湘教版初中数学导学案七年级上册第1章 有理数.docx

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湘教版初中数学导学案七年级上册第1章有理数

　目　录

第1章　有理数

　1.1　具有相反意义的量

（1）1

　1.1　具有相反意义的量

（2）3

　1.2　数轴、相反数与绝对值5

　　1.2.1　数轴5

　　1.2.2　相反数7

　　1.2.3　绝对值9

　1.3　有理数大小的比较12

　1.4　有理数的加法和减法14

　　1.4.1　有理数的加法

（1）14

　　1.4.1　有理数的加法

（2）17

　　1.4.2　有理数的减法20

　1.5　有理数的乘法和除法23

　　1.5.1　有理数的乘法

（1）23

　　1.5.1　有理数的乘法

（2）25

　　1.5.2　有理数的除法

（1）28

　　1.5.2　有理数的除法

（2）30

　1.6　有理数的乘方

（1）33

　1.6　有理数的乘方

（2）35

　1.7　有理数的混合运算38

第2章　代数式

　2.1　用字母表示数40

　2.2　列代数式42

　2.3　代数式的值44

　2.4　整式47

　2.5　整式的加法和减法

（1）49

　2.5　整式的加法和减法

（2）52

　2.5　整式的加法和减法（3）54

第3章　一元一次方程

　3.1　建立一元一次方程模型57

　3.2　等式的性质59

　3.3　一元一次方程的解法

（1）62

　3.3　一元一次方程的解法

（2）64

　3.3　一元一次方程的解法（3）67

　3.4　一元一次方程模型的应用

（1）69

　3.4　一元一次方程模型的应用

（2）72

　3.4　一元一次方程模型的应用（3）74

　3.4　一元一次方程模型的应用（4）77

第4章　图形的认识

　4.1　几何图形80

　4.2　线段、射线、直线

（1）82

　4.2　线段、射线、直线

（2）85

　4.3　角88

　　4.3.1　角与角的大小比较88

　　4.3.2　角的度量与计算

（1）90

　　4.3.2　角的度量与计算

（2）92

第5章　数据的收集与统计图

　5.1　数据的收集与抽样

（1）95

　5.1　数据的收集与抽样

（2）98

　5.2　统计图

（1）101

　5.2　统计图

（2）105

第1章　有理数　

1.1　具有相反意义的量

（1）

1.了解负数产生的背景,理解正、负数及0的意义,掌握正、负数的表示方法.

2.学会运用正、负数表示一对具有相反意义的量.

3.明白数的扩充来源于实际生活需要,感受数学的发展与变化的规律.

一、新知探究

阅读教材第2、3页的内容,自主探究,回答下列问题:

1.在教材中,观察

（1）、观察

（2）中“温度的零上与零下”、“储蓄的存入与支出”有什么共同特点?

像这样的一对量,我们可以怎样表示?

2.正数前可以添上“+”号,通常省略不写,负数是在正数前面加上“-”号吗?

3.“0”是正数,还是负数?

你认为如何规定最合理?

4.我们把正数和0统称为非负数,那么负数和0统称为什么数?

5.联系生活实际,列举两对具有相反意义的量,并分别用正、负数表示,每一对相反意义的量必须具备什么条件?

二、基础演练

根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:

1.用正数和负数表示下列具有相反意义的量.

（1）高于海平面800m和低于海平面200m;

（2）盈利500元和亏损200元;

（3）股市上涨100点和下跌20点.

学法指导:

用正、负数表示具有相反意义的量时,我们把一个量记作正数,另一个量记作负数,如果有单位必须带上单位.

2.在-3.5,20,+,0,-2%,7.2,-中,负数有　. 

3.温度先上升6℃,再上升-3℃的意义是（　　）

A.温度先上升6℃,再上升3℃

B.温度先上升-6℃,再上升-3℃

C.温度先上升6℃,再下降3℃

D.无法确定

4.将向西走5m记作-5m,如果小明从A地先走20m,再走-20m,又走15m,最后走-20m,你能判断小明此时在A地的何方向?

距离A地多远?

三、综合提升

先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:

1.某水泥厂计划每月生产水泥1000t（t表示吨）,一月份实际生产了950t,二月份实际生产了1000t,三月份实际生产了1100t,用正数和负数表示每月超额完成计划各是多少?

2.“牛牛”饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有“500±30（mL）”字样,请问“500±30（mL）”是什么含义?

质检局对该产品抽查6瓶,容量分别为503mL,511mL,489mL,473mL,535mL,530mL,问有哪几瓶是合格产品?

