精选八年级三角形解答题专题练习解析版.docx

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精选八年级三角形解答题专题练习解析版

【精选】八年级三角形解答题专题练习（解析版）

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．如图1，直线与直线、分别交于点、，与互补.

（1）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由.

（2）如图2，与的角平分线交于点，与交于点，点是上一点，且，求证：

.

（3）如图3，在

（2）的条件下，连接，是上一点使，作平分，求的度数.

【答案】

（1）AB//CD，理由见解析；

（2）证明见解析；（3）.

【解析】

【分析】

（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，即可证明；

（2）利用

（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG⊥PF，再结合GH⊥EG，即可证明;

（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解.

【详解】

（1），

理由如下：

如图1，

图1

∵与互补，

∴，

又∵，，

∴，

∴；

（2）如图2，由

（1）知，，

图2

∴．

又∵与的角平分线交于点，

∴，

∴，即．

∵，

∴；

（3）如图3，

∵，

.

又∵，

∴．

∴．

∵平分，

∴．

∴．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识.解题过程关注中“数形结合”思想是解答本题的关键.

2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．

（1）∠ABC＋∠ADC＝　　°；

（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；

（3）如图②，若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝∠CDN，∠CBE＝∠CBM），试求∠E的度数．

【答案】

（1）180°；

（2）DE⊥BF；（3）450

【解析】

【分析】

（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；

（2）延长DE交BF于G，根据角平分线的定义可得∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，然后求出∠CDE=∠CBF，再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根据垂直的定义证明即可；

（3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．

【详解】

（1）解：

∵∠A=∠C=90°，

∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°；

故答案为180°；

（2）解：

延长DE交BF于G，

∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，

∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，

又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，

∴∠CDE=∠CBF，

又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，

∴∠BGE=∠C=90°，

∴DG⊥BF，

即DE⊥BF；

（3）解：

由

（1）得：

∠CDN+∠CBM=180°，

∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，

∴∠CDE+∠CBE=×180°=45°，

延长DC交BE于H，

由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，

∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，

∴∠E=90°-45°=45°

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用．

3．探究与发现：

如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，

（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX等于多少度； 

②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数； 

③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=133°，∠BG1C=70°，求∠A的度数．

【答案】

（1）详见解析；

（2）①50°；②85°；③63°．

【解析】

【分析】

（1）连接AD并延长至点F，根据外角的性质即可得到∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，即可得出∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）①根据

（1）得出∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，再根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的度数；

②先根据

（1）得出∠ADB+∠AEB=90°，再利用DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，即可求出∠DCE的度数； 

③由②得∠BG1C=（∠ABD+∠ACD）+∠A，设∠A为x°，即可列得（133-x）+x=70，求出x的值即可.

【详解】

（1）如图

（1），连接AD并延长至点F，

根据外角的性质，可得

∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，

又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，

∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）①由

（1），可得

∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，

∵∠A=40°，∠BXC=90°，

∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°；

②由

（1），可得

∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，

∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，

∴（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，

∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，

∴，，

∴∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE,

=（∠ADB+∠AEB）+∠DAE,

=45°+40°,

=85°；

③由②得∠BG1C=（∠ABD+∠ACD）+∠A，

∵∠BG1C=70°，

∴设∠A为x°，

∵∠ABD+∠ACD=133°-x°

∴（133-x）+x=70，

∴13.3-x+x=70，

解得x=63，

即∠A的度数为63°.

【点睛】

此题考查三角形外角的性质定理，三角形的外角等于与它不相邻的内角的和，，根据此定理得到角度的规律，由此解决问题，此题中得到平分角的变化规律是解题的难点.

4．如图1，线段AB、CD相交于点O，连结AD、CB，我们把这个图形称为“8字型”根据三角形内角和容易得到：

∠A+∠D=∠C+∠B.

（1）用“8字型”

如图2,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=___________；

（2）造“8字型”

如图3,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=_____________;

（3）发现“8字型”

如图4，BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分

线，EF为∠BED的平分线.

①图中共有________个“8字型”；

②若∠B：

∠D：

∠F=4：

6：

x，求x的值.

【答案】

（1）360°；

（2）540；（3）①6；②x=5.

