人教版八年级下册 第十八章 平行四边形 练习题含答案.docx
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人教版八年级下册第十八章平行四边形练习题含答案
第十八章平行四边形练习题
一、选择题
1.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AD=BC=5,DC=7,AB=13,点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动,同时点Q从点B出发,以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动.当四边形PQBC为平行四边形时,运动时间为( )
A.4s
B.3s
C.2s
D.1s
2.如图,点B,C分别是锐角∠A两边上的点,AB=AC,分别以点B,C为圆心,以AB的长为半径画弧,两弧相交于点D,连接BD,CD.则根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是( )
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.四边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线平分一组对角的四边形是菱形
3.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,AC=20,F是DE上一点,连接AF,CF,DF=4.若∠AFC=90°,则BC的长度为( )
A.24
B.28
C.20
D.12
4.下列条件之一能使平行四边形ABCD是矩形的为( )
①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD.
A.①③
B.②④
C.③④
D.①②③
5.如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,H为AD边的中点,若菱形ABCD的周长为20,则OH的长为( )
A.2
B.2.5
C.3
D.3.5
6.如图,已知l1∥l2,AB∥CD,CE⊥l2,FG⊥l2,下列说法错误的是( )
A.l1与l2之间的距离是线段FG的长度
B.CE=FG
C.线段CD的长度就是l1与l2两条平行线间的距离
D.AC=BD
7.如图,四边形ABCD是菱形,∠DAB=50°,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,则∠DHO的度数是( )
A.20°
B.25°
C.30°
D.35°
8.如图,平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O.若点A的坐标为(-4,2),则点C坐标为( )
A.(4,-2)
B.(4,2)
C.(2,-4)
D.(-2,-4)
9.如图,在矩形ABCD中,DE平分∠ADC交BC于点E,EF⊥AD交AD于点F,若EF=3,AE=5,则AD等于( )
A.5
B.6
C.7
D.8
10.如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形,若直线AB将它分成面积相等的两部分,则x的值是( )
A.1或9
B.3或5
C.4或6
D.3或6
二、填空题
11.如图,E、F是▱ABCD对角线BD上的两点,请你添加一个适当的条件:
__________,使四边形AECF是平行四边形.
12.如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1∶2的两部分,那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”,称该边为“协调边”.当“协调边”为3时,它的周长为________.
13.如图,四边形ABCD的对角线互相垂直,且满足AO=CO,请你添加一个适当的条件____________________________,使四边形ABCD成为菱形(只需添加一个即可)
14.如图,正方形ABCD边长为3,连接AC,AE平分∠CAD,交BC的延长线于点E,FA⊥AE,交CB延长线于点F,则EF的长为__________.
15.四边形ABCD的对角线相交于O点,在下列条件中:
①AB=CD,BC=AD;②AC=BD,AB∥DC;③AB∥CD,BC∥AD;④AB∥DC,∠A=∠C;⑤∠A=∠C,∠B=∠D;⑥AO=CO,BO=DO;⑦AB=DC,∠A=∠C;能使四边形ABCD是平行四边形的是____________.(只填序号)
16.如图,在等边三角形ABC中,BC=6cm,射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动,点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动.如果点E、F同时出发,设运动时间为t(s)当t=__________s时,以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形.
17.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,作AE∥DC交BC于E.△ABE的周长是25cm,四边形ABCD的周长是37cm,那么AD=________cm.
18.如图在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,请你添加一个条件__________,使四边形BECF是正方形.
19.如图,在△ABC中,AB=6,BC=8,AC=4,D、E、F分别为BC、AC、AB中点,连接DE、FE,则四边形BDEF的周长是________.
20.如图,在平行四边形ABCD中,AC、BD相交于O,请添加一个条件____________________,可得平行四边形ABCD是矩形.
三、解答题
21.
(1)如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点D作DP∥OC,且DP=OC,连接CP,判断四边形CODP的形状并说明理由.
(2)如果题目中的矩形变为菱形,结论应变为什么?
说明理由.
(3)如果题目中的矩形变为正方形,结论又应变为什么?
说明理由.
22.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BC上,点F在AD上,BE=DF,求证:
AE=CF.
23.如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD,连接BF.
