第十二章微分方程二.docx

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第十二章微分方程二

二、高阶微分方程

1．高阶微分方程的定义：

2．可降阶的高阶微分方程类型及解法

可降阶的高阶微分方程有三种类型：

（1）

解法：

逐次积分

（2）

特点：

不显含

的方程

解法：

设

，则

，代入方程中得

。

已降为一阶。

（2）

特点：

显含

的方程

解法：

设

，则

代入方程中得

，已降为一阶。

【例1】求微分方程

的通解.

解：

由于不显含

，令

，则

，代入原方程得

即

为一阶线性微分方程

利用公式得

即

积分得

【例2】求微分方程

满足初始条件

的特解。

解：

由于不显含x，令

，所以

，代入原方程得

所以

或

当

时，此方程为可分离变量的方程，分离变量得

积分得

，所以，

，即

将

代入得

，从而

分离变量得

，将

代入得

所求方程的特解为

当

时，即

，积分得

，特解为

，含在

内。

3．二阶线性微分方程的解的结构

二阶线性齐次微分方程：

二阶线性非齐次微分方程：

解的结构性质：

（1）若

和

是齐次方程的解，则

齐次方程的解。

（2）若

和

是齐次方程的线性无关解，则

是齐次方程的通解。

（3）若

是齐次方程的通解，

是非齐次方程的特解，则

是非齐次方程的通解。

（4）若

和

分别是非齐次方程的特解，则

是非齐次方程的特解。

（5）若

和

分别是非齐次方程的特解，则

是对应齐次方程的特解。

4．二阶常系数线性微分方程

（1）二阶常系数齐次方程：

解法：

由特征方程

，解出特征根

和

。

通解为：

①当

（实根）时，

；

②当

时，

；

③当

时，

。

（2）二阶常系数非齐次方程特解

解法：

1）写出特征方程并求根；2）求对应的齐次线性方程的通解

；3）根据不同类型的自由项

，利用待定系数法求出一个特解

；4）写出原方程的通解

。

自由项有两种：

①当

时，原方程的特解形式是

。

②当

时，原方程的特解形式是

。

【例1】设

和

都是

的连续函数，并设线性无关的函数

都是二阶非齐次线性方程

的解，

是任意常数，则该非齐次方程的通解是

（A）

（B）

（C）

（D）

【】

解：

因为

是二阶非齐次线性方程的解，且线性无关，所以

，

是对应齐次方程的两个线性无关的特解，非齐次线性方程的通解为：

【例2】具有特解

的三阶常系数齐次线性微分方程是

（A）

（B）

（C）

（D）

【】

解：

由特解知

，代入（A）,（B）,（C）,（D）的特征方程验证（B）满足。

【例3】求微分方程

的通解.

解：

特征方程为

，解得特征根

，

则齐次方程通解是

因为

为

型，

，且

为重根，可设特解

，将

代入原方程得

，即

所以通解为

【例4】求方程

的通解

解：

特征方程为

，解得特征根

，

则齐次方程通解是

其中

为

型，

，且

不是特征根，可设特解

，代入原方程得

，即

为

型，

，且

为特征根，可设特解

，代入原方程得

，即

故原方程的特解

，

所求通解为

【例5】设函数

满足微分方程

，且其图形在点

处的切线与曲线

在该点的切线重合，求函数

.

解：

特征方程为

，解得特征根

，

则齐次方程通解是

因为

为

型，

，且

为单根，可设特解

，代入原方程得

，即

所以通解为

因为

的图形在点

处的切线与曲线

在该点的切线重合，所以

代入

得

，则

【例6】设

具有二阶连续导数，且

，

，已知曲线积分

与积分路径无关，求

.

解：

因为曲线积分与路径无关，所以，根据曲线积分与路径无关的条件

，得

即

亦即

可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为

再由

，

，可得特解

【例7】设函数

连续，且满足

，求

.

解：

等式两边对

求导得

两边再对

求导得

，即

为二阶线性非齐次微分方程，且

解此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为

再由

可得特解

【例8】利用代换

，将方程

化简，并求出原方程的通解．

解：

因为

，

，

代入整理得

通解为

将

代入得

5．欧拉方程

，

为常数

解法：

做变换

或

，记

将欧拉方程化为常系数线性微分方程，解方程，将

代回即可。

【例9】求欧拉方程

（x>0）的通解.

解：

令

即

，

代入方程

，即

亦即

特征方程为

，解得特征根

通解为

【例10】求欧拉方程

的通解.

解：

令

即

，

代入方程

，即

亦即

特征方程为

，解得特征根

齐次方程的通解为

为

型，

，且

不是根，可设特解

，代入原方程得

，即

所以通解为

6．微分方程的幂级数解法

（1）一阶微分方程幂级数解法

求一阶微分方程

满足初始条件

的特解.

解法：

设

，将

代入原方程定出常数

，即可得特解.

（2）二阶微分方程幂级数解法

定理：

如果二阶微分方程

中的系数P（x）和Q（x）可在-R

的解

解法：

设

，将

代入原方程定出常数

，即可得解.

【例11】用幂级数求方程

满足初始条件

的特解.

解：

因为

，故设

代入方程得

，即

比较等式两边得

所以方程的解为

【例12】用幂级数求方程

的解.

解：

因为

，满足定理条件，它们可在

内展开成x的幂级数，解可设为

代入原方程得

即

亦即

化简后得

所以

即

都可用

表示，

都可用

表示.

所以方程的解为

三、微分方程的建立

微分方程的建立总体上讲有两条途径，其一利用已知的概念、定理、物理学定律等建立方程；其二是微小量分析的方法来建立方程。

当然不排除在某一具体的题目处理时两种方法的综合运用。

几何方面：

已知曲线切线的斜率、曲线的曲率、变上限的弧长、变上限曲边梯形的面积、变上限旋转体的体积，或上述的某些组合，求曲线的方程，可由已知条件建立微分方程。

物理方面：

已知运动的速度规律、加速度（或外力）的规律，求运动的位移与时间的关系，则由运动方程或牛顿第二定律建立微分方程。

其它：

已知某函数的变化率求该函数，可建立微分方程。

【例1】设对任意

，曲线

上点

处的切线在

轴上的截距等于

，求

的一般表达式.

解：

在点

处的切线斜率为

，在

轴上的截距为

，切线方程为

即

对x求导得

整理得

为可降阶的微分方程，不显含y

令

，有

，代入上式有

分离变量

，积分得

，即

所以

【例2】设

是一向上凸的连续曲线，其上任意一点

处的曲率为

，且此曲线上点

处的切线方程为

，求该曲线的方程并求函数

的极值．

解：

因为

是一向上凸的连续曲线，所以

，由题意

整理得

，其中

.

为可降阶的微分方程，不显含y,令

，有

，代入上式有

分离变量

，积分得

，即

将

代入得

，

，积分得

将

代入得

曲线方程为

，

令

得

为唯一驻点，且

，所以

是y取的极大值

【例3】在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的。

设该人群的总人数为N，在

时刻已掌握新技术的人数

，在任意

时刻已掌握新技术的人数

（将

视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数

，求

.

解：

有题设知

，

分离变量

，即

积分得

将

代入得

，所以

【例4】从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度

（从海平面算起）与下沉速度

之间的函数关系。

设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉的过程中还受到阻力和浮力的作用。

设仪器的质量为

，体积为

，海水比重为

，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为

，试建立

与

所满足的微分方程，并求出函数关系式

．

解：

取现放点为原点O，oy轴正向铅直向下，由牛顿第二定律

即

分离变量

，积分

将

代入得

所以