【解析】

分析：

（1）根据题意即可得到结论；

（3）①由图形即可得到结论；

②根据三角形内角和为180°的性质即可证得关系为∠D+∠B=2∠F，再根据∠B、∠D、∠F的比值，即可求得x的值；

详解：

（1）∵∠A+∠B=∠GKH+∠GHK，

∠C+∠D=∠GHK+∠HGK，

∠E+∠F=∠HGK+∠GKH，

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2（∠GKH+∠GHK+∠HGK）=2×180°=360°，故答案为：

360°；

（2）如图，连结BC，

∵∠E+∠G=∠GCB+∠EBC，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=五边形FABCD的内角和，

即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（5-2）•180°=540°，

故答案为：

540°；

（3）①图中共有6个“8字型”；

故答案为：

6．

②：

∵CF平分∠BCD，EF平分∠BED

∴∠DEG=∠AEG，∠ACH=∠BCH，

∵在△DGE和△FGC中，∠DGE=∠FGC

∴∠D+∠DEG=∠F+∠ACH

∵在△BHC和△FHE中，∠BHC=∠FHE

∴∠B+∠BCH=∠F+∠AEG

∴∠D+∠DEG+∠B+∠BCH=∠F+∠ACH+∠F+∠AEG

∴∠D+∠B=2∠F；

∵∠B：

∠D：

∠F=4：

6：

x，∠D+∠B=2∠F，

∴x=5．

点睛：

考查了多边形的内角与外角，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．

5．如图①，在平面直角坐标系中，点的坐标为，.

①②

（1）若的面积为20，求点，的坐标.

（2）如图①，向轴正方向移动点，使，作的平分线交轴于点，求的度数.

（3）如图②，在

（2）的条件下，线段上有一动点，作，它们的边分别交轴、轴于点，，作，试判断与的位置关系，并说明理由.

【答案】

（1），；

（2）45°；（3）

【解析】

【分析】

（1）设OB=a，根据三角形的面积公式列式求出a，即可得到点B、C的坐标；

（2）设，根据题意得到∠ABC=90°+α，根据三角形内角和定理得到∠BAC=90°-2α，再根据角平分线的定义、三角形外角的性质即可得到答案；

（3）延长FM交QP于H，设∠DQP=∠AQM=α，∠FMG=∠DMQ=β，根据三角形外角的性质、三角形内角和定理求出∠2+∠DMH=90°即可得到答案.

【详解】

（1）设OB=a，则OC=4a，

∴BC=3a，

由题意得，，

解得：

a=，

∴OB=，OC=，

∴，；

（2）设，

∵，

∴，

∴

，

∵平分，∴，

∴；

（3）FM⊥PQ，理由如下：

延长交PQ于点H，.

设∠DQP=∠AQM=α，∠FMG=∠DMQ=β，

则∠DMH=∠FMG=β，

∠AQM=∠QMD+∠QDM，即α=β+45°，

∴∠1=180°-∠DQP-∠ADO=90°-β，

∴∠2=∠1=90°-β，

∴∠2+∠DMH=β+90°-β=90°，

∴∠MHQ=90°，即FM⊥PQ.

【点睛】

本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键.

6．如图①，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（4，1），C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB．

（1）求证：

∠OAC＝∠OCA；

（2）如图②，若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的外角的三等分线交于点P，即满足∠POC＝∠AOC，∠PCE＝∠ACE，求∠P的大小；

（3）如图③，在

（2）中，若射线OP、CP满足∠POC＝∠AOC，∠PCE＝∠ACE，猜想∠OPC的大小，并证明你的结论（用含n的式子表示）．

【答案】

（1）证明见解析

（2）15°（3）

【解析】

试题分析：

（1）根据AB坐标可以求得∠OAB大小，根据角平分线性质可求得∠OAC大小，即可解题；

（2）根据题干中给出的∠POC=∠AOC、∠PCE=∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题；

（3）解法和

（2）相同，根据题干中给出的∠POC=∠AOC、∠PCE=∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题．

试题解析：

（1）证明：

∵A（0，1），B（4，1），∴AB∥CO，∴∠OAB＝180°－∠AOC＝90°.

∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝45°，∴∠OCA＝90°－45°＝45°，∴∠OAC＝∠OCA.

（2）解：

∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝30°.∵∠