分式知识点及题型总结超好用.docx

1、分式知识点及题型总结超好用分式知识点及题型、分式的定义:A一般地，如果A, B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式，A为分子，B为分母。B二、与分式有关的条件1 分式有意义：分母不为 0 （ B 0）2 分式无意义：分母为 0（ B 0）A0分式值为0:分子为0且分母不为0 （)B0分式值为正或大于 0:分子分母冋号（A0 或A0)B0B0分式值为负或小于 0:分子分母异号（A0 或A0)B0B0分式值为1 :分子分母值相等（A=B ）分式值为-1 :分子分母值互为相反数（A+B=0 )三、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 0的整式，分式的值不变。A A ?

2、 C A A C字母表示： A ，A ，其中A、B、C是整式，C 0。B B?C BBC拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变,A A A A即：B B B B注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C 0这个限制条件和隐含条件 B 0。四、 分式的约分1 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。2 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。3 注意：分式的分子与分母 均为单项式时可直接约分，约去分子、分母 系数的最大公约数，然后约去分 子分母相同因式的最低次幕。2 分子分母若为多项式，先对分子分

3、母进行因式分解，再约分。4 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。约分时。分子分母公因式的确定方法 ：1） 系数取分子、分母系数的 最大公约数 作为公因式的系数2） 取各个公因式的最低次幕 作为公因式的因式3） 如果分子、分母是多项式，则应先把分子、分母分解因式 ，然后判断公因式.五、 分式的通分1 定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。（依据：分式的基本性质！）2.最简公分母：取各分母所有因式的最高次幕的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。通分时，最简公分母的确定方法：1 系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数

4、2 取各个公因式的最高次幕作为最简公分母的因式3 如果分母是多项式，则应先把每个分母分解因式，然后判断最简公分母六、分式的四则运算与分式的乘方 分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为:分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为:a亠ededa ?ebTda ? d a ?d b e b ?e分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为:分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为:异分母分式加减法:先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为:e a b d整式与分式加减法：再通分。分式的加、

5、减、乘、可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为除、乘方的混合运算的运算顺序cad bebd1的分式,先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提 高解题质量。注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对 有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式） 。整数指数幂引入负整数、零指数幕后，指数的取值范围就推广到了全体实数，数幕一样适用。七、即:mnaab nna b并且正正整数幕的法则对对负整数指(a 0)（任何不等于零的数的零次幕都等于 1）其中n均为

6、整数。八、分式方程的解的步骤：（产生增根的过程）去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。解整式方程，得到整式方程的解。检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为 0,则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根； 如果最简公分母不为 0,则是原方程的解。产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为 九、列分式方程一一基本步骤：1 审一仔细审题，找出等量关系。2 设一合理设未知数。3 列一根据等量关系列出方程（组）4 解一解出方程（组）。注意检验5 答一答题。分式典型例题一、分式（一）从分数到分式题型1:考查分式的定义题型2:考查分式有,无意义,总有意义(1)

7、使分式有意义：令分母工0按解方程的方法去求解;(2)使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解;注意:(x2 1 工 0)时，分式二x时,有意义;5分式Jx-有意义。1x , y满足关系时,分式-x2x 1例2:分式 中，当x2 x例4:时，分式时，分式没有意义-有意义1无意义;y15卞万iih罕岀 、8a2b、9a 5ab3a2b22、2- 、15xy21 1 x 1 3xy 3丨八亠7 J 1 、x y-23 2xy4am6x 2 2 x ya1中分式的个数为（)(A) 2(B)3(C)4(D)5m练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . 2z 2x 7 z x 1 5a ； ；(3)x

8、 5 2 3 a2:xx 2:2弓 E 22x 2b 2x y（2 ）下列式子，哪些是分式？a 3 . y . 7x .x xy .1b5 x2 4 y 8x 2y45 .无论x取什么数时，总是有意义的分式是（2xA. 2x2 1xB.-2x 13xx 5D.厂x例7:使分式有意义的x的取值范围为（C.例8:要是分式没有意义，则x的值为（x 1）（x 3）A. 2 B.-1 或-3C. -1 D.3题型3:考查分式的值为零的条件使分式值为零：令分子 =0且分母工0,注意：当分子等于 0使，看看是否使分母=0 了，如果使分母=0 了，那么要舍土 去。1 2a时，分式 的值为0a 1例2:当时,2

