华东理工大学概率论答案.docx
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华东理工大学概率论答案
华东理工大学概率论答案,
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华东理工大学
概率论与数理统计
学院____________专业____________班级____________
学号____________姓名____________任课教师____________
第十九次作业
一．填空题：
1．在一批垫圈中随机抽取10个，测得它们的厚度（单位:
mm）如下:
1.23，1.24，1.26，1.29，1.20，1.32，1.23，1.23，1.29，1.28
用矩估计法得到这批垫圈的数学期望的估计值=，
标准差的估计值=。
2．将合适的数字填入空格，其中：
（1）总体矩，
（2）样本矩，（3）中心极限定理，（4）大数定理。
矩估计的做法是用
（2），代替
（1），其依据是（4）。
3．已知总体，其中未知参数的极大似然估计分别为，则概率的极大似然估计为。
二．计算题：
1．设总体的分布律为，其中未知，为来自该总体的样本，试分别求的矩估计和极大似然估计
解：
（1）矩估计
总体均值：
，
样本平均值：
，
令，即，得，即的矩估计为。
（2）极大似然
设的一组观测值为，
似然函数，显然越小，似然函数值越大。
由,得，则的极大似然估计值为，即的极大似然估计为
2．设总体服从几何分布：
，，其中未知。
设为的样本，试求的矩法估计和极大似然估计。
解：
（1）由于，因此，由矩法原则可知，故。
（2）设样本的一组观测值为,由于总体为离散型,
因此似然函数,
取对数,得,
上式两端关于求导,令,
解上式,得。
3．设总体总体的密度函数为，其中是未知参数,是来自总体的样本，分别用矩估计法和极大似然法求的估计量。
解：
总体的数学期望为,
设为样本均值,则应有：
解得的矩法估计量为:
；
设是样本的观察值,则似然函数为：
当时,
令,解得的极大似然估计值：
，
故的极大似然估计量为：
。
4．设总体的分布律为
0
1
2
3
其中是未知参数。
现有一样本：
3,1,3,0,3,1,2,3。
求的矩估
计值和极大似然估计值。
解：
（1）由矩法原则可知：
，
由样本得：
，故的矩估计值。
（2）注意该总体为离散型，且分布律不能由解析式表示。
似然函数
，
取对数，得，
令，
解得，由于不合题意，故舍去。
因此，的极大似然估计值为。
第二十次作业
一．选择题：
1．设总体的数学期望为，是取自总体的样本，则下列命题中正确的是（A）
A.是的无偏估计量；B.是的极大似然估计量；
C.是的一致（相合）估计量；D.不是估计量。
2．设为总体（已知）的一个样本,为样本均值,则总体方差的下列估计量中,为无偏估计量的是（C）.
A.;B.;
C.;D.;
二．计算证明题：
1．设总体，是的样本，
（1）证明：
都是的无偏估计。
（2），，这三个估计中，哪一个估计最有效？
证明：
（1）
所以,都是的无偏估计.
（2）由于样本独立同分布,那么
可知,故最有效.
2．设从均值为，方差为的总体中，分别抽取容量为和的两个独立
样本，和分布是这两个样本的均值。
试证：
对于任意常数
，是的无偏估计，并确定常数，使得达到最小。
证明：
因为,
故对于任意常数,都是的无偏估计.
由于两个样本独立,因此相互独立,那么由定理6.2.1,可知
将代入,得
求其最小值,
即当时,最小。
3．设随机变量服从区间上的均匀分布,其中为未知参数,是来自于的一个样本,是样本均值,.
证明:
和都是无偏估计量（）.
证明：
因为服从区间上的均匀分布,所以，
，
所以是无偏估计量.
再证是无偏估计量,先求的概率分布,
的分布函数，
的密度函数，
与独立且同分布,故的分布函数为：
，
，
于是,
，
，
所以也是无偏估计量。
4.设总体服从参数为的指数分布，是总体的一个样本，证明：
（1）和都是的无偏估计；
（2）问，中哪个更有效？
证明:
（1）由服从参数为的指数分布，得到，于是有
.
为了计算。
先给出的分布函数为：
于是有的分布函数
概率密度函数为
故.
（2）同样由于服从参数为的指数分布，得到，于是有
；
为了计算，先计算。
得到
故当时，比更有效；当时，和一样有效；当时，比更有效。
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