学法指导:

一定注意先找到合格产品的最大容量与最小容量,再进行判断.

1.如果升降机下降10m,记作-10m,那么上升8m,记作　　　　　. 

2.在某次乒乓球质量检测中,一只乒乓球超出标准质量0.02g记作+0.02g,那么-0.03g表示　　　　　　　　　　　　　　　. 

3.某人从A地向东走10m,然后折回向西走了3m,又折回向东走了6m,再折回向西走了8m,问这时此人在A地的哪个方向?

距离A地有多少米?

本课时主要学习了哪些知识与方法?

有何收获和感悟?

还有哪些疑惑?

中国是世界上最先使用负数的国家.战国时期李悝（约公元前455—395）在《法经》中已出现使用负数的实例:

“衣五人终岁用千五百不足四百五十.”在甘肃居延出土的汉简中,出现了大量的“负算”,如“相除以负百二十四算”、“负二千二百四十五算”、“负四算,得七算,相除得三算”.以负与得相比较,表示缺少,亏空之意,显然来自生活实践的需要.

1.天气预报播报时屏幕上显示-4℃~2℃,这里的-4℃表示　　　　,2℃表示　　　　. 

2.小王的储蓄存折上“存入1500元”可以表示为+1500元,则“支出2100元”可以表示为　　　　　元. 

3.汽车“向东行驶5千米”可以表示为+5km,则汽车“向西行驶5千米”可以表示为　km. 

4.一种零件的内径尺寸在图纸上是10±0.05（单位:

mm）,表示这种零件的标准尺寸是10mm,加工要求最大尺寸　　　　　mm,最小尺寸　　　　　mm. 

5.一辆运输车在一条东西方向的街道上来回运送水,它从A点出发,先向东行驶500m,再回头向西行驶200m,又向东行驶450m,接着向西行驶670m,此时,它在A点什么方向?

离A点有多远?

1.1　具有相反意义的量

（2）

1.会用自己的语言表达有理数的意义.

2.正确理解有理数的基本概念,并会对有理数进行正确分类.

3.初步体验数学的分类思想.

一、新知探究

阅读教材第4页的内容,自主探究,回答下列问题:

1.在教材第4页,请你根据“议一议”回顾从小学到现在,我们学过哪些数?

2.当我们学习负数后,整数和分数分别包括哪些数?

这些数统称为什么数?

教材中是如何对它们进行归类的?

是否还有其他的分类方法?

3.在有理数分类中,为什么没有小数这一类?

4.哪些小数是有理数?

哪些小数不是有理数?

二、基础演练

根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:

1.在下列选项中,既是分数,又是负数的是（　　）

A.4　　　　　　　B.

C.-0.3D.-30

2.下列说法正确的是（　　）

A.0既不是正数,也不是负数,也不是整数

B.正整数与负整数统称为整数

C.-3.14既是分数,也是负数,也是有理数

D.0是最小的有理数

3.把下列各数填在相应集合的括号内.

-14,2.8,45,-,-0.25,0,80%,-1,

3.14,-88.

（1）整数集合:

{…};

（2）分数集合:

{…};

（3）负数集合:

{…};

（4）负整数集合:

{…};

（5）负分数集合:

{…};

（6）有理数集合:

{…}.

三、综合提升

先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:

1.在数3.14,3.1415926,3.41,3.1415926…,π中,哪些属于有理数?

为什么?

2.在下列两个椭圆中各填入6个数,其中公共部分填入3个数,并说明公共部分是什么数.

1.下列说法错误的是（　　）

A.负整数和负分数统称负有理数

B.正整数、0、负整数统称为整数

C.正有理数与负有理数组成全体有理数

D.一个有理数,不是整数就是分数

2.在数1.6,-0.004,-,+,,2.5,-,-3.2,0中,正数有　　　　　　　　　　　,负分数有　　　　　　　　　　　. 

3.把下列各数填入相应的圈内.

16,0.1,-5.284,-,124,2.3,,-79,,-3.1415,-119

　　正整数集合　　负整数集合

　　正分数集合　　负分数集合

本课时主要学习了哪些知识与方法?

有何收获和感悟?

还有哪些疑惑?

负数的自述

亲爱的同学们:

大家好!

我是你们的新朋友——负数.我家住在有理数王国,全家3口人,大哥正数,小妹原点,还有我.我和大哥长得非常像,我只比他多一撇小胡子,同学们可不要认错呀.我和正数大哥的脾气相反,比如他想收入,我就想支出;他要盈利,我就要亏损.

1.判断（正确的打“√”,错误的打“✕”）.

