分式知识点及题型总结超好用.docx
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分式知识点及题型总结超好用
分式知识点及题型
、分式的定义:
A
一般地，如果A,B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。
B
二、与分式有关的条件
1分式有意义：
分母不为0（B0）
2分式无意义：
分母为0（B0）
A
0
③分式值为0:
分子为0且分母不为0（
）
B
0
④分式值为正或大于0:
分子分母冋号（
A
0或
A
0
）
B
0
B
0
⑤分式值为负或小于0:
分子分母异号（
A
0或
A
0
）
B
0
B
0
⑥分式值为1:
分子分母值相等（A=B）
⑦分式值为-1:
分子分母值互为相反数（
A+B=0）
三、分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
AA?
CAAC
字母表示：
A，A，其中A、B、C是整式，C0。
BB?
CBBC
拓展：
分式的符号法则：
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变,
AAAA
即：
BBBB
注意：
在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。
四、分式的约分
1•定义：
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2•步骤：
把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
3•注意：
①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幕。
2分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4•最简分式的定义：
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
♦约分时。
分子分母公因式的确定方法：
1）系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数•
2）取各个公因式的最低次幕作为公因式的因式•
3）如果分子、分母是多项式，则应先把分子、分母分解因式，然后判断公因式.
五、分式的通分
1•定义：
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
（依据：
分式的基本性质！
）
2.最简公分母：
取各分母所有因式的最高次幕的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
♦通分时，最简公分母的确定方法：
1•系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数
2•取各个公因式的最高次幕作为最简公分母的因式
3•如果分母是多项式，则应先把每个分母分解因式，然后判断最简公分母
六、分式的四则运算与分式的乘方分式的乘除法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示为:
分式除以分式：
把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
式子表示为:
a亠e
d
e
d
a?
e
bTd
a?
da?
dbeb?
e
分式的乘方：
把分子、分母分别乘方。
式子表示为:
分式的加减法则：
同分母分式加减法：
分母不变，把分子相加减。
式子表示为:
异分母分式加减法:
先通分，化为同分母的分式，然后再加减。
式子表示为:
eabd
整式与分式加减法：
再通分。
分式的加、减、乘、
可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为
除、乘方的混合运算的运算顺序
c
adbe
bd
1的分式,
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。
注意：
在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
整数指数幂
引入负整数、零指数幕后，指数的取值范围就推广到了全体实数，
数幕一样适用。
七、
①
即:
mn
a
abn
n
ab
并且正正整数幕的法则对对负整数指
（a0）
（任何不等于零的数的零次幕都等于1）
其中
n均为整数。
八、分式方程的解的步骤：
（产生增根的过程）
⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为0,则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0,则是原方程
的解。
产生增根的条件是：
①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为九、列分式方程一一基本步骤：
1审一仔细审题，找出等量关系。
2设一合理设未知数。
3列一根据等量关系列出方程（组）
4解一解出方程（组）。
注意检验
5答一答题。
分式典型例题
一、分式
（一）从分数到分式
题型1:
考查分式的定义
题型2:
考查分式有,
无意义,
总有意义
（1）
使分式有意义：
令分母工
0按解方程的方法去求解;
（2）
使分式无意义：
令分母
=0按解方程的方法去求解;
注意:
（x21工0）
时，分式二
x
时,
—有意义;
5
分式J
x
-有意义。
1
x,y满足关系
时,
分式-
x
2x1
例2:
分式中，当x
2x
例4:
时，分式
时，分式没有意义
-有意义
1
—无意义;
y
15
卞万iih罕岀、
8a2b、
9a5a
b
3a2
b2
2
、2-、
1
5xy
2
11x13xy3
丨八亠7J1〉、
xy
-232x
y
4
a
m
6
x22xy
a
1
中分式的个数为（
）
（A）2
（B）
3
（C）
4
（D）
5
m
练习题：
（1）下列式子中，是分式的有.