(1)求证:
D是BC的中点.
(2)如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.
24.四边形ABCD是正方形,E、F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE、AF、EF.
(1)求证:
△ADE≌△ABF;
(2)若BC=8,DE=6,求△AEF的面积.
25.如图,在矩形ABCD中,AB=24cm,BC=8cm,点P从A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度移动,点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到达D时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t(s).当t为何值时,四边形QPBC为矩形?
26.已知:
如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P.
(1)求证:
AP=BQ;
(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长.
27.如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、DC上的点,且AE=CF,求证:
(1)证明△ADE≌△CBF;
(2)当∠DEB=90°时,试说明四边形DEBF为矩形.
28.如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在OA,OC上
(1)给出以下条件;①OB=OD,②∠1=∠2,③OE=OF,请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO;
(2)在
(1)条件中你所选条件的前提下,添加AE=CF,求证:
四边形ABCD是平行四边形.
答案解析
1.【答案】B
【解析】设运动时间为t秒,则CP=12-3t,BQ=t,
根据题意得到12-3t=t,
解得t=3,
故选B.
2.【答案】B
【解析】根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是:
四边相等的四边形是菱形,
理由如下:
∵根据题意得:
AB=AC=CD=BD,
∴四边形ABDC是菱形,
故选B.
3.【答案】B
【解析】如题图,∵∠AFC=90°,AE=CE,AC=20,
∴EF=
AC=10,
又DF=4,
∴DE=4+10=14;
∵D,E分别是AB,AC的中点,
∴DE为△ABC的中位线,
∴BC=2DE=28,
故选B.
4.【答案】B
【解析】∵AC⊥BD,四边形ABCD是平行四边形,
∴平行四边形ABCD是菱形,不能推出四边形ABCD是矩形,∴①错误;
∵四边形ABCD是平行四边形,∠BAD=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形,∴②正确;
∵AB=BC,四边形ABCD是平行四边形,
∴平行四边形ABCD是菱形,不能推出四边形ABCD是矩形,∴③错误;
∵四边形ABCD是平行四边形,AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形,∴④正确;
即正确的有②④.
故选B.
5.【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA,AC⊥BD,
∵菱形ABCD的周长为20,
∴AD=5,
又∵点H是AD中点,
则OH=
AD=
×5=
,
故选B.
6.【答案】C
【解析】A.∵FG⊥l2于点E,
∴l1与l2两平行线间的距离就是线段FG的长度,故本选项正确;
B.∵l1∥l2,CE⊥l2于点E,FG⊥l2于点G,
∴四边形CEGF是平行四边形,
∴CE=FG,故本选项正确;
C.∵CE⊥l2于点E,
∴l1与l2两平行线间的距离就是线段CE的长度,故本选项错误;
D.∵l1∥l2,AB∥CD,
∴四边形ABDC是平行四边形,
∴AC=BD,故本选项正确;
故选C.
7.【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形,
∵AC⊥BD,DO=OB,∠DAO=∠BAO=25°,
∴∠ABO=90°-∠BAO=65°,
∵DH⊥AB,
∴∠DHB=90°,
∴∠BDH=90°-ABO=25°,
在Rt△DHB中,∵OD=OB,
∴OH=OD=OB,
∴∠DHO=∠HDB=25°,
故选B.
8.【答案】A
【解析】如图所示:
∵四边形ABCD是平行四边形,对角线交于原点O,
∴点A与点C关于原点O对称,
∵点A(-4,2),
∴点C(4,-2).
故选A.
9.【答案】C
【解析】∵矩形ABCD,
∴∠ADC=90°,
∵EF⊥AD,
∴EF∥CD,
∴∠FED=∠EDC,
∵DE平分∠ADC,
∴∠FDE=∠EDC,
∴∠FED=∠FDE,
∴DF=EF=3,
∵EF⊥AD,
∴∠AFE=90°,
∵AE=5,EF=3,
由勾股定理得AF=4,
∴AD=AF+DF=3+4=7.
故选C.
10.【答案】D
【解析】如图,
∵若直线AB将它分成面积相等的两部分,
∴
×(6+9+x)×9-x·(9-x)=
×(6+9+x)×9-6×3,
解得x=3,或x=6,
故选D.