（1）最小的自然数为1.（　　）

（2）没有最小的正数.（　　）

（3）整数可分为正整数和负整数两大类.（　　）

（4）数“0”表示没有.（　　）

2.如果正午记作0时,午后3时记作+3时,那么上午7时记作　　　　　. 

3.把下列各数填在相应集合的括号内:

21,-0.4,5.28,-,32,-3.4,23%,-9,,-π,-19

（1）整数集合:

{…};

（2）分数集合:

{…};

（3）负整数集合:

{…};

（4）负分数集合:

{…};

（5）有理数集合:

{…}.

1.2　数轴、相反数与绝对值

1.2.1　数　轴

1.会画数轴,了解数轴的三要素.

2.会将已知数在数轴上表示出来,能说出数轴上的已知点所表示的数.

3.知道有理数都可以用数轴上的点表示,从而初步形成数形结合的数学思想.

一、新知探究

阅读教材第7、8页的内容,自主探究,回答下列问题:

1.刻度尺边缘上的刻度表示哪些数?

温度计上的刻度表示哪些数?

2.数学上对数轴作了哪些规定?

你能根据这些规定,用自己的语言归纳概括出数轴的概念吗?

归纳:

数轴的概念中包含了哪几个要素?

3.你能根据数轴的概念画出一条数轴吗?

画数轴有哪些步骤?

4.任何有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示吗?

数轴上的任何一个点都可以表示唯一的一个有理数吗?

二、基础演练

根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:

1.判断下图中所画的数轴是否正确?

如不正确,请指出错误所在.

学法指导:

一定要根据数轴的三要素判断.

2.在数轴上,表示+3的A点在原点的　　　　侧,距原点　　　　个单位长度;表示-7的B点在原点的　　　　侧,距原点　　　　个单位长度;AB两点之间的距离为　　　　个单位长度. 

3.与原点距离为3.5个单位长度的点有　　　　个,它表示的有理数是　　　　. 

4.请你画一条数轴,并在数轴上标出表示下列各数的点.

-1,2,0,-2,+3.5,

三、综合提升

先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:

1.点A在数轴上原点的右侧,距离原点2个单位长度,将A向右移动3个单位长度,再向左移动6个单位长度得到点B,请问此时的点B表示的数是多少?

2.到原点的距离不大于3的整数有　　　　个,它们是　　　　　　. 

3.观察数轴,能否找出符合下列要求的数.

（1）最大的正整数和最小的正整数;

（2）最大的负整数和最小的负整数.

1.填空:

（1）数轴上在原点右边距原点3.7个单位长度的点表示数　　　　. 

（2）数轴上在原点左边距原点个单位长度的点表示数　　　　. 

（3）数轴上距原点2个单位长度的点有　　　个,它们分别表示数　　　　. 

2.从数轴上观察,大于-2小于1的整数有　　　个,分别是　　　　　　. 

3.在数轴上画出表示下列各数的点.

-3.5,1,0,-0.5,3,-4

本课时主要学习了哪些知识与方法?

有何收获和感悟?

还有哪些疑惑?

单位长度与长度单位

“长度单位”是不变的量,如1厘米、1米等是不变的量,“单位长度”是可变的量,它的量完全可以视实际需要而“规定”,因此,“单位长度”与“长度单位”是两个不同的概念.

1.在数轴上表示-2的点位于原点的　　　边,与原点的距离是　　　个单位长度. 

2.在数轴上表示-2,0,6.3,的点中,在原点右边的点有（　　）

A.0个　　　　　　B.1个

C.2个D.3个

3.数轴上点M到原点的距离是5,则点M表示的数是（　　）

A.5B.-5

C.5或-5D.不能确定

4.数轴上原点及原点右边的点表示的数是（　　）

A.正数B.负数

C.非负数D.非正数

5.请你画一条数轴,并在数轴上标出表示下列各数的点.

0.5,-2,3,-2.5,,-,0.

1.2.2　相反数

1.知道相反数的概念,并借助数轴理解其几何意义.

2.学会求一个已知数的相反数,并会对含多重符号的数进行化简.

3.锻炼自己的观察、概括与总结的能力,进一步体会数形结合的思想.

一、新知探究

阅读教材第9、10页的内容,自主探究,回答下列问题:

1.观察教材中图1-9,A,B两点分别表示什么数?

它们有什么相同点与不同点?

2.相反数的概念是什么?

数a的相反数是什么?

3.我们如何规定0的相反数?

4.互为相反数的两个数在数轴上与原点的位置关系怎样?

5.根据相反数的概念,怎样读-（-2.8）?

