101 1011 有限样本空间与随机事件.docx
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1011011有限样本空间与随机事件
第十章 概 率
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
概率论起源于15世纪中叶，尽管任何一个数学分支的产生与发展都不外乎是社会生产、科学技术自身发展的推动，然而概率论的产生，却肇始于所谓的“赌金分配问题”.1494年意大利数学家帕西奥尼（1445～1509）出版了一本有关算术技术的书.书中叙述了这样的一个问题：
在一场赌博中，某一方先胜6局便算赢家，那么，当甲方胜了4局，乙方胜了3局的情况下，因出现意外，赌局被中断，无法继续，此时，赌金应该如何分配？
帕西奥尼的答案是：
应当按照4∶3的比例把赌金分给双方，当时，许多人都认为帕西奥尼的分法不是那么公平合理.因为，已胜了4局的一方只要再胜2局就可以拿走全部的赌金，而另一方则需要胜3局，并且至少有2局必须连胜，这样要困难得多.但是，人们又找不到更好的解决方法.在这以后100多年中，先后有多位数学家研究过这个问题，但均未得到过正确的答案.直到1654年一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向当时法国数学家帕斯卡请教“赌金分配问题”，帕斯卡接受了这些问题，他没有立即回答，而把它交给另一位法国数学家费尔马.他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究，并分别用了自己的方法独立而又正确地解决了这个问题，后来荷兰数学家惠更斯（1629～1695）也参加了这场讨论，并写出了关于概率论的第一篇正式论文《赌博中的推理》.帕斯卡、费马、惠更斯一起被誉为概率论的创始人.时至今日，概率论已经在各行各业中得到了广泛的应用，发展成为一门极其重要的数学学科.
[读图探新]——发现现象背后的知识
据《西墅记》所载，唐明皇与杨贵妃掷骰子戏娱，唐明皇的战况不佳，只有让六颗骰子中的两颗骰子同时出现“四”才能转败为胜.于是唐明皇一面举骰投掷，一面连呼“重四”.骰子停定，正好重四.唐明皇大悦，命令高力士将骰子的四点涂为红色，红色通常是不能乱用的.因此直到今天，骰子的幺、四两面为红色，其余四面都是黑色.
问题：
您能算出唐明皇转败为胜的概率是多少吗？
若同时掷两颗骰子，朝上的点数有多少种不同的结果，你能写出对应的样本空间吗？
点数之和不大于7这一事件包含哪几个样本点？
你能求出对应事件的概率吗？
这个事件对应的概率是什么类型的概率？
求解此类概型的概率的方法是什么？
链接：
同时掷两颗不同的骰子，朝上的点数有36种不同的结果，这个试验的样本点空间Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}.
“点数之和不大于7”这一事件，包含21个样本点：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（6，1）.
对应的概率为p＝
＝
，此概率类型为古典概型，求解古典概型的公式是p＝
.
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
课标要求
素养要求
结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.
能够在实际问题中抽象出随机现象与随机事件的概念，能够用样本空间去解释相关问题，发展数学抽象及逻辑推理素养.
教材知识探究
观察几幅图片：
事件一：
常温下石头在一天内被风化.
事件二：
木柴燃烧产生热量.
事件三：
射击运动员射击一次中十环.
问题 以上三个事件一定会发生吗？
提示 事件一在常温下不可能发生，是不可能事件；事件二一定发生，是必然事件；事件三可能发生，也可能不发生，是随机事件.
1.随机试验
（1）对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.
（2）研究具有以下特点的随机试验：
①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
2.样本空间
把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.
3.随机事件、必然事件、不可能事件
（1）一般地，随机试验中每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，把样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为样本点，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
（2）Ω作为自身的子集，包含了所有样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为必然事件.
（3）空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称为不可能事件.
教材拓展补遗
[微判断]
判断下列事件是否为随机事件.
（1）长度为3，4，5的三条线段可以构成一个三角形.（×）
（2）长度为2，3，4的三条线段可以构成一直角三角形.（×）
（3）方程x2＋2x＋3＝0有两个不相等的实根.（×）
（4）函数y＝logax（a>0且a≠1）在定义域上为增函数.（√）
提示
（1）为必然事件，
（2），（3）为不可能事件.
[微训练]
1.下列事件是不可能事件的是（ ）
A.2022年世界杯足球赛期间不下雨
B.没有水，种子发芽
C.对任意x∈R，有x＋1>2x
D.抛掷一枚硬币，正面朝上
解析 A，C，D是随机事件，B是不可能事件.
答案 B
2.下面的事件：
①在标准大气压下，水加热90℃时会沸腾；②从标有1，2，3的小球中任取一球，得2号球；③a>1，则y＝ax是增函数，是必然事件的有________（填序号）.
解析 根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义可知，①为不可能事件，②为随机事件，③为必然事件.
答案 ③
3.一个盒子中装有8个完全相同的球，分别标上号码1，2，3，…，8，从中任取一个球，写出样本点空间________.