11.【答案】BE=DF
【解析】添加的条件是BE=DF,
理由是:
连接AC交BD于O,
∵平行四边形ABCD,
∴OA=OC,OB=OD,
∵BE=DF,
∴OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形.
12.【答案】8或10
【解析】如图所示:
①当AE=1,DE=2时,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=3,AB=CD,AD∥BC,
∴∠AEB=∠CBE,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AB=AE=1,
∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=8;
②当AE=2,DE=1时,
同理得:
AB=AE=2,
∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=10.
13.【答案】AC、BD互相平分(答案不唯一)
【解析】四边形ABCD中,AC、BD互相垂直,
若四边形ABCD是菱形,需添加的条件是
AC、BD互相平分.
14.【答案】6
【解析】∵四边形ABCD为正方形,且边长为3,
∴AC=3
,
∵AE平分∠CAD,
∴∠CAE=∠DAE,
∵AD∥CE,
∴∠DAE=∠E,
∴∠CAE=∠E,
∴CE=CA=3
,
∵FA⊥AE,
∴∠FAC+∠CAE=90°,∠F+∠E=90°,
∴∠FAC=∠F,
∴CF=AC=3
,
∴EF=CF+CE=3
+3
=6
,
15.【答案】①③④⑤⑥
【解析】根据平行四边形的判定可得:
①③④⑤⑥能使四边形ABCD是平行四边形,
16.【答案】2或6
【解析】①当点F在C的左侧时,根据题意得AE=tcm,BF=2tcm,
则CF=BC-BF=6-2t(cm),
∵AG∥BC,
∴当AE=CF时,四边形AECF是平行四边形,
即t=6-2t,
解得t=2;
②当点F在C的右侧时,根据题意得AE=tcm,BF=2tcm,
则CF=BF-BC=2t-6(cm),
∵AG∥BC,
∴当AE=CF时,四边形AEFC是平行四边形,
即t=2t-6,
解得t=6;
综上可得:
当t=2或6s时,以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形.
17.【答案】12
【解析】∵AD∥BC,AE∥DC,
∴四边形AECD是平行四边形,
∴AE=CD,AD=EC,
又∵△ABE的周长=AB+BE+AE=13cm,
梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=37cm,
∴AD=
(梯形ABCD的周长-△ABE的周长)=12cm.
18.【答案】AC=BC
【解析】添加条件:
AC=BC.理由如下:
∵EF垂直平分BC,
∴BE=EC,BF=CF,
∵BF=BE,
∴BE=EC=CF=BF,
∴四边形BECF是菱形;
当BC=AC时,
∵∠ACB=90°,
则∠A=45°时,菱形BECF是正方形.
∵∠A=45°,∠ACB=90°,
∴∠EBC=45°
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°
∴菱形BECF是正方形.
19.【答案】14
【解析】∵D、E分别为BC、AC中点,
∴DE=
AB=3,DE∥AB,
∵E、F分别为AC、AB中点,
∴EF=
BC=4,EF∥BC,
∴平行四边形BDEF的周长为2×(3+4)=14.
20.【答案】AC=BD或∠ABC=90°
【解析】若使▱ABCD变为矩形,可添加的条件是:
AC=BD;(对角线相等的平行四边形是矩形),∠ABC=90°等(有一个角是直角的平行四边形是矩形),
故答案为任意写出一个正确答案即可,如AC=BD或∠ABC=90°.
21.【答案】解
(1)四边形CODP的形状是菱形,
理由:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,OA=OC=
AC,OB=OD=
BD,
∴OC=OD,
∵DP∥OC,DP=OC,
∴四边形CODP是平行四边形,
∵OC=OD,
∴平行四边形CODP是菱形;
(2)四边形CODP的形状是矩形,
理由:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∴∠DOC=90°,
∵DP∥OC,DP=OC,
∴四边形CODP是平行四边形,
∵∠DOC=90°,
∴平行四边形CODP是矩形;
(3)四边形CODP的形状是正方形,
理由:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OC=
AC,OB=OD=
BD,
∴∠DOC=90°,OD=OC,
∵DP∥OC,DP=OC,
∴四边形CODP是平行四边形,
∵∠DOC=90°,OD=OC
∴平行四边形CODP是正方形.