2
z2x7zx15a
⑴；⑵；（3）
x523a
2
:
⑷x
x2
:
⑸2
弓E22x—2
b2xy
（2）下列式子，哪些是分式？
a3.y.7x.
xxy.
1
b
5x24y8
x2y
4
5.
无论x取什么数时，总是有意义的分式是（
2x
A.2
x21
x
B.-
2x1
3x
x5
D.厂
x
例7:
使分式
有意义的x的取值范围为（
C.
例8:
要是分式
————没有意义，则x的值为（
（x1）（x3）
A.2B.-1或-3
C.-1D.3
题型3:
考查分式的值为零的条件
使分式值为零：
令分子=0且分母工0,注意：
当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那
么要舍
土去。
12a
时，分式的值为0
a1
例2:
当
时,
2
分式—
X
-的值为0
1
例3:
如果分式
-的值为为零，则a的值为（
2
A.2
B.2
C.2
D.以上全不对
例4:
能使分式
2
X
~2
X
X
的值为零的所有X的值是
1
DX
例5:
要使分式
2X29的值为0，则X
x5x6
的值为（
）A.3或-3B.3
C.-3
a
例6:
若
-1
0,则a是（）A.正数
B.负数
a
题型
4:
考查分式的值为正、负的条件
【例】
】
（1）当
4
彳X为何值时，分式
-为正；
8X
（2）
当X为何值时，分式
5X2为负;
3
（X1）2
（3）
当X为何值时，分式—
2
2为非负数.
X3
C.零D.任意有理数
、分式的基本性质
a3b3（）a（）
题型1：
分式的基本性质的应用
A
B
A
C
A
B
AC
BC
B
CC
0
例1:
XV
6x（y
z）
+中5（3a；如果
1）
5
成立则a的取值范围是
a
aby
3（y
z）2
yz7（3a
1）
7
“〜ab2
1
bc
b
c
分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变
例2:
a2b
例3:
如果把分式中的a和b都扩大10倍，那么分式的值（）
ab
A、扩大10倍B、缩小10倍C、是原来的20倍D、不变
例4:
如果把分式卫匚中的X，y都扩大10倍，则分式的值（）
xy
A.扩大100倍B.扩大10倍C.不变D.缩小到原来的-
10
例5:
如果把分式xy中的x和y都扩大2倍，即分式的值（
xy
A、扩大2倍;
B、扩大4倍;
C、不变;
D缩小
例6:
若把分式
x——翌的x、y同时缩小
2x
12倍，则分式的值（
A.
扩大12倍
B.缩小12倍C.
不变
D.缩小6倍
7:
若x、y的值均扩大为原来的
2倍，则下列分式的值保持不变的是（
A、
竺B
2y
3x
环D
2y
3x3
例8:
根据分式的基本性质,
分式
a
可变形为（
b
例9:
不改变分式的值，使分式的分子、
分母中各项系数都为整数,
ab
0.2x0.012
x0.05
例10:
不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数,
1x
2=
1xx
题型2:
分式的约分及最简分式
1约分的概念：
把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分
2分式约分的依据：
分式的基本性质.
3分式约分的方法：
把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式.
4约分的结果：
最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）
约分主要分为两类：
第一类：
分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。
第二类：
分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。
x
例1:
下列式子
（1）p
x
；（3）
；（4）
x―y中正确的是
xy
（）A、1个B
例2:
下列约分正确的是（
6
x3
2x
x
c、
xy
2xy2
4x2y
例3:
下列式子正确的是
A0
2xy
B.—
a
C.
c
D.-
a
例4:
下列运算正确的是
A、
2mm
2ab2
例5:
下列式子正确的是
bb2a
A.2B.
aaab
0.1a0.3b
a3b
0.2ab
2ab
2
例6:
化简m3m的结果是（
）A、
m
9m2〜「
m3
例7:
约分:
4x2y
.3
x
2
；2
6xy
x
9
m
B、
m3
C、
m
m
D、
3m
m3
1
1
1.