解析 记取得球的标号为i，则Ω＝{1，2，3，…，8}.
答案 Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}
[微思考]
1.事件的分类是确定的吗？
提示 事件的分类是相对于条件来讲的，在条件变化时，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化.
2.必然事件与不可能事件具有随机性吗？
提示 必然事件与不可能事件不具有随机性.为了统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.
题型一 事件类型的判断
【例1】 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
（1）某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
（2）三角形的内角和为180°；
（3）没有空气和水，人类可以生存下去；
（4）同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
（5）从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
（6）科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现.
解
（1）购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件.
（2）所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件.
（3）空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件.
（4）同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件.
（5）任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任一张，所以是随机事件.
（6）由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件.
规律方法 判断一个事件是哪类事件的方法
判断一个事件是哪类事件要看两点：
一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.
【训练1】 下列事件不是随机事件的是（ ）
A.东边日出西边雨
B.下雪不冷化雪冷
C.清明时节雨纷纷
D.梅子黄时日日晴
解析 B是必然事件，其余都是随机事件.
答案 B
题型二 样本空间的求法
要列出试验发生的所有可能情况，通常使用的方法有：
列举法、列表法、树状图法等
【例2】 下列随机事件中，一次试验各指什么？
试写出试验的样本空间.
（1）先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次；
（2）从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素.
解
（1）一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的样本空间为：
{（正，反），（正，正），（反，反），（反，正）}.
（2）一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合”，试验的样本空间为：
{（a，b，c），（a，b，d），（a，c，d），（b，c，d）}.
【迁移】 （变条件）若例2
（2）中的问法改为任取2个元素呢？
解 一次试验是指“从集合A中一次选取2个元素”，试验的样本空间为{（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}.
规律方法 不重不漏地列举试验的所有样本点的方法
（1）结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件.
（2）根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树状图、列表等方法解决.
【训练2】 袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和样本空间.
（1）从中任取1球；
（2）从中任取2球.
解
（1）条件为：
从袋中任取1球.样本空间为{红，白，黄，黑}.
（2）条件为：
从袋中任取2球.若记（红，白）表示一次试验中，取出的是红球与白球，样本空间为{（红，白），（红，黄），（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黄，黑）}.
题型三 随机事件的含义
列举样本点时，要按一定的次序一一列举才能保证所列举的结果没有重复，也没有遗漏
【例3】 做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数.写出：
（1）这个试验的样本空间；
（2）这个试验的结果的个数；
（3）指出事件A＝{（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}的含义.
解
（1）这个试验的样本空间Ω为
{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}.
（2）这个试验的结果的个数为36.
（3）事件A的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7.
规律方法 解决此类问题的关键是根据给出事件的样本点的特征，写出相应事件的含义.
【训练3】 根据例3中的样本空间Ω，写出“出现点数之和大于8”的所有样本点，并指出事件B＝{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）}的含义.
解 事件“出现的点数之和大于8”的所有结果为（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）.
事件B的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数相同.
一、素养落地
1.通过具体实例理解随机事件、样本点、样本空间的含义，提升数学抽象素养，通过在实际问题中写出具体的样本空间、样本点培养逻辑推理素养.
2.辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生（必然事件），还是不一定发生（随机事件），还是一定不发生（不可能事件）.
3.在书写样本空间时，一般按顺序书写做到不重不漏.
二、素养训练
1.下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①在学校运动会上，学生张涛获得100m短跑冠军；
②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；
③在标准大气压下，水在4℃时结冰.
A.1B.2C.3D.0
解析 在①中，在学校运动会上，学生张涛获得100m短跑冠军，是随机事件；在②中，在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯，是随机事件；在③中，在标准大气压下，水在4℃时结冰是不可能事件.
答案 B
2.一个家庭有两个小孩，则随机事件的样本空间Ω是（ ）
A.{（男，女），（男，男），（女，女）}
B.{（男，女），（女，男）}
C.{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}
D.{（男，男），（女，女）}
解析 两个小孩有大小之分，所以（男，女）与（女，男）是不同的样本点，故选C.
答案 C
3.从5个男生、2个女生中任选派3人，则下列事件中是必然事件的是（ ）
A.3个都是男生B.至少有1个男生
C.3个都是女生D.至少有1个女生
解析 由于只有2个女生，而要选派3人，故至少有1个男生.选B.
答案 B
4.先后两次掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数.
（1）写出对应的样本空间；
（2）用集合表示事件A：
点数之和为3，事件B：
点数之和不超过4.
解
（1）用（1，2）表示第一次掷出1点，第二次掷出2点，其他的样本点用类似的方法表示，则可知所有样本点均可表示成（i，j）的形式，其中i，j都是1，2，3，4，5，6中的数.
因此，样本空间Ω＝{（i，j）|1≤i≤6，1≤j≤6，i≤N，j∈N}.
（2）不难看出
A＝{（1，2），（2，1）}，
B＝{（1，3），（2，2），（3，1），（1，2），（2，1），（1，1）}.
