套卷江苏省南通市届高三第一次调研测试数学试题.docx

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套卷江苏省南通市届高三第一次调研测试数学试题

江苏省南通市2014届高三第一次调研测试数学试题

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

1．已知集合U{1，2，3，4，5}，A{1，2，4}，则▲．

【答案】{3，5}．

2．已知复数，（为虚数单位）．在复平面内，对应的点在第▲象限．

【答案】二．

3．命题：

“，”的否定是▲．

【答案】，．

4．在平面直角坐标系中，抛物线上横坐标为1的点到其焦点的距离为▲．

【答案】3．

5．设实数，满足则的最大值是▲．

【答案】7．

6．如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的

值是▲．

【答案】．

7．抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数（AQI），数据如下：

城市

空气质量指数（AQI）

第1天

第2天

第3天

第4天

第5天

甲

109

111

132

118

110

乙

110

111

115

132

112

则空气质量指数（AQI）较为稳定（方差较小）的城市为▲（填甲或乙）．

【答案】乙．

8．已知正三棱锥的侧棱长为1，底面正三角形的边长为．现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是▲．

【答案】．

9．将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则等于▲．

【答案】．

10．等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn．若log3［an（S4m+1）］=9，则+的最小值

是▲．

【答案】．

11．若向量，，且，则的值是▲．

【答案】1．

12．在平面直角坐标系中，直线是曲线的切线，则当＞0时，实数的最小值是▲．

【答案】．

13．已知集合M=≤y≤，N=≥，则表示M∩N的图形面积等于▲．

【答案】．

14．若函数对任意实数，在闭区间上总存在两实数、，使得8成立，则实数的最小值为▲．

【答案】8．

二、解答题：

本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

如图，在四棱柱中，，，且．

（1）求证：

∥平面；

（2）求证：

⊥平面．

（1）证明：

在四棱柱中，，

平面，

平面，

所以平面．……………………………………………………………………6分

（2）证明：

在四棱柱中，四边形为平行四边形，又，

故四边形为菱形．

从而．……………………………………………………………………………9分

又，而，平面，

所以平面．…………………………………………………………………14分

16．（本小题满分14分）

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且c=－3bcosA，tanC=．

（1）求tanB的值；

（2）若，求△ABC的面积．

（1）解：

由正弦定理，得，………………………………………………2分

即．

所以．

从而．

因为，所以．……………………………………………………4分

又，由

（1）知，，

解得．………………………………………………………………………………6分

（2）解：

由

（1），得，，．………………………………10分

由正弦定理，得．……………………………………………12分

所以△ABC的面积为．………………………………14分

17．（本小题满分14分）

已知a为实常数，y=f（x）是定义在（－∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x<0时，f（x）=2x－+1．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若f（x）≥a－1对一切x＞0成立，求a的取值范围．

（1）解：

由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f（x）在区间（－∞，0）的单调性即可．

f′（x）＝2＋，令f′（x）＝0，得x＝－a．…………………………………………………2分

①当a≤0时，f′（x）＞0，故f（x）在区间（－∞，0）是单调递增．………………………4分

②当a＞0时，x∈（－∞，－a），f′（x）＞0，所以f（x）在区间（－∞，－a）是单调递增．

x∈（－a，0），f′（x）＜0，所以f（x）在区间（－a，0）是单调减．………………………6分

综上所述：

当a≤0时，f（x）单调增区间为（－∞，0），（0，+∞）；当a＞0时，f（x）单调增区间为（－∞，－a），（a，+∞），单调减区间为（－a，0），（0，a）．……………………7分

（2）解：

因为f（x）为奇函数，

所以当x＞0时，f（x）＝－f（－x）＝－（－2x－＋1）＝2x＋－1．……………………9分

①当a＜0时，要使f（x）≥a－1对一切x＞0成立，即2x＋≥a对一切x＞0成立．

而当x＝－＞0时，有－a+4a≥a，所以a≥0，则与a＜0矛盾．

所以a＜0不成立．………………………………………………………………………11分

②当a＝0时，f（x）＝2x－1＞－1=a－1对一切x＞0成立，故a＝0满足题设要求．…12分

③当a＞0时，由

（1）可知f（x）在（0，a）是减函数，在（a，+∞）是增函数．

所以fmin（x）=f（a）＝3a－1＞a－1，所以a＞0时也满足题设要求．…………………13分

综上所述，a的取值范围是．……………………………………………………14分

18．（本小题满分16分）

如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为的中点，其所在圆O的半径为4dm（圆心O在弓形EMF内），∠EOF=．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD（不计损耗），AD∥EF，且点A、D在上，设∠AOD=．