9、分式X-的值为01例3 :如果分式-的值为为零，则a的值为（2A. 2B.2C. 2D.以上全不对例4:能使分式2X2XX的值为零的所有X的值是1DX例5:要使分式2X2 9的值为0，则Xx 5x 6的值为（)A.3 或-3 B.3C.-3a例6 :若-10,则a是（ ）A.正数B.负数a题型4:考查分式的值为正、负的条件【例】(1) 当4彳X为何值时，分式-为正；8 X(2)当X为何值时，分式5 X 2为负;3(X 1)2(3)当X为何值时，分式22为非负数.X 3C.零 D.任意有理数、分式的基本性质a3b3 ( ) a ( )题型1：分式的基本性质的应用ABACABA CB CBC C0

10、例 1: XV6x( yz)+ 中 5（3a ；如果1)5成立则a的取值范围是aaby3(yz)2y z 7(3a1)7“ab21b cbc分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0的整式，分式的值不变例2 :a 2 b例3 :如果把分式 中的a和b都扩大10倍，那么分式的值（ ）a bA、扩大10倍 B 、缩小10倍 C 、是原来的20倍 D 、不变例4 :如果把分式 卫匚中的X，y都扩大10倍，则分式的值（ ）x yA .扩大100倍 B .扩大10倍 C .不变 D .缩小到原来的 -10例5:如果把分式 xy 中的x和y都扩大2倍，即分式的值（x yA、扩大2倍;B、扩大

11、4倍;C、不变;D缩小例6:若把分式x翌的x、y同时缩小2x12倍，则分式的值（A.扩大12倍B.缩小12倍 C.不变D.缩小6倍7 :若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（A、竺B2y3x环D2y3x3例8:根据分式的基本性质,分式a可变形为（b例9 :不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数,a b0.2x 0.012x 0.05例10:不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数,1 x2 =1 x x题型2:分式的约分及最简分式1 约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分2 分式约分的依据：分式的基本性质.3 分式约分的方法：

12、把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式.4 约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。x例1:下列式子（1） px；(3)；(4)xy中正确的是x y（ ）A、1 个 B例2:下列约分正确的是（6x 32 xxc、xy2xy24x2y例3:下列式子正确的是A 02x yB.aC.cD.-a例4 :下列运算正确的是A、2m m2 a b2例5:下列式子正确的是b b2 aA. 2 B .a a a

13、 b0.1a 0.3ba 3b0.2a b2a b2例6 :化简m 3m的结果是（）A、m9 m2 m 3例7 :约分:4x2y.3x2； 26xyx9mB、m 3C、mmD、3 mm 3111 .x53y 3x 5y； 20.6x3xyxyyax ay x2 162 2 ； -2x y x 8x 16x2 9 14a2bc3 32x 6 21a bca2 4例8 约分： 一4xya(a b):约分: 2a 4a 4； 216x yb(ab)例9 :分式a 2a2 3a b 4aa2 b2 12(a b)中，最简分式有（）x 25abx2 920a2bx2 6x 9A. 1个 B . 2个 C

14、 . 3个 D . 4个题型3:分式的通分及最简公分母:通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解） 分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。x例如:最简公分母就是 x 2 x 2 。x 2 x 2例如:x2x2最简公分母是：2x x 2x x 2四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。例如：2 x 2- 最简公分母就是 x 4 x 2 x 2x 2 x2 4四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相

15、同的都要有。例1 ：分式 一，一2 的最简公分母是（ ）m n m n m na. (mn)(m2 n2) b . (m22 2n ) c .2(m n) (m n) d例2:对分式丄，x2，1通分时，2x 3y 4xy最简公分母是（)A.2 4x2yy B .12 x2 y 2c.2 4 x y 2D.12 x y 2例3:下面各分式：x2 1 x y x 12 2x y，其中最简分式有()个。2 2 2 x x x y x 12 2x yA. 4B. 3C. 2D. 11例4 :分式 ca 4， a 的最简公分母是2a 4例5 :分式a与1的最简公分母为 b例6 :分式 2 1 2 , 2

16、 1 的最简公分母为x y x xy二、分式的运算(一)分式的乘除(-)n.分式的乘方，是把分子、分母各自乘方b题型1：分式的乘，除，乘方分式的乘法:乘法法测：ac=acbdbd分式的除法:除法法则：a .ca= d=adbdbcbc分式的乘方：求n个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是n式子表示为:(a)n=?_(n为正整数) b bn例题:计算:26x2 ? 25x46 715x 39y(2)3 416x y10125a56x4100a13计算:(3)a b _ a2b2 a4 a2 abab a(4)2aa2 4a 4计算:(5)2x23?5y6x10y21x2(6)x2 1