它化简后的结果是什么?

总结:

相反数是针对两个数而言,所以可以说成一个数是另一个数的相反数,也可以说成两个数互为相反数.

二、基础演练

根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:

1.填空:

（1）2的相反数是　　　　　; 

（2）的相反数是　　　　　; 

（3）99.2的相反数是　　　　　; 

（4）-22.1的相反数是　　　　　; 

（5）-4的相反数是　　　　　; 

（6）-的相反数是　　　　　; 

（7）0的相反数是　　　　　. 

2.如果数轴上两点A,B所表示的数互为相反数,点A在原点右侧,且A,B两点距离为8,你知道点B代表什么数吗?

3.-a一定是负数吗?

请说明理由.

三、综合提升

先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:

1.填空:

（1）a-b的相反数是　　　　; 

（2）2-a的相反数是　　　　; 

（3）若-（a-5）是正数,则a-5　　　　0; 

（4）若-（2-b）是负数,则2-b　　　　0. 

2.化简下列各数中的符号:

（1）+（+5）=　　　　; 

（2）-（+5）=　　　　; 

（3）+（-1.8）=　　　　; 

（4）-=　　　　; 

（5）-[-（-7）]　　　　; 

（6）-=　　　　. 

上述各题结果的符号是否与前面负号的个数有关?

请总结.

1.填空:

（1）-3的相反数是　　　　; 

（2）-是　　　　的相反数; 

（3）5.6与　　　　互为相反数; 

（4）若-（-a）是正数,则a　　　　0. 

2.求下列各数的相反数,并把各数及其相反数在数轴上表示出来.

-3,0.5,,0

3.化简:

（1）-（+3）=　　　　; 

（2）-（-5）=　　　　; 

（3）+（-2）的相反数是　　　　; 

（4）-（-7）的相反数是　　　　. 

本课时主要学习了哪些知识与方法?

有何收获和感悟?

还有哪些疑惑?

-0和0谁大?

数字王国有两个门卫,一个叫-0,一个叫0,可是他们却争论起来了,-0说:

“-0=0,我们两个是相等的!

”可0张开大嘴说:

“不不不!

-0+0=0互为相反数!

而你是负数,所以我是正数,呵呵!

谁大?

我大!

地位低下的小子!

哈哈哈!

”可-0还是不相信,便打起来了!

快来劝架吧!

你说-0大还是0大?

1.判断（正确的打“√”,错误的打“✕”）.

（1）-5是5的相反数.（　　）

（2）3是-3的相反数.（　　）

（3）0.2与-0.2互为相反数.（　　）

（4）3是相反数.（　　）

（5）如果两个数a,b互为相反数,那么表示a,b的点一定在原点两侧.（　　）

2.一个数的相反数小于它本身,这个数是（　　）

A.任意有理数　　　　B.零

C.负有理数　　　　　D.正有理数

3.填空:

（1）若-x=-7,则x的相反数是　　　　; 

（2）如果m与互为相反数,则m=　　　　. 

4.数轴上到原点的距离小于2的整数所表示的点的个数为x,不大于3的整数所表示的点的个数为y,等于4的整数所表示的个数为z,求x+y+z的值.

1.2.3　绝对值

1.知道什么叫绝对值,了解绝对值的代数意义和几何意义.

2.会求一个已知数的绝对值,会在已知一个数的绝对值条件下求这个数.

3.会利用数轴解决有关绝对值的问题,了解数形结合思想,体会分类讨论的数学思想.

一、新知探究

阅读教材第11、12页的内容,自主探究,回答下列问题:

1.图1-11中点A,O,B分别表示谁的家?

它们在数轴上所对应的数分别是什么?

他们的家分别距学校多远?

2.根据你分析得到的信息和对绝对值的理解,用自己的语言说出绝对值的概念.

3.正数的绝对值是什么?

0的绝对值是什么?

负数的绝对值是什么?

请根据几何意义说明原因.

4.如果字母a表示有理数,则数a的绝对值等于多少?

5.互为相反数的两个数的绝对值之间有何关系?

思考:

有理数a要分几种情况讨论?

二、基础演练

根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:

1.填空:

=　　　　,　　　=　　　　, 

=　　　　,=　　　　. 

2.化简:

（1）-;

（2）-;

（3）-.

3.若=2013,则a=　　　　. 

4.下列说法正确的有（　　）

①若=,则a=b;

②若a为任意有理数,则=a;

③0是绝对值最小的数;

④分别在原点两旁且绝对值相等的两个数互为相反数;

⑤绝对值是0的数只有0,但绝对值是3的数有两个:

3和-3.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

三、综合提升

先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:

1.绝对值小于1.5的整数有　　　　,绝对值不大于3的非负整数有　　　　　　　　. 

