圆 几何综合中考真题汇编解析版.docx

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圆几何综合中考真题汇编解析版

圆几何综合中考真题汇编[解析版]

一、初三数学圆易错题压轴题（难）

1．在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D，联结AO、BO、

AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．

（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；

（2）如图2，设AC=x，=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；

（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．

【答案】

（1）2；

（2）y=（0＜x＜8）;（3）AD=或6．

【解析】

【分析】

（1）根据垂径定理和勾股定理可求出OC的长.

（2）分别作OH⊥AB，DG⊥AB，用含x的代数式表示△ACO和△BOD的面积，便可得出函数解析式.

（3）分OB∥AD和OA∥BD两种情况讨论.

【详解】

解：

（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8，

∴OD⊥AB，AC=AB=4，

在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5，

∴CO==3，

∴OD=5，

∴CD=OD﹣OC=2；

（2）如图2，过点O作OH⊥AB，垂足为点H，

则由

（1）可得AH=4，OH=3，

∵AC=x，

∴CH=|x﹣4|，

在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5，

∴CO===，

∴CD=OD﹣OC=5﹣，

过点DG⊥AB于G，

∵OH⊥AB，

∴DG∥OH，

∴△OCH∽△DCG，

∴，

∴DG==，

∴S△ACO=AC×OH=x×3=x，

S△BOD=BC（OH+DG）=（8﹣x）×（3+）=（8﹣x）×

∴y===（0＜x＜8）

（3）①当OB∥AD时，如图3，

过点A作AE⊥OB交BO延长线于点E，过点O作OF⊥AD，垂足为点F，

则OF=AE，

∴S=AB•OH=OB•AE，

AE===OF，

在Rt△AOF中，∠AFO=90°，AO=5，

∴AF==

∵OF过圆心，OF⊥AD，

∴AD=2AF=．

②当OA∥BD时，如图4，过点B作BM⊥OA交AO延长线于点M，过点D作DG⊥AO，垂足为点G，

则由①的方法可得DG=BM=，

在Rt△GOD中，∠DGO=90°，DO=5，

∴GO==，AG=AO﹣GO=，

在Rt△GAD中，∠DGA=90°，

∴AD==6

综上得AD=或6．

故答案为

（1）2；

（2）y=（0＜x＜8）;（3）AD=或6．

【点睛】

本题是考查圆、三角形、梯形相关知识，难度大，综合性很强.

2．如图，以A（0，）为圆心的圆与x轴相切于坐标原点O，与y轴相交于点B，弦BD的延长线交x轴的负半轴于点E，且∠BEO＝60°，AD的延长线交x轴于点C．

（1）分别求点E、C的坐标；

（2）求经过A、C两点，且以过E而平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式；

（3）设抛物线的对称轴与AC的交点为M，试判断以M点为圆心，ME为半径的圆与⊙A的位置关系，并说明理由．

【答案】

（1）点C的坐标为（－3，0）

（2）（3）⊙M与⊙A外切

【解析】

试题分析：

（1）已知了A点的坐标，即可得出圆的半径和直径，可在直角三角形BOE中，根据∠BEO和OB的长求出OE的长进而可求出E点的坐标，同理可在直角三角形OAC中求出C点的坐标；

（2）已知了对称轴的解析式，可据此求出C点关于对称轴对称的点的坐标，然后根据此点坐标以及C，A的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（3）两圆应该外切，由于直线DE∥OB，因此∠MED=∠ABD，由于AB=AD，那么∠ADB=∠ABD，将相等的角进行置换后可得出∠MED=∠MDE，即ME=MD，因此两圆的圆心距AM=ME+AD，即两圆的半径和，因此两圆外切.

