高三数学一轮总复习 第一章 集合与常用逻辑用语课时跟踪检测 文.docx

高三数学一轮总复习 第一章 集合与常用逻辑用语课时跟踪检测 文.docx

《高三数学一轮总复习 第一章 集合与常用逻辑用语课时跟踪检测 文.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮总复习 第一章 集合与常用逻辑用语课时跟踪检测 文.docx（51页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高三数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语课时跟踪检测文

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算

1．集合的含义与表示方法

（1）集合的含义：

研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的性质：

确定性、无序性、互异性．

（2）元素与集合的关系：

①属于，记为∈；②不属于，记为∉.

（3）集合的表示方法：

列举法、描述法和图示法．

（4）常用数集的记号：

自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R.

2．集合间的基本关系

　　表示

关系　　

文字语言

符号语言

记法

基本关系

子集

集合A的元素都是集合B的元素

x∈A⇒x∈B

A⊆B或B⊇A

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A

A⊆B，且∃x∈B，x∉A

AB或

BA

相等

集合A，B的元素完全相同

A⊆B，且B⊆A

A＝B

空集

不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集

∀x，x∉∅，∅⊆A

∅

3．集合的基本运算

　表示

运算　

文字语言

符号语言

图形语言

记法

交集

属于集合A且属于集合B的元素组成的集合

{x|x∈A，且x∈B}

A∩B

并集

属于集合A或属于集合B的元素组成的集合

{x|x∈A，或x∈B}

A∪B

续补集

全集U中不属于集合A的元素组成的集合

{x|x∈U，且x∉A}

∁UA

4．集合问题中的几个基本结论

（1）集合A是其本身的子集，即A⊆A；

（2）子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；

（3）运算性质

①A∩B＝B∩A，A∩B＝A⇔A⊆B.

②A∪B＝B∪A，A∪B＝B⇔A⊆B.

③∁S（∁SA）＝A，（∁SA）∪（∁SB）＝∁S（A∩B），（∁SA）∩（∁SB）＝∁S（A∪B）．

[小题体验]

1．（教材习题改编）下列关系中正确的序号为________．

①{0}＝∅；②0∈{0}；③∅{0}；④{0,1}⊆{（0,1）}；⑤{（a，b）}＝{（b，a）}．

解析：

由集合的有关概念易知②③正确．

答案：

②③

2．（教材习题改编）集合

，用列举法表示为________．

解析：

用列举法可知x可取0,1,2.

答案：

{0,1,2}

3．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩（∁UB）＝________.

答案：

{2,4}

4．集合{a，b}的所有子集为________．

答案：

{a}，{b}，{a，b}，∅

1．认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．

2．要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．

3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．

4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．

5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．

[小题纠偏]

1．若集合A＝{a＋1，a－1，a2－3}满足1∈A，则实数a的值为________．

解析：

若a＋1＝1，则a＝0，A＝{1，－1，－3}，满足；若a－1＝1，则a＝2，此时a2－3＝1，与集合的互异性矛盾，舍去；

若a2－3＝1，则a＝±2，a＝2舍去，当a＝－2时，A＝{－1，－3，1}，满足．

答案：

0或－2

2．已知集合M＝{x|y＝x2＋2x＋4}，N＝{y|y＝2x2＋2x＋3}，则M∩N＝________.

解析：

因为M＝R，N＝

，所以M∩N＝

.

答案：

3．集合A＝{x|x＝－y2＋6，x∈N，y∈N}的真子集的个数为________．

解析：

当y＝0时，x＝6；当y＝1时，x＝5；当y＝2时，x＝2；当y≥3时，x∉N，故集合A＝{2,5,6}，共含有3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7.

答案：

7

[题组练透]

1．（易错题）已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{（x，y）|x∈A，y∈A}中元素的个数为________．

解析：

集合B中元素有（1,1），（1,2），（1,4），（2,1），（2,2），（2,4），（4,1），（4,2），（4,4），共9个．

答案：

9

2．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________．

解析：

∵A＝∅，∴方程ax2－3x＋2＝0无实根，当a＝0时，

x＝

不合题意，当a≠0时，Δ＝9－8a<0，∴a>

.

答案：

3．（易错题）已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

解析：

由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－

，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－

时，m＋2＝

，而2m2＋m＝3，故m＝－

.

答案：

－

[谨记通法]

与集合中的元素有关问题的求解策略

（1）确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．如“题组练透”第1题．

（2）看这些元素满足什么限制条件．

（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．如“题组练透”第3题易忽视．

（重点保分型考点——师生共研）

[典例引领]

1．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

解析：

当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.

