中考数学动态几何专题复习及答案.docx
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中考数学动态几何专题复习及答案
中考数学动态几何专题复习
图形的运动变化问题。
【典型例题】
例1.已知；⊙O的半径为2,∠AOB＝60°，M为的中点，MC⊥AO于C,MD⊥OB于D，求CD的长。
分析：
连接OM交CD于E，
∵∠AOB＝60°，且M为中点
∴∠AOM＝30°，又∵OM＝OA＝2
∴
∴
例2.如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AE的中点D，DC⊥BC，垂足为C。
（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？
（要求：
不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）
（2）若∠ABC为直角，其它条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？
并画出图形。
（要求：
写出6个结论即可，其它要求同
（1））
分析：
（1）AB＝BE
DC＝CE
∠A＝∠E
DC为⊙O切线
（2）若∠ABC为直角
则∠A＝∠E＝45°，DC＝BC
DC∥AB，DC＝CE，BE为⊙O的切线
例3.在直径为AB的半圆内划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆上，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中DE在AB上，如图的设计方案是AC＝8，BC＝6。
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DN＝x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？
分析：
（1）∵AB为半圆直径
∴∠ACB＝90°
∵AC＝8，BC＝6
∴AB＝10
∴△ABC中AB边上高h＝4.8m
（2）设DN＝x，CM＝h＝4.8
则MP＝x
当时，水池面积最大。
例4.正方形ABCD的边长为6cm，M、N分别为AD、BC中点，将C折至MN上，落在P处，折痕BQ交MN于E，则BE＝______cm。
分析：
△BPQ≌△BCQ
BP＝BC＝6
连接PC，∵BP＝PC（M、N为中点）
∴△BPC为等边三角形
∴∠PBC＝60°，
又∵
∴在Rt△BEN中，BN＝3
∴
例5.一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是。
分析：
A（0，1），B（3，3），则OA＝1
过B作BM⊥x轴于M
则BM＝3，OM＝3
又∵AC与CB为入射光线与反射光线
∴∠AOC＝∠BCM
∴△AOC∽△BMC
∴
∴
∴
∴
同理：
BC
∴
例6.在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：
DE＝AD－BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？
请写出这个等量关系，并加以证明。
分析：
（1）AD⊥MN
BE⊥MN
∴∠ADC＝∠CEB＝90°
∴∠DAC＋∠DCA＝90°
又∵∠ACB＝90°
∴∠DCA＋∠ECB＝90°
∴∠DAC＝∠ECB
∵AC＝BC
∴△ADC≌△CEB
∴DC＝BE
AD＝CE
∴DE＝DC＋CE
＝BE＋AD
（2）与
（1）同理
△ADC≌△CEB
∴CD＝BE
AD＝CE
∵DE＝CE－CD
＝AD－BE
（3）当直线MN绕点C旋转到图3位置时
与
（1）
（2）同理可知
CE＝AD，BE＝CD
∵DE＝CD－CE
＝BE－AD
例7.把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：
0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）。
（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？
四边形CHGK的面积有何变化？
证明你发现的结论；
（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH＝，△GKH的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在
（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？
若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由。
分析：
（1）在上述旋转过程中，BH＝CK，四边形CHGK的面积不变.
证明：
连结CG
∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点
∴CG＝BG,CG⊥AB
∴∠ACG＝∠B＝45°
∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，
∴∠BGH＝∠CGK
∴△BGH≌△CGK
∴BH＝CK,S△BGH＝S△CGK
∴S四边形CHGK＝S△CHG＋S△CGK
＝S△CHG＋S△BGH＝S△ABC
＝××4×4＝4
即：
S四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化
（2）∵AC＝BC＝4，BH＝，
∴CH＝4－，CK＝x
由S△GHK＝S四边形CHGK－S△CHK，
得＝
∴
∵0°＜α＜90°，
∴0＜＜4
（3）存在。
根据题意，得
解这个方程，得
即：
当或时，△GHK的面积均等于△ABC的面积的。
例8.经过⊙O内或⊙O外一点P作两条直线交⊙O于A上和C、D四点（在图⑤、⑥中，有重合的点），得到了如图①～⑥所表示的六种不同情况。
（1）在六种不同情况下，PA、PB、PC、PD四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来，首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况，给出它的证明；
