一平面曲线的整体性质.docx
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一平面曲线的整体性质
第四章 整体微分几何初步
一 平面曲线的整体性质
1旋转数
（1）主要概念
逐段光滑的平面曲线、角点、正常点、正规曲线、平面正规闭曲线的周期、简单曲线、切映射、旋转数。
（2）主要性质和公式
给出平面曲线
，
，它的曲率是:
设
是
轴的正向与曲线
在点
的切线的夹角，则:
设
是逐段光滑的正规受益者曲线，定义它的旋转数是
＋
其中
是
角点
处的外角。
＝
。
旋转数定理 如果
为平面上正规的、简单的闭曲线，则它的旋转数为
。
2凸曲线
（1）主要概念 凸曲线
（2）主要性质
引理 设
，
是平面上简单的、正规的、闭曲线，如果存在一对自然参数
和
使得
，则
在
上的部分是直线段。
推理 平面上简单的、正规的、闭凸曲线的旋转角
是单调的。
凸曲线的判定定理 平面上简单的、正规的闭曲线是凸的必要和充分条件是：
曲率函数
不变号。
3等周不等式
主要公式
等周不等式：
设平面曲线
是周长为
的简单的、正规闭曲线，
是
所包围区域的面积，则有
其中等号当且仅当
是圆周时成立。
4四顶点定理
（1）主要概念：
卵珙线、顶点。
（2）主要性质
四顶点定理：
一条卵形线至少的四个顶点。
5等宽曲线
（1）要概念：
相对点、等宽曲线
（2）要性质
等宽曲线定理：
如果平面曲线
是等宽的卵形线宽度为
，则
的长度是
。
6平面曲线上的
公式
主要公式
设平面直线的方程是
。
则平面上全体直线
所组成的空间的参数为
。
公式 平面上与
相交的直线集为
。
设直线
与
相交于
个点，则有公式
，其中
是集
的面积元素，
是
曲线的长度。
二 空间曲线的整体性质
1
定理
（1）主要概念：
空间曲线的切映射、全曲线
（2）主要性质和公式
定理：
对于一条空间简单的、正规的闭曲线
，
，设它的曲率为
，则它的全曲线为
其中等号当且仅当
是平面简单、正规、凸闭曲线时成立。
推论 设
是逐段正规的，它的每一角点的外角是
，则有
2球面上的
公式
（1）主要概念：
球面上定向大圆的极点、球面上和定向大加圆集的测度
（2）主要性质和公式
球面上的
公式 设
是球面
上的定向大圆
的极点，
是
上的一条曲线，命
则有
其中
是定向大圆
与
曲线相交点的个数，
是极点所构成的子集的面积元素。
3
定理
（1）主要概念 打结和不打结的空间曲线，打结的又称为挠的
（2）主要性质和公式
定理 设曲线
，
是一条打结的、简单的、正规挠闭曲线，则它的全曲率
。
4闭曲线的全挠率
（1）主要概念
给出一条空间曲线
，
，
是它的挠率，则
的全挠率是
（2）主要性质
定理 球面上的正规闭曲线的全挠率为0。
三 曲面的整体性质
1曲面的整体定义
主要概念
简单曲面、
类曲面、坐标域、坐标函数、图册
2曲面的一般性质
（1）主要概念
曲面的定向性：
如果曲面的坐标域之间的坐标变换的
行列式恒大于0，这时，我们说：
曲面是可定向的。
显然，定向性质是曲面的整体性质。
曲面的紧致性：
如果曲面的任何一个坐标图册都是可以只包括有限个人体坐标域，则这种特殊的曲面称为紧致曲面。
等价定义：
曲面的任何一个开覆盖，都有有限的子覆盖。
曲面是紧致的当且仅当它是
中的有界闭集。
曲面的连通性：
中的曲面是连通的，如果它是
中的连通子集，即不能表示成互不相交的开子集的并集。
（2）主要性质
定理1 设
是
中的紧致曲面，则存在一点
使得
在这一点的高斯曲率
推论1 在
中不可能存在
处处成立的紧致曲面。
推论2 在
中不可能存在紧致的极小曲面。
定理2
中的曲面是连通的必要和充分条件是：
它是弧连通的。
即对于曲面上任意两点，总存在曲面上联结它们的连续曲线。
3卵形面
（1）主要概念
凸曲面、卵形面、
曲面、椭圆型的
曲面，曲面的刚性，无边缘曲面
（2）主要性质和公式
定理 设
是
中的定向、紧致、无边缘的凸曲面，则高斯映射是一一的和在上的。
推论 卵形面一定在它上每一点切平面的同一侧。
引理 如果紧致、连通曲面的每一点都是脐点，则此曲面是球面。
推论1 紧致的、凸的常平均曲率面是球面。
推论2 紧致的、凸的常高斯曲率是球面。
积分公式 设
是
中的紧致曲面，它的高斯曲率是
，平均曲率是
，若函数
是原点到曲面上
点的切平面的距离，则有下列积分公式
，
。
定理 两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个映射一定是
中的合同或对称。
定理 给出单位球面
和两个卵形面
和
，考虑高斯映射
和
，如果
＝
，
，
则
和
合同或对称。
4完备曲面
（1）主要概念：
指数映射、测地完备曲面、曲面上的距离、完备曲面
（2）主要性质
定理 如果曲面是测地完备的，则对于
上任意两点
和
，连接
和
的长度最短的曲线是测地线。
定理 对于曲面
来说，下面三条件是等价的：
是完备度量空间；
是测地完备的曲面；
的每一个有界子集的闭包是紧致的。
四 紧致曲面的高斯－波涅公式和欧拉示性数
1紧致曲面的三角剖分
主要概念 曲面上的三角形、曲面的三角割分、曲面剖分后三角形的定向
2紧致曲面的欧拉示性数
紧致曲面
三角剖分后，所有三角形构成一个多面体。
设此多面体的面数为
，棱数为
，顶点数为
，则定义紧致曲面
的欧拉示性数为：
。
3紧致定向曲面的亏格
（1）要概念 亏格
（2）主要性质
命题 亏格数为
和紧致曲面的欧拉示性数是
4紧致曲面的高斯－波涅公式
主要公式：
高斯－波涅公式 设
是
中的紧致曲面，则有:
推论 设
是亏格数
的紧致曲面，则有：
.
5紧致曲面上的向量场
（1）主要概念
紧致曲面的光滑向量场、向量场的奇点和孤立奇点、向量场孤立奇点的指标
（2）主要公式
给出
中的曲面
，在它的一个坐标域
内，曲面的方程是
，则在
内向量场
的坐标表示
＋
对于另一个坐标域
，曲纹坐标是
，则在
上有坐标变换
，
，
而且
，
＋
＝
＋
。
然而
＋
，
＋
所以
＝
＋
＝
＋
设
是紧致曲面
上的一向量场，
是它的孤立奇点，
是
上围绕
点的一条简单的、闭的、逐段光滑的曲线，使得它包围的曲面域
内除了
点外没有的其它奇点，再设
是
中没有奇点的单位向量场，则定义
在奇点
处的指标为
＝
其中
表示有向角
沿曲线
的变化。
命
是
中和紧致曲面，
是定义
上，仅有有限个孤立奇点和向量场，则
的总指标定义为
＝
。
命题 如果
和
是定义在紧致曲面
上的仅有有限个 奇点的向量场，则
。
定理 设
是
中的紧致曲面，
是
上一个仅有有限个奇点的向量场，则
。
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