北京初中数学中考模拟汇编二次函数1教师版.docx

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北京初中数学中考模拟汇编二次函数1教师版

2021北京初中数学中考模拟汇编：

二次函数

（1）

一．解答题（共16小题）

1．（2021•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0）经过点A（m，n）．

（1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；

（2）若抛物线经过点B（0，2），且满足0＜m＜3，求n的取值范围；

（3）若3≤m≤5时，n≤2，结合函数图象，直接写出b的取值范围．

2．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．

（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；

（2）①当x＝a时，求y的值；

②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．

（3）若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围．

3．（2021•房山区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）被x轴截得的线段长度为4．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）求c的值（用含a的式子表示）；

（3）若点M（x1，3），N（x2，3）为抛物线上不重合两点（其中x1＜x2），且满足x1（x2﹣5）≤0，求a的取值范围．

4．（2021•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）．分别过点M（t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B．记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包括A，B两点）．

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）记图象G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m．

①当a＝2时，若图象G为轴对称图形，求m的值；

②若存在实数t，使得m＝2，直接写出a的取值范围．

5．（2021•平谷区一模）已知关于x的二次函数y＝x2﹣2mx﹣3．

（1）当抛物线过点（2，﹣3）时，求抛物线的表达式，并求它与y轴的交点坐标；

（2）求这个二次函数图像的对称轴（用含m的式子表示）；

（3）若抛物线上存在两点A（a，a）和B（b，﹣b），当a＜0，b＞0时，总有a+b＞0，求m的取值范围．

6．（2021•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx+4﹣m2与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧．

（1）若点B的坐标为（3，0）．

①求此时二次函数的解析式；

②当2≤x≤n时，函数值y的取值范围是﹣n﹣1≤y≤3，求n的值；

（2）将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，若当﹣2≤x≤﹣1时，这个新函数的函数值y随x的增大而增大，结合函数图象，求m的取值范围．

7．（2021•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A是抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2m+1的顶点．

（1）求点A的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）若射线OA与x轴所成的锐角为45°，求m的值；

（3）将点P（0，1）向右平移4个单位得到点Q，若抛物线与线段PQ只有一个公共点，直接写出m的取值范围．

8．（2021•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣（a+1）x．

（1）若抛物线过点（2，0），求抛物线的对称轴；

（2）若M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两个不同的点．

①当x1+x2＝﹣4时，y1＝y2，求a的值；

②若对于x1＞x2≥﹣2，都有y1＜y2，求a的取值范围．

9．（2021•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．

（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；

（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；

（3）在

（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．

10．（2021•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+1．

（1）求该二次函数图象的对称轴；

（2）若点M（t﹣2，m），N（t+3，n）在抛物线y＝x2﹣2tx+1上，试比较m、n的大小；

（3）P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2tx+1上的任意两点，若对于﹣1≤x1＜3且x2＝3，都有y1≤y2，求t的取值范围．

11．（2021•大兴区一模）已知抛物线y＝x2﹣4x+c经过点（﹣1，8）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求抛物线与x轴交点的坐标．

12．（2021•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x+1（a≠0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B．