当B≠∅时，若B⊆A，如图．

则

解得2

综上，实数m的取值范围为（－∞，4]．

答案：

（－∞，4]

2．（2016·苏州四市调研）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．

解析：

由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．

由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．

答案：

4

3．集合A＝{0,1，x}，B＝{x2，y，－1}，若A＝B，则y＝________.

解析：

因为A＝{0,1，x}，B＝{x2，y，－1}，且A＝B，所以x＝－1，此时集合A＝{0,1，－1}，B＝{1，y，－1}，所以y＝0.

答案：

0

[由题悟法]

集合间基本关系的两种判定方法和一个关键

[即时应用]

1．已知集合A＝{x|2a－2

解析：

∁RB＝{x|x≤1或x≥2}．

（1）当A＝∅时，2a－2≥a，解得a≥2；

（2）当A≠∅时，由A∁RB，得

或

解得a≤1.

综上可知，实数a的取值范围为（－∞，1]∪[2，＋∞）．

答案：

（－∞，1]∪[2，＋∞）

2．已知集合A＝{x|x2－2x＋a＝0}，B＝{1,2}，且A⊆B，求实数a的取值范围．

解：

若A＝∅，则Δ＝4－4a<0，解得a>1；

若A≠∅，则A＝{1}或{2}或{1,2}；

若A中只有一个元素，则Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.当a＝1时，A＝{1}，满足；

若A中有两个元素，则A＝{1,2}，则

无解．

综上可知，实数a的取值范围为[1，＋∞）．

（常考常新型考点——多角探明）

[命题分析]

集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．

常见的命题角度有：

（1）求交集或并集；

（2）交、并、补的混合运算；

（3）新定义集合问题．

[题点全练]

角度一：

求交集或并集

1．（2014·江苏高考）已知集合A＝{－2，－1,3,4}，B＝{－1,2,3}，则A∩B＝________.

解析：

A∩B＝{－2，－1,3,4}∩{－1,2,3}＝{－1,3}．

答案：

{－1,3}

2．（2016·兰州诊断）已知集合A＝{x||x|<1}，B＝{x|2x>1}，则A∩B＝________，A∪B＝________.

解析：

由|x|<1，得－1

又由2x>1，解得x>0，所以B＝{x|x>0}．

所以A∩B＝{x|0－1}．

答案：

{x|0－1}

角度二：

交、并、补的混合运算

3．设A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，且A∩B＝{2}．

（1）求实数a的值以及集合A，B；

（2）设全集U＝A∪B，求（∁UA）∪（∁UB）．

解：

（1）由题意可知，2∈A,2∈B，将x＝2代入集合A中得，8＋2a＋2＝0，解得a＝－5.则A＝{x|2x2－5x＋2＝0}＝

，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．

（2）U＝A∪B＝

，∁UA＝{－5}，∁UB＝

，所以（∁UA）∪（∁UB）＝

.

角度三：

新定义集合问题

4．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为________．

解析：

要使x－y∈A，当x＝5时，y可取1,2,3,4；

当x＝4时，y可取1,2,3；

当x＝3时，y可取1,2；

当x＝2时，y可取1.综上共有10个．

答案：

10

5．（2015·启东模拟）对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M⊕N＝（M－N）∪（N－M），设A＝

，B＝{x|x<0，x∈R}，则A⊕B＝___________.

解析：

依题意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝

，故A⊕B＝

∪[0，＋∞）．

答案：

∪[0，＋∞）

[方法归纳]

解集合运算问题4个注意点

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．设集合M＝{x|x＋1>0}，N＝{x|x－2<0}，则M∩N＝________.

解析：

因为M＝{x|x＋1>0}＝{x|x>－1}，N＝{x|x－2<0}＝{x|x<2}，所以M∩N＝（－1,2）．

答案：

（－1,2）

2．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3,4}，N＝{4,5}，则∁U（M∪N）＝________.

解析：

∵M＝{2,3,4}，N＝{4,5}，

∴M∪N＝{2,3,4,5}，则∁U（M∪N）＝{1,6}．

答案：

{1,6}

3．（2015·陕西高考改编）设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝________.

解析：

M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lgx≤0}＝{x|0＜x≤1}，M∪N＝[0,1]．

答案：

[0,1]

4．已知集合A＝{（x，y）|y＝x2，x∈R}，B＝{（x，y）|y＝|x|，x∈R}，则A∩B中的元素个数为________．

解析：

由题意联立方程组

消去y得x2＝|x|，两边平方，解得x＝0或x＝－1或x＝1，相应的y值分别为0,1,1，故A∩B中的元素个数为3.