试题解析：

（1）在Rt△EOB中，，

∴点E的坐标为（－2，0）．

在Rt△COA中，，

∴点C的坐标为（－3，0）．

（2）∵点C关于对称轴对称的点的坐标为F（－1，0），

　点C与点F（－1，0）都在抛物线上．

　设，用代入得

，

∴．　　

∴，即

．

（3）⊙M与⊙A外切，证明如下：

∵ME∥y轴，

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴⊙M与⊙A外切．

3．如图，矩形ABCD中，BC＝8，点F是AB边上一点（不与点B重合）△BCF的外接圆交对角线BD于点E，连结CF交BD于点G．

（1）求证：

∠ECG＝∠BDC．

（2）当AB＝6时，在点F的整个运动过程中．

①若BF＝2时，求CE的长．

②当△CEG为等腰三角形时，求所有满足条件的BE的长．

（3）过点E作△BCF外接圆的切线交AD于点P．若PE∥CF且CF＝6PE，记△DEP的面积为S1，△CDE的面积为S2，请直接写出的值．

【答案】

（1）详见解析；

（2）①；②当BE为10，或时，△CEG为等腰三角形；（3）.

【解析】

【分析】

（1）根据平行线的性质得出∠ABD＝∠BDC，根据圆周角定理得出∠ABD＝∠ECG，即可证得结论；

（2）根据勾股定理求得BD＝10，

①连接EF，根据圆周角定理得出∠CEF＝∠BCD＝90°，∠EFC＝∠CBD．即可得出sin∠EFC＝sin∠CBD，得出，根据勾股定理得到CF＝，即可求得CE＝；

②分三种情况讨论求得：

当EG＝CG时，根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到∠GEC＝∠GCE＝∠ABD＝∠BDC，从而证得E、D重合，即可得到BE＝BD＝10；

当GE＝CE时，过点C作CH⊥BD于点H，即可得到∠EGC＝∠ECG＝∠ABD＝∠GDC，得到CG＝CD＝6．根据三角形面积公式求得CH＝，即可根据勾股定理求得GH，进而求得HE，即可求得BE＝BH＋HE＝；

当CG＝CE时，过点E作EM⊥CG于点M，由tan∠ECM＝．设EM＝4k，则CM＝3k，CG＝CE＝5k．得出GM＝2k，tan∠GEM＝，即可得到tan∠GCH＝=．求得HE＝GH＝，即可得到BE＝BH＋HE＝；

（3）连接OE、EF、AE、EF，先根据切线的性质和垂直平分线的性质得出EF＝CE，进而证得四边形ABCD是正方形，进一步证得△ADE≌△CDE，通过证得△EHP∽△FBC，得出EH＝BF，即可求得BF＝6，根据勾股定理求得CF＝10，得出PE＝，根据勾股定理求得PH，进而求得PD，然后根据三角形面积公式即可求得结果．