（1）求矩形铁片ABCD的面积S关于的函数关系式；

（2）当矩形铁片ABCD的面积最大时，求cos的值．

（1）解：

设矩形铁片的面积为，．

当时（如图①），，，

．……………………………3分

当时（如图②），，，

故．

综上得，矩形铁片的面积S关于的函数关系式为

………………………………………………………7分

（2）解：

当时，求导，得

．

令，得．……………………………………………………………10分

记区间内余弦值等于的角为（唯一存在）．列表：

0

增函数

极大值

减函数

又当时，在上的单调减函数，

所以当即时，矩形的面积最大．…………………………………16分

19．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，离心率为，又椭圆内接四边形ABCD（点A、B、C、D在椭圆上）的对角线AC，BD相交于点，且，．

（1）求椭圆的方程；

（2）求直线AB的斜率．

（1）解：

依题意，解得

所求椭圆的方程为．…………………………………………………………6分

（2）解：

设，则．

由，得．……………………………………………………8分

代入椭圆方程，得．

整理，得，…………………………………………………10分

即．③……………………………………………12分

设，同理可得．④……………………………………………14分

③④，得，即直线AB的斜率为．……………………16分

20．（本小题满分16分）

已知等差数列{an}、等比数列{bn}满足a1+a2＝a3，b1b2＝b3，且a3，a2+b1，a1+b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．

（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；

（2）按如下方法从数列{an}和数列{bn}中取项：

第1次从数列{an}中取a1，

第2次从数列{bn}中取b1，b2，

第3次从数列{an}中取a2，a3，a4，

第4次从数列{bn}中取b3，b4，b5，b6，

……

第2n－1次从数列{an}中继续依次取2n－1个项，

第2n次从数列{bn}中继续依次取2n个项，

……

由此构造数列{cn}：

a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{cn}的前n和为Sn．求满足Sn＜22014的最大正整数n．

（1）解：

设等差数列{an}的公差为，等比数列{bn}的公比为，

依题意，得解得a1=d=1，b1=q=2．

故an=n，bn=2n．……………………………………………………………………………6分

（2）解：

将a1，b1，b2记为第1组，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6记为第2组，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12记为第3组，……以此类推，则第n组中，有2n－1项选取于数列{an}，有2n项选取于数列{bn}，前n组共有n2项选取于数列{an}，有n2＋n项选取于数列{bn}，记它们的总和为Pn，并且有．…………11分

，

．

当＋（2＋22＋…＋22012）时，

．…………………………………………………13分

当＋（2＋22＋…＋22013）时，

．

可得到符合的最大的n=452＋2012=4037．……………………………………16分

数学Ⅱ（附加题）参考答案与评分标准

21．【选做题】

A．选修4—1：

几何证明选讲

（本小题满分10分）

在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N，且BN2AM．

求证：

ABAC．

证明：

如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线，

所以①……………………………3分

又因为BA与BC是圆O过同一点B的割线，

所以，

即……………………………………6分

又BN=2AM，

所以②……………………………8分

由①②，得ABAC．………………………10分

B．选修4—2：

矩阵与变换

（本小题满分10分）

设二阶矩阵，满足，，求．

解：

设，因为，…………………………………………………2分

所以，即……………………………………………6分

解得所以．……………………………………………………10分

C．选修4—4：

坐标系与参数方程

（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知曲线：

，过极点O的直线与曲线相交于A、B两点，

，求直线的方程．

解：

设直线的方程为（ρ∈R），，，…………………………………2分

则．…………………………………………………………………5分

又，故．……………………………………………………………7分

解得+2kπ或+2kπ，k∈Z．

所以直线的方程为或（ρ∈R）．…………………………………………10分

D．选修4—5：

不等式选讲

（本小题满分10分）

已知x，y，z均为正数，求证：

．

证明：

因为x，y，z均为正数，所以．………………………………4分

同理可得，．…………………………………………………7分

当且仅当xyz均时，以上三式等号都成立．

将上述三个不等式两边左，右两边分别相加，并除以2，

得．……………………………………………………………10分

【必做题】

22．（本小题满分10分）

如图，设，，…，为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一

个三角形，记该三角形的面积为随机变量．

（1）求的概率；

（2）求的分布列及数学期望．

解：

（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共

有种不同选法，其中的为有一个角是

的直角三角形（如△），共种，

所以．…………