（2）已知⊙O的半径为一定值，若点P是不在⊙O上的一个定点，请你过点P任作一直线交⊙O于不重合的两点C、D，PC·PD的值是否为定值？
为什么？
由此你发现了什么结论？
请你把这一结论用文字叙述出来。
分析：
（1）PA·PB＝PC·PD
证明：
连接AC、BD
则△ACP∽△DBP
∴
∴AP·BP＝CP·DP
（2）PC·PD的值为定值
（当P在圆外时）
借助图⑤，过P作⊙O切线PA
则
（连接PO交⊙O于E,并延长交⊙O于F时）
又有
∴
（当P在圆内时）借助图②，
连接OP并延长分别交⊙O于E，F时
例9.如图所示，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半圆O上运动，且总保持PQ＝PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C。
（1）当∠QPA＝60°时，请你对ΔQCP的形状做出猜想，并给予证明。
（2）当QP⊥AB时，那么ΔQCP的形状是________三角形。
（3）由
（1）、
（2）得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，ΔQCP一定是____三角形。
分析：
（1）△QCP是等边三角形
证明：
连接OQ，则∵CQ为⊙O切线
∴CQ⊥OQ，∴∠CQO＝90°
∵PQ＝PO，∠QPC＝60°
∴∠POQ＝∠PQO＝30°
∴∠C＝90°－30°＝60°
∴∠CQP＝∠C＝∠QPC＝60°
∴△QPC是等边三角形
（2）等腰直角三角形
（3）等腰三角形
例10.如图甲、乙、丙，在图甲中，以O为圆心，半径分别为R，r（R＞r）的两个同心圆中，A、D为大⊙O上的任意两点，小圆O的割线ABC与DEF都经过圆心O现在我们证明：
AB·AC＝DE·DF
证明：
因为小⊙O的割线ABC与DEF都经过圆心O，所以AB＝R－r，AC＝R＋r，DF＝R－r，DE＝R＋r，所以AB＝DE，AC＝DF，故AB·AC＝DE·DF。
阅读上述证明后，完成下列两题：
（1）将图甲变换成图乙（ABC不经过圆心O，DEF经过圆心O）．求证：
AB·AC＝DE·DF
（2）将图乙变换成图丙（ABC与DEF都不经过圆心O），请对图丙中有关线段之间存在的关系，做出合理猜想，并给予证明。
分析：
（1）连接AO并延长与小⊙O交于B'、C'两点
可证得：
而
∴
（2）猜想AB·AC＝DE·DF，连接DO交小⊙O于E'、F'
由
（1）得AB·AC＝DE'·DF'，而DE'·DF'＝DE·DF
故猜想成立。
【模拟试题】
一、填空题：
1.方程的根是。
2.已知a，b是方程的两根，则代数式的值是________。
3.已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的负半轴相交。
请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：
。
4.抛物线与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为________。
5.已知，AB是⊙O的弦，P是AB上的一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，则⊙O的半径＝。
6.如图，直线TB与△ABC的外接圆相切于点B，AD∥BC,∠BAD＝70°,∠ACB＝40°，则∠TBC＝。
7.如图，AB为半圆O的直径，C、D是上的三等分点，若⊙O的半径为1，E为线段AB上任意一点，则图中阴影部分的面积为。
8.已知r1、r2分别是⊙O1、⊙O2的半径,两圆有且只有一条公切线,O1O2＝3,r1＝5,
则r2＝。
9.一圆锥的母线长为6cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径r为cm。
10.某校九年级三班在体育毕业考试中，全班所有学生得分的情况如下表所示：
分数段
18分以下
18—20分
21—23分
24—26分
27—29分
30分
人数
2
3
12
20
18
10
那么该班共有人，随机地抽取1人，恰好是获得30分的学生的概率是.
二、选择题：
11.已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（）
A.k≤1B.k≥1C.k＜1D.k＞1
12.使关于x的分式方程产生增根的a的值是（）
A.2B.－2C.±2D.与a无关
13.为适应国民经济持续协调的发展，自2004年4月18日起，全国铁路第五次提速，提速后火车由天津到上海的时间缩短了7.42小时，若天津到上海的路程为1326千米，提速前火车的平均速度为x千米/时，提速后火车的平均速度为y千米/时，则x、y应满足的关系式是（）
A.x－y＝B.y－x＝
C.D.
14.把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有（）
A.b＝3，c＝7B.b＝－9，c＝－15
C.b＝3，c＝3D.b＝－9，c＝21
15.二次函数的图象如图所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的为（）
A.ab＜0B.bc＜0
C.a＋b＋c＞0D.a－b＋c＜0
16.已知点（－1，y1）,（－3，y2）,（－0.5，y3）在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A. B. C. D.
17.下列语句中正确的有（）
A.相等的圆心角所对的弧相等；
B.平分弦的直径垂直于弦；
C.长度相等的两条弧是等弧；
D.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。
18.已知⊙O的半径为2cm，弦AB长为cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为（）
A.
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