17、x2 6x 9(1x 3 x)?飞 x计算:(7)2aa2 4a2aa2 2a 11a2 1求值题：(1)已知:x2x2 2xy y2 x-的值。2x xy(2)已知:9y2y2 y的值。(3)已知:求 2x 3xyx 2xy y?求xy X；的值。4 x y z211b x yC Dy1 yC.D .x1化简x的结果是（)A. 1yxB. xy计算：（i）2x3 8xx2 4x 4x 22x 4(2)2X2 2x 1x2 12 2xx 1(3)2a 2严1 a2 2a 1a 12a 2计算：(1)(2333x2a(2)b5(3)3y3 32x22 322 3计算：(4)b =2(5)? ?b

18、2ab4 =2a2ba例题:求值题：（i）已知：-丫2 3x2 x 已知：x2 10x 25 y 3 0求 的值。2xy 2y2练习：计算（x2 y） -一y ? -yj的结果是（x x y（二）分式的加减：分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。1、 同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。2、 异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进 行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。鬥 22n2a2

19、 32 a4例1:例2 : 22mma 1a1例3: x y y xx 2y2 2x yy 2x-2 2 -2 2y x x y计算：（1）(2)a b(3)2a(a b)2b2(b a)25a2b 3ab23a2b 5ab28 a2bab213115)A.2x B.2x c.6x D.6x日八bca例6:abc例5:化简丄+丄+丄等于x 2x 3x2a例7: 2a2 4例8:3x(x 3)2x 6x2 3x2a 1练习题：（1）13:14：15：(4)b2abb2 a2计算a请先化简:的结果是2x-2 x已知：x24x（三）分式的混合运算题型1 :化简分式4x2 16H)?2例 10： aa

20、 2a2 4例11:(2)(5)4x2 4(3)a212-2a，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值1 2x2 x的值。4x 4例2：x2x3?x2 2x1 x2 4x 3x2 2x2x2y2 2x 2xy y题型2:分式求值问题:1 :已知x为整数，且2 2x+ +3 xx22 :已知 x = 2, y= 1224y)23 :已知实数x满足4x2-4x+I=O，例6: 1x yx 2y2x2 2x 4xy 4yx2x 2x 118 为整数,924(x y)2求所有符合条件的的值.1则代数式2x+ 的值为2x1例4 :已知实数a满足a2+ 2a 8=0,求 a 1a 3a2 1 2a

21、1的值.a 4a 32a 1 a 3 a 6a 9a 3 a 2 a 4(1)x2 4xx2 8x 16，其中x=5.(2)a2 aba2 2ab b2,其中a=-3，b=2(3)a2 1a2 4a 4;其中a=85；/八，x 2 x 1 、 x 4 甘宀 “(4)(二 2 ) ，其中 x= -1x 2x x 4x 4 x例5:卄 12 x的值是（1111右x 3求4 2)A .B .C.-D. 一xx x181024例6:1 已知13，求代数式2x 14xy2y的值xyx 2xyy例7:先化简，再对a取一个合适的数，代入求值练习题：先化简再求值3 x 5(5)先化简，再求值： 勺x+2 ).

22、其中x=- 2.2x 4 x 2(6)（汽2 2 ) a2 2ab b22a2 ab2）1,其中3b题型3:分式其他类型试题：例1:观察下面一列有规律的数：23456 7根据其规律可知第 n个数应是（n为正整38152435 48数）例2 :观察下面一列分式： 丄,2,48 , ,16 5，-.,根据你的发现，它的第8项是 ，第n项是。x x x x x1 10例3 :当x= 时，分式 与 互为相反数.5 x 2 3x4 A Rx C例4:已知一二- ，则A , B ,Cx(x2 4) x x2 4例5:已知 丄 A ，则( )(y 1)(y 2) y 1 y 2A. A 10, B 13B

23、.A 10, B 13C. A 10, B13 D.A 10,B13例6:已知2x 3y，求xy2- 2y 2的值；x y2 2x y例7 :先填空后计算：1 1丄 !=。1 11o1 =o (3 分)n n 1n1 n 2n 2n 31（本小题4分）计算：111n(n 1)(n 1)(n 2)(n 2)(n 3)(n2007)(n2008)1解：111三、分式与方程(一)分式方程的解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的 分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：1、交叉相乘法：例1.解方程：13xx22、化归法：例2.解方程: 1220x 1x13、左边通分法：例3：解方程：x818x/7 x4、分子对等法：例4.解方程：1a1 b(ab)axb x5、观察比较法：例5.解方程：45xx25x 24x1746、分离常数法：例6.解方程：x1x 8x 2x 7x2x 9x 3x 87、分组通分法：例7.解方程：1111x