x
5
3
y3x5y
；2
0.6x
3xy
xy
y
axayx216
~22；-2~
xyx8x16
x2914a2bc3
3
2x621abc
a24
例8•约分：
一
4xy
a（ab）
:
约分:
2
a4a4
；2
16xy
b（a
b）
例9:
分式
a2
a23
ab4a
a2b2'12（ab）
中，最简分式有（）
x2
5ab
x29
20a2b
x26x9
A.1个B.2个C.3个D.4个
题型3:
分式的通分及最简公分母:
通分：
主要分为两类：
第一类：
分母是单项式；第二类：
分母是多项式（要先把分母因式分解）分为三种类型：
“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。
三”型：
指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。
x
例如:
最简公分母就是x2x2。
x2x2
例如:
x
2x2
最简公分母是：
2xx2
xx2
四”型：
指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。
例如：
2x2
-最简公分母就是x4x2x2
x2x24
四、六”型：
指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。
例1：
分式一，一—2的最简公分母是（）
mn'mn'mn
a.（m
n）（m2n2）b.（m2
2\2
n）c.
2
（mn）（mn）d
例2:
对分式
丄，x2，1通分时，
2x3y4xy
最简公分母是（
）
A.24
x2yyB.12x2y2
c.24xy2
D.12xy2
例3:
下面各分式：
x21xyx1
22
xy
，其中最简分式有（
）个。
2‘22'
xxxyx1
22
xy
A.4
B.3
C.2
D.1
1
例4:
分式c
a4
，a的最简公分母是
2a4
例5:
分式a与1的最简公分母为
b
例6:
分式212,21的最简公分母为
xyxxy
二、分式的运算
（一）分式的乘除
（-）n.分式的乘方，是把分子、分母各自乘方
b
题型1：
分式的乘，除，乘方
分式的乘法:
乘法法测：
a
c
=ac
b
d
bd
分式的除法:
除法法则：
a.
c
a
=
d
=ad
b
d
b
c
bc
分式的乘方：
求n个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是
n
式子表示为:
（a）n=?
_（n为正整数）bbn
例题:
计算:
26x2?
25x4
6・7
15x39y
（2）
34
16xy
10~
125a
56x4
100a13
计算:
（3）
ab_a2b2a4a2ab
aba
（4）
2
a
a24a4
计算:
（5）
2x2
3?
5y
6x
10y
21x2
（6）
x21
x26x9
（1
x3x）?
飞x
计算:
（7）
2
a
a24a
2
a
a22a1
1
a21
求值题：
（1）
已知:
x2
x22xyy
2■x^」-的值。
2
xxy
（2）已知:
9y
2
y
2y
的值。
（3）已知:
求2x3xy
x2xyy
?
求xyX；的值。
4xyz
2
1
1
bxy
C—
D
y
1y
C.
D.
x
1
化简x
的结果是（
）A.1
y
x
B.xy
计算：
（i）
2x38x
x24x4
x2
2x4
（2）
2
X22x1
x21
22x
x1
（3）
2a2
严1}a22a1
a1
2a2
计算：
（1）
（23^3
3x
2a
（2）
b
5
（3）
3y33
2x2
23
2
23
计算：
（4）
b=
2
（5）
?
?
b2
ab4=
2a2
b
a
例题:
求值题：
（i）已知：
-丫
23
x2x
⑵已知：
x210x25y30求的值。
2xy2y
2
练习：
计算（x2y）-一y?
-yj的结果是（
xxy
（二）分式的加减：
分式加减主体分为：
同分母和异分母分式加减。
1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。
2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。
通分方法：
先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。
分类：
第一类：
是分式之间的加减，第二类：
是整式与分式的加减。
鬥2
2n
2a23
2a
4
例1:
例2:
2
2
m
m
a1
a
1
例3:
———
xyyx
x2y
~22
xy
y2x
-22-22
yxxy
计算：
（1）
（2）
ab
（3）
2
a
（ab）2
b2
（ba）2
5a2b3
ab2
3a2b5
ab2
8a2b
ab2
1
3
11
5
）A
.2xB
.2xc
.6xD
.6x
日八b
c
a
例6:
a
b
c
例5:
化简丄+丄+丄等于
x2x3x
2a
例7:
2
a24
例8:
3x
（x3）2
x6
x23x
2a1
练习题：
（1）
13:
14：
15：
（4）
b2
ab
b2a2
计算a
请先化简:
—的结果是
2x
-2~x
已知：
x2
4x
（三）分式的混合运算
题型1:
化简分式
4
x216
H）?