【解析】
(1)根据矩形的性质得出OD=OC,根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形,根据菱形的判定推出即可;
(2)根据菱形的性质得出∠DOC=90°,根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形,根据矩形的判定推出即可;
(3)根据正方形的性质得出OD=OC,∠DOC=90°,根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形,根据正方形的判定推出即可;
22.【答案】证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,且AD=BC,
∴AF∥EC,
∵BE=DF,
∴AF=EC,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴AE=CF.
【解析】根据平行四边形性质得出AD∥BC,且AD=BC,推出AF∥EC,AF=EC,根据平行四边形的判定推出四边形AECF是平行四边形,即可得出结论.
23.【答案】
(1)证明 ∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DCE,
∵E是AD的中点,
∴AE=DE.
∵∠AEF=∠DEC,
∴△AEF≌△DEC.
∴AF=DC,
∵AF=BD,
∴BD=CD,
∴D是BC的中点;
(2)解四边形AFBD是矩形,
证明:
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∵AF=BD,AF∥BC,
∴四边形AFBD是平行四边形,
∴四边形AFBD是矩形.
【解析】
(1)因为AF∥BC,E为AD的中点,即可根据AAS证明△AEF≌△DEC,故有BD=DC;
(2)可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定.
24.【答案】
(1)证明 ∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠D=∠ABC=90°,
而F是CB的延长线上的点,
∴∠ABF=90°,
在△ADE和△ABF中,
∴△ADE≌△ABF(SAS);
(2)解 ∵BC=8,
∴AD=8,
在Rt△ADE中,DE=6,AD=8,
∴AE=
=10,
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点,按顺时针方向旋转90°得到,
∴AE=AF,∠EAF=90°,
∴△AEF的面积=
AE2=
×100=50.
【解析】
(1)根据正方形的性质得AD=AB,∠D=∠ABC=90°,然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF;
(2)先利用勾股定理可计算出AE=10,再根据△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点,按顺时针方向旋转90°得到AE=AF,∠EAF=90°,然后根据直角三角形的面积公式计算即可.
25.【答案】解 根据题意得:
CQ=2t,AP=4t,
则BP=24-4t,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=90°,CD∥AB,
∴只有CQ=BP时,四边形QPBC是矩形,
即2t=24-4t,
解得t=4,
答:
当t=4s时,四边形QPBC是矩形.
【解析】求出CQ=2t,AP=4t,BP=24-4t,由已知推出∠B=∠C=90°,CD∥AB,推出CQ=BP时,四边形QPBC是矩形,得出方程2t=24-4t,求出即可.
26.【答案】解
(1)∵正方形ABCD,
∴AD=BA,∠BAD=90°,即∠BAQ+∠DAP=90°,
∵DP⊥AQ,
∴∠ADP+∠DAP=90°,
∴∠BAQ=∠ADP,
∵AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P,
∴∠AQB=∠DPA=90°,
∴△AQB≌△DPA(AAS),
∴AP=BQ;
(2)①AQ-AP=PQ,
②AQ-BQ=PQ,
③DP-AP=PQ,
④DP-BQ=PQ,
【解析】
(1)根据正方形的性质得出AD=BA,∠BAQ=∠ADP,再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA,判定△AQB≌△DPA并得出结论;
(2)根据AQ-AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析.
27.【答案】证明
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,∠A=∠C,
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∵AE=CF,
∴BE=DF,
∴四边形DEBF是平行四边形,
∵∠DEB=90°,
∴四边形DEBF是矩形.
【解析】
(1)利用平行四边形的性质,根据SAS即可证明.
(2)首先证明四边形DEBF是矩形,由∠DEB=90°,即可推出四边形DEBF是矩形.
28.【答案】证明
(1)选取①②,
∵在△BEO和△DFO中,
∴△BEO≌△DFO(ASA);
(2)由
(1)得:
△BEO≌△DFO,
∴EO=FO,BO=DO,
∵AE=CF,
∴AO=CO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
【解析】
(1)选取①②,利用ASA判定△BEO≌△DFO即可;
(2)根据△BEO≌△DFO可得EO=FO,BO=DO,再根据等式的性质可得AO=CO,根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论.