2.若=-x,则x是（　　）

A.负数B.正数

C.0D.负数或0

3.若+=0,求2a+b的值.

1.填空:

=　　　,=　　　, 

=　　　,-=　　　. 

2.-3的绝对值是　　　;绝对值等于3的数是　　　. 

3.下列说法中正确的是（　　）

A.-一定是负数

B.只有两个数相等时它们的绝对值才相等

C.若=,则a与b互为相反数

D.若一个数小于它的绝对值,则这个数是负数

4.已知+=0,求xy的值.

本课时主要学习了哪些知识与方法?

有何收获和感悟?

还有哪些疑惑?

无符号数

绝对值是什么呢?

绝对值就是无符号的数.比如说三个人,我们不说男性,也不说女性,我们只说人,那么我们用什么符号来表示呢?

显然不可以用符号来表示,这里的3只可以是无符号的数,假如我们记为3（注意,这里的3与+3是不同的,+3是有符号的数,而3是无符号的数）.这样,当我们问,三个男性（假设记为+3）加三个女性（假设记为-3）,一共有几个人的时候,我们就必须用绝对值相加,也就是+=6,也就是六个人.这里的6就是无符号数.如果按照以往的数学观念,我们把这里的6理解为正数就不对了,因为这样就变成了六个男性了.

1.求下列各数的绝对值.

5,1.8,-,-2.7,0.

2.填空:

-=　　　,-=　　　, 

-=　　　. 

3.如果a=-3,则=　　　,=　　　. 

4.绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点间的距离为8,则这两个数为（　　）

A.+8和-8　　　　　　B.+4和-4

C.+4和+8D.+8和-4

5.若+x=0,那么x是什么数?

1.3　有理数大小的比较

1.通过生活的实例,理解有理数大小比较的法则.

2.借助数轴比较有理数大小,进一步体会数形结合的数学思想.

3.感受数学来源于生活并且服务于生活,提高学习数学的兴趣.

一、新知探究

阅读教材第15、16页的内容,自主探究,回答下列问题:

1.在教材中,“说一说”体现了正数、0、负数之间有着怎样的大小关系?

2.怎样比较两个负数的大小?

3.如何利用数轴比较有理数的大小?

4.多个有理数在一起,如何进行大小比较?

方法是否唯一?

5.所有的有理数是否能用数轴比较大小?

为什么?

二、基础演练

根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:

1.比较下列各组数的大小:

（1）-4与-3;

（2）-100与0.01;

（3）-与-;

（4）-与-.

2.比较-,-3,-1的大小.

3.用“<”连接下列各数.

2.7,-4.5,,0,-,3

三、综合提升

先尝试独立解决,再与小组成员合作交流,解决下列问题:

1.若x为负整数,且3<<8,则符合条件的数有哪些?

2.两个有理数a,b表示的数在数轴上如图所示,试比较有理数a,b,-a,-b的大小.

3.试比较2a与a的大小.

1.在数轴上,原点及原点左边的点表示的数是（　　）

A.正数　　　　　　　B.负数

C.非负数D.非正数

2.下列各式中,正确的是（　　）

A.-<-3B.<

C.-π<-3.14D.<-0.1

3.如果>,则（　　）

A.a>b

B.a

C.a,b同号时,a>b

D.a,b同为负数时,a

4.若<3,且x为整数,则x为　　　　　. 

5.已知=2,b的相反数为1,比较a与b的大小.

本课时主要学习了哪些知识与方法?

有何收获和感悟?

还有哪些疑惑?

值得一提的是有理数的名称.“有理数”这一名称不免叫人费解,有理数并不比别的数更“有道理”.事实上,这似乎是一个翻译上的失误.有理数一词是从西方传来,在英语中是（rationalnumber）,而（rational）通常的意义是“理性的”.中国在近代翻译西方科学著作,依据日语中的翻译方法,以讹传讹,把它译成了“有理数”.但是,这个词来源于古希腊,其英文词根为（ratio）,就是比率的意思（这里的词根是英语中的,希腊语意义与之相同）.所以这个词的意义也很显豁,就是整数的“比”.与之相对,而“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数,而并非没有道理（无理数就是无限不循环小数,π也是其中一个无理数）.

1.比较下列每对有理数的大小.

（1）19　　-19;　　　

（2）-23　　0; 

（3）0　　12;（4）-8　　-12; 

（5）-　　-;（6）　　4.2;