答案：

3

5．（2016·海安实验中学检测）已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪（∁RB）＝________.

解析：

∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x<0}＝{x|0

答案：

（－∞，1]∪[2，＋∞）

二保高考，全练题型做到高考达标

1．已知集合A＝

，则集合A中的元素个数为________．

解析：

∵

∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3，

又∵x∈Z，∴x值分别为5,3,1，－1，

故集合A中的元素个数为4.

答案：

4

2．（2016·南通中学月考）已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为________．

解析：

由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个．

答案：

4

3．设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩（∁RB）＝______________.

解析：

由题意知，A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}，

∵B＝{x|－1＜x≤5}，∴∁RB＝{x|x≤－1或x＞5}．

∴A∩（∁RB）＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x≤－1或x＞5}＝{x|－3＜x≤－1}．

答案：

{x|－3＜x≤－1}

4．已知集合A＝{x|x2<3x＋4，x∈R}，则A∩Z中元素的个数为________．

解析：

由x2<3x＋4，得－1

答案：

4

5.设全集U＝R，A＝{x|2x（x－2）<1}，B＝{x|y＝ln（1－x）}，则图中阴影部分表示的集合为________．

解析：

由2x（x－2）<1得x（x－2）<0，解得00，得x<1.图中阴影部分表示的集合为A∩∁UB.因为∁UB＝[1，＋∞），画出数轴，如图所示，所以A∩∁UB＝[1,2）．

答案：

[1,2）

6．已知集合M＝{（x，y）|y＝x2＋2x＋4}，N＝{（x，y）|y＝2x2＋2x＋3}，则M∩N＝________.

解析：

由题可知，

解得

或

所以M∩N＝{（1,7），（－1,3）}．

答案：

{（1,7），（－1,3）}

7．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值为________．

解析：

由题意A＝{1,2}，当B≠∅时，

∵B⊆A，∴B＝{1}或{2}，

当B＝{1}时，a·1－2＝0，解得a＝2；

当B＝{2}时，a·2－2＝0，解得a＝1.

当B＝∅时，a＝0.故a的值为0或1或2.

答案：

0或1或2

8．（2016·贵阳监测）已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：

①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.则集合A＝________.（用列举法表示）

解析：

若a1∈A，则a2∈A，则由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，假设不成立；若a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，a1∉A，假设不成立，故集合A＝{a2，a3}．

答案：

{a2，a3}

9．已知集合A＝

，B＝{x|x2＋3x－a2－3a>0}．

（1）当a＝4时，求A∩B；

（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．

解：

（1）由题意可知A＝[－8，－4]，

当a＝4时，B＝（－∞，－7）∪（4，＋∞），

由数轴图得：

A∩B＝[－8，－7）．

（2）方程x2＋3x－a2－3a＝0的两根分别为a，－a－3，

①当a＝－a－3，即a＝－

时，B＝

∪

，满足A⊆B；

②当a<－

时，a<－a－3，B＝（－∞，a）∪（－a－3，＋∞），则a>－4或－a－3<－8，得－4

；

③当a>－

时，a>－a－3，B＝（－∞，－a－3）∪（a，＋∞），则a<－8或－a－3>－4得－

综上所述，实数a的取值范围是（－4,1）．

10．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．

（1）若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；

（2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．

解：

由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．

（1）因为A∩B＝[0,3]，所以

所以m＝2.

（2）∁RB＝{x|xm＋2}，

因为A⊆∁RB，所以m－2>3或m＋2<－1，

即m>5或m<－3.

因此实数m的取值范围是（－∞，－3）∪（5，＋∞）．

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．已知集合A＝{x|x2－2015x＋2014<0}，B＝{x|log2x

解析：

由x2－2015x＋2014<0，解得1

由log2x

答案：

11

2．（2016·无锡一中月考）设集合M＝{x|－2≤x≤5}，N＝{x|a＋1≤x≤2a－1}，若N⊆M，则实数a的取值范围是________．

解析：

当N＝∅时，a＋1>2a－1，解得a<2；

当N≠∅时，由N⊆M得，

解得2≤a≤3.