（1）直接写出抛物线的对称轴；

（2）若AB＝4，求抛物线所对应的函数解析式；

（3）已知点P（a+4，1），Q（0，a+1），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

13．（2021•通州区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a≠0）．

（1）求此二次函数图象的对称轴；

（2）设此二次函数的图象与x轴交于不重合两点M（x1，0），N（x2，0）（其中x1＜x2），且满足x1＜6﹣2x2，求a的取值范围．

14．（2021•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与y轴交于点A．

（1）求点A和抛物线顶点的坐标（用含a的式子表示）；

（2）直线y＝﹣ax+3a与抛物线y＝ax2﹣4ax+3a围成的区域（不包括边界）记作G．横、纵坐标都为整数的点叫做整点．

①当a＝1时，结合函数图象，求区域G中整点的个数；

②当区域G中恰有6个整点时，直接写出a的取值范围．

15．（2021•北京一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1．

（1）当m＝2时，求抛物线的顶点坐标；

（2）①求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；

②若点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系为　　；

（3）直线y＝x+b与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．

16．（2021•延庆区一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：

y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2；

（1）求点C的坐标；

（2）对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．

①求二次函数的表达式；

②设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．

2021北京初中数学中考模拟汇编：

二次函数

（1）

参考答案与试题解析

一．解答题（共16小题）

1．（2021•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0）经过点A（m，n）．

（1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；

（2）若抛物线经过点B（0，2），且满足0＜m＜3，求n的取值范围；

（3）若3≤m≤5时，n≤2，结合函数图象，直接写出b的取值范围．

【分析】

（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可；

（2）把点B坐标代入抛物线的解析式，求出抛物线的解析式，结合图形，再求当0＜m＜3时，n的取值范围；

（3）分别讨论m和b的大小关系，根据n≤2，求出b的取值范围．

【解答】解：

（1）∵y＝x2﹣2bx+b2﹣2＝（x﹣b）2﹣2，

∴顶点坐标为（b，﹣2）；

（2）把（0，2）代入y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0），

得b＝2，或b＝﹣2（舍去），

∴b＝2，

∴解析式为：

y＝x2﹣4x+2，对称轴为x＝2；

顶点坐标为（2，﹣2），

结合函数图象可得，在顶点处n取得最小值﹣2；

当x＝0时，y＝2，

∴当0＜m＜3时，﹣2≤n＜2．

（3）如图，①若3≤m≤5≤b时，

ymax＝（3﹣b）2﹣2≤2，

∴1≤b≤5，矛盾，不成立；

②若3≤b≤5时，

则当x＝3时，y＝（3﹣b）2﹣2≤2，得1≤b≤5，

且当x＝5时，y＝（5﹣b）2﹣2≤2，得3≤b≤7，

∴3≤b≤5；

③当b≤3≤m≤5时，

ymax＝（5﹣b）2﹣2≤2，得3≤b≤7，矛盾；

综上，b的取值范围为3≤b≤5．

【点评】本题主要考查二次函数的取值范围问题，涉及待定系数法求解析式，数形结合思想等，利用数形结合思想结合图象求取值范围是常见方法．

2．（2021•杭州二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．

（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；

（2）①当x＝a时，求y的值；

②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．

（3）若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围．

【分析】

（1）抛物线的对称轴x＝﹣，计算即可；

（2）①将x＝a代入y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a，计算即可；②若y1＝y2＝0，则﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，解方程并根据x1＜x2，即可得出x1的值．

（3）由题意得出x1＜﹣2，则只需讨论x1＜a﹣1的情况，分两种情况：

①当a≥﹣1时，又有两种情况：

x1＜x2＜a﹣1，x1＜a﹣1＜x2，分别结合二次函数的性质及x1+x2＜﹣4计算即可；②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意．

【解答】解：

（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a﹣1；

（2）①当x＝a时，y＝﹣a2+（2a﹣2）a﹣a2+2a

＝﹣a2+2a2﹣2a﹣a2+2a

＝0；

②当y1＝y2＝0时，﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，

∴x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a＝0，

∴（x﹣a+2）（x﹣a）＝0，

∵x1＜x2，

∴x1＝a﹣2；

（3）①当a≥﹣1时，

∵x1＜x2，x1+x2＜﹣4，

∴x1＜﹣2，只需讨论x1＜a﹣1的情况．

若x1＜x2＜a﹣1，

∵x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大，

∴y1＜y2，符合题意；

若x1＜a﹣1＜x2，

∵a﹣1≥﹣2，

∴2（a﹣1）≥﹣4，

∵x1+x2＜﹣4，

∴x1+x2＜2（a﹣1）．

∴x1＜2（a﹣1）﹣x2．

∵x＝2（a﹣1）﹣x2时，y1＝y2，x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大，

∴y1＜y2，符合题意．

②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意；

综上所述，a的取值范围是a≥﹣1．

【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数与一元二次方程的关系及一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．

3．（2021•房山区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）被x轴截得的线段长度为4．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）求c的值（用含a的式子表示）；

（3）若点M（x1，3），N（x2，3）为抛物线上不重合两点（其中x1＜x2），且满足x1（x2﹣5）≤0，求a的取值范围．

【分析】

（1）由二次函数的对称轴公式，求出对称轴x＝1；

（2）根据对称轴求出抛物线于x轴的交点坐标，即可得出结论；

（3）先判断出点，M，N关于抛物线的对称轴对称，再用x1（x