2
例10：
a
a2
a24
例11:
（2）
（5）
4
x24
（3）
a2
12
-2~
a
，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值
12x
~2x
的值。
4x4
例2：
x
~~2
x
3?
x22x
1x24x3
x22x
2
x
2y
22
x2xyy
题型2:
分式求值问题:
1:
已知x为整数，且
22x
++
3x
x2
2:
已知x=2,y=1
2
24
y）2
3:
已知实数x满足4x2-4x+I=O，
例6:
1
xy
x2y
2
x
22
x4xy4y
x
2
x2x1
18为整数,
9
24
（xy）2
求所有符合条件的
的值.
1
则代数式2x+的值为
2x
1
例4:
已知实数a满足a2+2a—8=0,求—a1
a3
a21
¥2a1的值.
a4a3
2
a1a3a6a9
a3a2a4
（1）
x24x
x28x16
，其中x=5.
（2）
a2ab
a22abb2
其中a=-3，
b=2
（3）
a21
a24a4
;其中a=85；
/八，x2x1、x4甘宀“
（4）（二2），其中x=-1
x2xx4x4x
例5:
卄1
2x
的值是（
1
1
1
1
右x—
3求42
）•
A.
B.
C.-
D.一
x
xx
1
8
10
2
4
例6:
1已知—
1
3，求代数式
2x14xy
2y
的值
x
y
x2xy
y
例7:
先化简，再对
a取一个合适的数，代入求值
练习题：
先化简再求值
3x5
（5）先化简，再求值：
勺x+2—）.其中x=-2.
2x4x2
（6）
（汽
22）a22abb2
2
a
~2a
b2
）1,其中
3b
题型3:
分式其他类型试题：
例1:
观察下面一列有规律的数：
2
3
4
5
67
••根据其规律可知第n个数应是
（n为正整
3
8
15
24
3548
数）
例2:
观察下面一列分式：
丄,
2
~,
4
8,~,
16~5，-
..,根据你的发现，
它的第8项是，第n项是
。
xxxxx
110
例3:
当x=时，分式与互为相反数.
5x23x
4ARxC
例4:
已知一二——-，则A,B,C
x（x24）xx24
例5:
已知丄A—，则（）
（y1）（y2）y1y2
A.A10,B13
B.
A10,B13
C.A10,B
13D.
A10,B
13
例6:
已知2x3y，求
xy
2
-2y2的值；
xy
22
xy
例7:
先填空后计算：
11
①丄—!
—=
。
11
1
o
1=
o（3分）
nn1
n
1n2
n2
n3
1
②（本小题4分）计算：
1
1
1
n（n1）
（n1）（n2）
（n2）（n3）
（n
2007）（n
2008）
1
解：
—
1
1
1
三、分式与方程
（一）分式方程的解法
解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：
1、交叉相乘法：
例
1.
解方程：
1
3
x
x
2
2、化归法：
例2.
解
方
程:
1
2
2
0
x1
x
1
3、左边通分法：
例
3：
解方程：
x
8
1
8
x
/
7x
4、分子对等法：
例
4.
解方程：
1
a
1b
（a
b）
a
x
bx
5、观察比较法：
例
5.
解方程：
4
5x
x
2
5x2
4x
17
4
6、分离常数法：
例
6.
解方程：
x
1
x8
x2
x7
x
2
x9
x3
x8
7、分组通分法：
例
7.
解方程：
1
1
1
1
x
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