【详解】

（1）∵AB∥CD．

∴∠ABD＝∠BDC，

∵∠ABD＝∠ECG，

∴∠ECG＝∠BDC．

（2）解：

①∵AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，

∴BD＝＝10，

如图1，连结EF，则∠CEF＝∠BCD＝90°，

∵∠EFC＝∠CBD．

∴sin∠EFC＝sin∠CBD，

∴

∴CF＝＝，

∴CE＝．

②Ⅰ、当EG＝CG时，∠GEC＝∠GCE＝∠ABD＝∠BDC．

∴E与D重合，

∴BE＝BD＝10．

Ⅱ、如图2，当GE＝CE时，过点C作CH⊥BD于点H，

∴∠EGC＝∠ECG＝∠ABD＝∠GDC，

∴CG＝CD＝6．

∵CH＝，

∴GH＝，

在Rt△CEH中，设HE＝x，则x2+（）2＝（x+）2

解得x＝，

∴BE＝BH+HE＝+＝；

Ⅲ、如图2，当CG＝CE时，

过点E作EM⊥CG于点M．

∵tan∠ECM＝．

设EM＝4k，则CM＝3k，CG＝CE＝5k．

∴GM＝2k，tan∠GEM＝，

∴tan∠GCH＝＝tan∠GEM＝．

∴HE＝GH＝，

∴BE＝BH+HE＝，

综上所述，当BE为10，或时，△CEG为等腰三角形；

（3）解：

∵∠ABC＝90°，

∴FC是△BCF的外接圆的直径，设圆心为O，

如图3，连接OE、EF、AE、EF，

∵PE是切线，

∴OE⊥PE，

∵PE∥CF，

∴OE⊥CF，

∵OC＝OF，

∴CE＝EF，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴∠ECF＝45°，EF=FC，

∴∠ABD＝∠ECF＝45°，

∴∠ADB＝∠BDC＝45°，

∴AB＝AD＝8，

∴四边形ABCD是正方形，

∵PE∥FC，

∴∠EGF＝∠PED，

∴∠BGC＝∠PED，

∴∠BCF＝∠DPE，

作EH⊥AD于H，则EH＝DH，

∵∠EHP＝∠FBC＝90°，

∴△EHP∽△FBC，

∴，

∴EH＝BF，

∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，

∴△ADE≌△CDE，

∴AE＝CE，

∴AE＝EF，

∴AF＝2EH＝BF，

∴BF+BF＝8，

∴BF＝6，

∴EH＝DH＝1，CF＝＝10，

∴PE＝FC＝，

∴PH＝，

∴PD＝，

∴．

【点睛】

本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，圆周角定理、三角形的面积以及相似三角形的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．

4．如图①，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，点D是AC边上一点（不与C重合），以AD为直径作⊙O，过C作CE切⊙O于E，交AB于F．

（1）若⊙O半径为2，求线段CE的长；

（2）若AF＝BF，求⊙O的半径；

（3）如图②，若CE＝CB，点B关于AC的对称点为点G，试求G、E两点之间的距离．

【答案】

（1）CE＝4；

（2）⊙O的半径为3；（3）G、E两点之间的距离为9.6

【解析】

【分析】

（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得；

（2）由勾股定理求得BC，然后通过证得△OEC∽△BCA，得到，即解得即可；

（3）证得D和M重合，E和F重合后，通过证得△GBE∽△ABC，，即，解得即可.

【详解】

解：

（1）如图①，连接OE，

∵CE切⊙O于E，

∴∠OEC＝90°，

∵AC＝8，⊙O的半径为2，

∴OC＝6，OE＝2，

∴CE＝；

（2）设⊙O的半径为r，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，

∴BC＝＝6，

∵AF＝BF，

∴AF＝CF＝BF，

∴∠ACF＝∠CAF，

∵CE切⊙O于E，

∴∠OEC＝90°，

∴∠OEC＝∠ACB，

∴△OEC∽△BCA，

∴，即

解得r＝3，

∴⊙O的半径为3；

（3）如图②，连接BG，OE，设EG交AC于点M，

由对称性可知，CB＝CG，

∵CE＝CG，

∴∠EGC＝∠GEC，

∵CE切⊙O于E，

∴∠GEC+∠OEG＝90°，

∵∠EGC+∠GMC＝90°，

∴∠OEG＝∠GMC，

∵∠GMC＝∠OME，

∴∠OEG＝∠OME，

∴OM＝OE，

∴点M和点D重合，

∴G、D、E三点在同一直线上，

连接AE、BE，

∵AD是直径，

∴∠AED＝90°，即∠AEG＝90°，

又CE＝CB＝CG，

∴∠BEG＝90°，

∴∠AEB＝∠AEG+∠BEG＝180°，

∴A、E、B三点在同一条直线上，

∴E、F两点重合，

∵∠GEB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，

∴△GBE∽△ABC，

∴，即

∴GE＝9.6，

故G、E两点之间的距离为9.6．

【点睛】

本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G、D、E三点共线以及A、E、B三点在同一条直线上是解题的关

5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=10，点D在线段AB上，AD=2．点P，Q以相同的速度从D点同时出发，点P沿DB方向运动，点Q沿DA方向到点A后立刻以原速返回向点B运动．以PQ为直径构造⊙O，过点P作⊙O的切线交折线AC﹣CB于点E，将线段EP绕点E顺时针旋转60°得到EF，过F作FG⊥EP于G，当P运动到点B时，Q也停止运动，设DP=m．

（1）当2＜m≤8时，AP=，AQ=．（用m的代数式表示）

（2）当线段FG长度达到最大时，求m的值；