综上，实数a的取值范围是（－∞，3]．

答案：

（－∞，3]

3．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋（a2－5）＝0}．

（1）若A∩B＝{2}，求实数a的值；

（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围；

（3）若全集U＝R，A∩（∁UB）＝A，求实数a的取值范围．

解：

由题意知A＝{1,2}．

（1）因为A∩B＝{2}，所以2∈B，所以4＋4（a＋1）＋（a2－5）＝0，整理得a2＋4a＋3＝0，解得a＝－1或a＝－3.

经检验，均符合题意，所以a＝－1或a＝－3.

（2）由A∪B＝A知，B⊆A.

若集合B＝∅，则Δ＝4（a＋1）2－4（a2－5）<0.

即2a＋6<0，解得a<－3；

若集合B中只有一个元素，则Δ＝4（a＋1）2－4（a2－5）＝0，整理得2a＋6＝0，解得a＝－3.此时B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}．满足；

若集合B中有两个元素，则B＝{1,2}．

所以a>－3，且

无解．

综上可知，实数a的取值范围为（－∞，－3]．

（3）由A∩（∁UB）＝A可知，A∩B＝∅.

所以

解得a≠－1，a≠－3，a≠－1＋

，a≠－1－

.

综上，实数a的取值范围为（－∞，－3）∪（－3，－1－

）∪（－1－

，－1）∪（－1，－1＋

）∪（－1＋

，＋∞）．

第二节四种命题和充要条件

1．命题

概念

使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句

特点

（1）能判断真假；

（2）陈述句

分类

真命题、假命题

2．四种命题及其相互关系

（1）四种命题间的相互关系：

（2）四种命题中真假性的等价关系：

原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.

3．充要条件

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为B

p是q的充分不必要条件

p⇒q且q

p

A是B的真子集

集合与

充要条件

p是q的必要不充分条件

P

q且q⇒p

B是A的真子集

p是q的充要条件

p⇔q

A＝B

p是q的既不充分又不必要条件

p

q且q

p

A，B互不包含

　　[小题体验]

1．（教材习题改编）条件p：

x>2，条件q：

x≥2，则p是q的________条件（填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”）．

答案：

充分不必要

2．（教材习题改编）已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝

”是“A∩B＝{4}”的________条件（填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”）．

解析：

A∩B＝{4}⇒m2＋1＝4⇒m＝±

，故“m＝

”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．

答案：

充分不必要

3．已知命题：

若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根．则其逆否命题为________________________________________________________________________．

答案：

若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0

1．易混淆否命题与命题的否定：

否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．

2．易忽视A是B的充分不必要条件（A⇒B且B

A）与A的充分不必要条件是B（B⇒A且A

B）两者的不同．

[小题纠偏]

1．命题“当a<0时，函数y＝ax＋b的值随x值的增大而减小”的否命题是________________________________．

解析：

本题的条件是“x的值增大”，结论是函数“y＝ax＋b的值减小”，故其否命题是“当a<0时，若x的值不增大，则函数y＝ax＋b的值不减小”．

答案：

当a<0时，若x的值不增大，则函数y＝ax＋b的值不减小

2．命题“全等三角形一定相似”的逆否命题是________________________．

解析：

由原命题与逆否命题的关系，得逆否命题是“若两个三角形不相似，则它们不全等”．

答案：

若两个三角形不相似，则它们不全等

3．若|x|0）的充分条件是|x|0），则a，b的大小关系是________．

解析：

由题意，得|x|

答案：

a≥b

4．已知p：

x≠2或y≠1，q：

x＋y≠3，则p是q的____________条件（填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”）．

解析：

若p⇒q，即“x≠2或y≠1”⇒“x＋y≠3”，

得其逆否命题为“x＋y＝3⇒x＝2且y＝1”，

显然不正确，

所以p⇒/q.

同理可得q⇒p.

所以p是q的必要不充分条件．

答案：

必要不充分

[题组练透]

1．命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是________________．

解析：

根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2>b2，q为a>b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：

若a2≤b2，则a≤b.

答案：

若a2≤b2，则a≤b

2．已知命题p：

正数a的平方不等于0，命题q：

若a不是正数，则它的平方等于0，则p是q的________（填“逆命题”“否命题”“逆否命题”或“否定”）．

解析：

因为命题q的条件与结论恰好是命题p的条件与结论的否定，故两者之间互否．

答案：

否命题

3．（易错题）给出以下四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④若ab是正整数，则a，b都是正整数．

其中真命题是________．（写出所有真命题的序号）

解析：

①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．

答案：

①③

[谨记通法]

1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点

（1）对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

（2）若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．

2．命题真假的2种判断方法

（1）联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．

（2）利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．

（重点保分型考点——师生共研）

[