基础达标
一、选择题
1.下面的事件：
①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当a>0时，关于x的方程x2＋a＝0在实数集内有解，其中是必然事件的有（ ）
A.①B.②C.③D.①②
解析 ①是必然事件；②是随机事件；③是不可能事件.故选A.
答案 A
2.100件产品中，95件正品，5件次品，从中抽取6件：
至少有1件正品；至少有3件是次品；6件都是次品；有2件次品、4件正品.以上四个事件中随机事件的个数是（ ）
A.3B.4C.2D.1
解析 100件产品中，95件正品，5件次品，从中抽取6件，在这个试验中：
至少有1件产品是正品为必然事件；至少有3件次品，有2件次品、4件正品为随机事件；6件都是次品为不可能事件，所以随机事件的个数是2.
答案 C
3.下列事件中随机事件的个数为（ ）
①明天是阴天；
②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；
③明年长江武汉段的最高水位是29.8m；
④一个三角形的大边对小角，小边对大角.
A.1B.2C.3D.4
解析 由题知①③为随机事件，故选B.
答案 B
4.先后抛掷均匀的一分、二分硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（ ）
A.“至少一枚硬币正面向上”
B.“只有一枚硬币正面向上”
C.“两枚硬币都是正面向上”
D.“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
解析 “至少一枚硬币正面向上”包括“1分向上，2分向下”、“1分向下，2分向上”，“1分、2分都向上”三个样本点，故选A.
答案 A
5.抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”表示的试验结果是（ ）
A.第一枚6点，第二枚2点
B.第一枚5点，第二枚1点
C.第一枚1点，第二枚6点
D.第一枚6点，第二枚1点
解析 连续抛掷两枚骰子，第一枚骰子和第二枚骰子点数之差是{X|－5≤X≤5，X∈Z}，则“X≥5”表示的试验结果是第一枚6点，第二枚1点.
答案 D
二、填空题
6.
（1）一批小麦种子发芽的概率是0.95是________事件；
（2）某人投篮3次，投中4次是________事件.
答案
（1）随机
（2）不可能
7.下面给出五个事件：
（1）某地2月3日将下雪；
（2）函数y＝ax（a>0且a≠1）在定义域上是增函数；（3）实数a，b都不为零，则a2＋b2＝0；（4）a，b∈R，则ab＝ba，其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________.
解析
（1）随机事件，某地在2月3日可能下雪，也可能不下雪；
（2）随机事件，函数y＝ax，当a>1时在定义域上是增函数，当0（3）不可能事件；
（4）必然事件，若a，b∈R，则ab＝ba恒成立.
答案 （4） （3）
（1）
（2）
8.在掷一颗骰子观察点数的试验中，若令A＝{2，4，6}，则用语言叙述事件A对应的含义为________.
答案 掷一颗骰子观察出现的点数为偶数
三、解答题
9.连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪几个基本事件？
解
（1）该试验的样本空间Ω＝{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，反，反），（反，反，正），（反，正，反），（反，正，正）}.
（2）“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）.
10.用X表示10次射击中命中目标的次数，分别说明下列集合所代表的随机事件的含义.
（1）A＝{X＝8}；
（2）B＝{1≤X≤9}；
（3）C＝{X≥1}；
（4）D＝{X<1}.
解
（1）A＝{X＝8}表示“恰有8次命中目标”；
（2）B＝{1≤X≤9}表示“命中目标次数为1到9次”；
（3）C＝{X≥1}表示“命中目标次数为1到10次”；
（4）D＝{X<1}表示“没有一次命中目标”.
能力提升
11.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取3面，事件“三面旗帜的颜色与号码均不相同”所包含的样本点的个数是________.
解析 “三面旗帜的颜色与号码均不相同”的样本点有（1红，2黄，3蓝）、（1红，2蓝，3黄）、（1黄，2红，3蓝）、（1黄，2蓝，3红）、（1蓝，2黄，3红）、（1蓝，2红，3黄），共6个.
答案 6
12.从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次.
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）设A为“取出的两件产品中恰有一件次品”，写出集合A；
（3）把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余条件不变，请继续回答上述两个问题.
解
（1）样本空间为Ω1＝{（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}.
（2）A＝{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}.
（3）若改为取出后放回，则样本空间为Ω2＝{（a1，a1），（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），（b1，b1）}，
A＝{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}.
创新猜想
13.（多选题）下列事件是随机事件的是（ ）
A.函数f（x）＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称
B.某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码
C.直线y＝kx＋6是定义在R上的增函数
D.若|a＋b|＝|a|＋|b|，则a，b同号
解析 A为必然事件；B，C，D为随机事件.对于D，当|a＋b|＝|a|＋|b|时，有两种可能：
一种可能是a，b同号，即ab>0，另外一种可能是a，b中至少有一个为0，即ab＝0.
答案 BCD
14.（开放题）从装有3个红球2个绿球的袋子中任取两个小球，请写出这一过程中的一个随机事件________.
答案 两个小球都是绿色（答案不唯一）
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