DAP=90°,AD=AP,
∴PD2PA
,∠ADP=∠APD=45°.∵PB2PA
,
∴PD=PB=CD.
∴∠DCP=∠DPC.
∵∠APCα,∠BPCβ,
B
C
………………5分
∴DPC
45
,12
.
∴31802DPC902
.
∴ADP1390
45.
∴
45.
………………7分