泛函分析部分 第七章 度量空间和赋范线性空间.ppt

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泛函分析部分,第七章度量空间和赋范线性空间第八章有界线性算子和连续线性泛函,第七章度量空间和赋范线性空间,1度量空间的进一步例子,2度量空间中的极限、稠密集、可分空间,3连续映射,4柯西点列和完备度量空间,6压缩映射原理及其应用,8赋范线性空间和巴拿赫空间,泛函分析：

是20世纪发展起来的一门新的学科，德国数学家希尔伯特，波兰数学家巴拿赫，匈牙利美国数学家冯.诺依曼，为此做出了主要贡献。

泛函分析研究内容：

是函数与数之间的对应关系；例如：

定积分就是一个泛函。

算子：

函数空间和函数空间的对应关系。

例如：

微分就是一个算子。

引言：

1度量空间的进一步例子,度量空间（距离空间）：

把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。

泛函分析中的度量空间（距离空间）：

泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。

1、度量空间,设是一个集合，若对于中任意两个元素,都有唯一确定的实数与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：

1的充要条件为,2对任意的都成立，,则称是之间的距离，称为度量空间或距离空间。

中的元素称为点。

称为点的邻域，称为邻域的中心，称为邻域的半径。

2、常见的度量空间,

（1）n维欧式度量空间,

（2）离散的度量空间,设是任意的非空集合，对中的任意两点，令,称为离散的度量空间。

（3）序列空间S,令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中的任意两点,令,称为序列空间。

设A是一个给定的集合，令B（A）表示A上有界实值（或复值）函数全体，对B（A）中任意两点，定义,设为X上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m为勒贝格测度，若，对任意两个可测函数及,（4）有界函数空间B（A）,（5）可测函数空间,由于，所以这是X上的可积函数。

令,（4）有界函数空间B（A）,令表示闭区间a,b上实值（或复值）连续函数全体，对中任意两点，定义,（6）空间,（6）空间,设，定义,设是中点列，如果存在，使则称点列是中的收敛点列，是点列的极限。

2度量空间中的极限、稠密集、可分空间,1、收敛点列,收敛点列性质：

（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。

2、收敛点列在具体空间中的意义,

（2）M是闭集的充要条件是M中任何收敛点列的极限都在M中。

（1）n维欧式空间中：

为中的点列，,即：

按欧式距离收敛于的充要条件是依坐标收敛于,

（2）序列空间S中：

为中的点列，,设及分别为中的点列及点，,（3）空间,（4）可测函数空间,设及分别为可测函数空间中的点列及点，,3、有界集,设M是度量空间中点集，定义为点集M的直径，若，则称M为中的有界集。

常用结论：

度量空间中的收敛点列是有界点集。

4、稠密集，可分空间,

（1）设X是度量空间，E和M是X中的两个子集，令表示M的闭包，如果，那么称集M在集E中稠密。

等价定义：

如果E中任何一点x的任何邻域都含有集M中的点，就称M在E中稠密。

（2）当E=X时，称集M为X的一个稠密子集。

（3）如果X有一个可数的稠密子集时，称X为可分空间。

对任一，有M中的点列，使得,例题1：

（1）多项式全体所成的线性空间P是度量空间的子集，则P在中是稠密的。

其中，以有理数为系数的多项式全体是一个可数集，所以是可分空间。

（2）n维欧式空间是可分空间，因为坐标为有理数的全体是一个可数集，是中的稠密子集。

（3）为可分空间。

（4）为不可分空间。

表示有界实（或复）数列全体，对中任意两点定义则按成为度量空间。

3连续映射,回忆函数的连续性？

1、度量空间中的连续性,设，是两个度量空间，T是X到Y中的映射,如果对于任意给定，存在，使对X中一切满足的，成立则称T在连续。

设T是度量空间到中的映射，那么T在连续的充要条件为当时，必有,连续性的极限定义,2、连续映射,如果映射T在X的每一点都连续，则称T是X上的连续映射。

称集合为集合M在映射T下的原像。

定理：

度量空间X到Y的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y中任意开集M的原像是X中的开集。

4柯西点列和完备度量空间,1、柯西点列,设是度量空间，是X中点列，如果对任何事先给定的，存在正整数，使当时，必有,则称是X中的柯西点列或基本点列。

在实数空间当中，柯西点列一定是收敛点列；但是在一般的度量空间当中，柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列一定是柯西点列。

2、完备的度量空间,如果度量空间中每一个柯西点列都在中收敛，则称是完备的度量空间。

子空间完备性定理,完备度量空间X的子空间M，是完备空间的充要条件是：

M是X中的闭子空间。

例题1：

及是完备度量空间,例题2：

n维欧几里的空间是完备度量空间,例题3：

是完备度量空间,等距同构映射,设是两个度量空间，如果存在到的保距映射，即，则称和等距同构，此时称为到上的等距同构映射。

6压缩映射原理及其应用,1、压缩映射,设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数，使得对所有的，成立则称T是压缩映射。

几何意义：

压缩映射就是使映射后距离缩短倍的映射。

2、不动点,设X为一个集合，T是X到X的一个映射，如果，使得，则称为映射T的不动点。

设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点。

3、压缩映射定理,完备度量空间中的压缩映射必有唯一的不动点。

注：

定理中的度量空间的完备条件不能去掉。

完备性是保证映射的不动点的存在，至于不动点的唯一性，并不依赖于X的完备性。

压缩映射具有连续性，即对任何收敛点列必有,8赋范线性空间和巴拿赫空间,设X是实（或复）的线性空间，如果对于每个向量，有一个确定的实数，记为与之对应，并且满足：

1、赋范线性空间,1且等价于,2其中为任意实（或复）数；,3,则称为向量的范数，称X按范数成为赋范线性空间。

类似于普通向量的长度,依范数收敛于等价于按距离收敛于,2、关于极限的定义（依范数收敛）,设是X中一点列，如果存在，使则称依范数收敛于，记为或,3、赋范线性空间的性质,1赋范线性空间不仅是线性空间，也是一个度量空间。

如果令可以验证是X上的距离。

称为由范数导出的距离。

度量和线性结构之间的协调性：

欧式空间按上述范数成Banach空间。

（1）欧式空间，对每个，定义,2范数是的连续函数。

4、巴拿赫空间及常用例子,完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。

（2）空间，对每个，定义,空间按上述范数成Banach空间。

（3）空间，对每个，定义,空间按上述范数成Banach空间。