高三 一轮复习 点线面的位置关系 教案.docx

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高三一轮复习点线面的位置关系教案

空间点、直线、平面之间的位置关系

1．四个公理

公理1：

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

作用：

可用来证明点、直线在平面内．

公理2：

如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．

作用：

①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多点共线；③判断或证明多线共点．

公理3：

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

作用：

①用来确定一个平面；②证明点线共面．

推论1：

经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；

推论2：

经过两条相交直线，有且只有一个平面；

推论3：

经过两条平行直线，有且只有一个平面．

公理3及它的三个推论是确定点、线共面的依据．

公理4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行．

作用：

判断空间两条直线平行的依据．

2．空间直线的位置关系

（1）位置关系的分类：

（2）异面直线所成的角：

①定义：

设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．

②范围：

.

（3）定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

3．空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系

图形语言

符号语言

公共点

直线与平面

相交

a∩α＝A

1个

平行

a∥α

0个

在平面内

a⊂α

无数个

平面与平面

平行

α∥β

0个

相交

α∩β＝l

无数个

1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．

2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．

[试一试]

1．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；

（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；

（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．

上述命题中，真命题的序号是________（写出所有真命题的序号）．

2．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．

1．求异面直线所成角的方法

（1）平移法：

即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法．

（2）补形法：

即采用补形法作出平面角．

2．证明共面问题的两种途径

（1）首先由条件中的部分线（或点）确定一个平面，再证其他线（或点）在此平面内；

（2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．

3．证明共线问题的两种途径

（1）先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；

（2）直接证明这些点都在同一条特定直线上．

4．证明共点问题的常用方法

先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．

[练一练]

如图，在多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1.

（1）证明：

四边形ABED是正方形；

（2）判断B，C，F，G是否四点共面，并说明理由；

考点一

平面的基本性质及应用

1．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题：

（1）若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；

（2）若m⊂α，α∩β＝n，α⊥β，则m⊥n；

（3）若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n.

其中真命题是________（填序号）．

2．下列命题：

①经过三点确定一个平面；

②梯形可以确定一个平面；

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；

④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．

其中正确命题有________个．

3．如图，已知：

E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，证明：

EF，HG，DC三线共点．

[类题通法]

1．证明共点问题的关键是先确定点后，再证明此点在第三条直线上，这个第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明．

2．证明过程中要注意符号语言表达准确，公理成立的条件要完善．

考点二

空间两直线的位置关系

[典例]　

（1）已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是________．

（2）已知空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD的中点．

①求证：

BC与AD是异面直线；

②求证：

EG与FH相交．

[类题通法]

1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．

2．客观题中，也可用下述结论：

过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．

[针对训练]

若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则下列结论正确的是________．（填写序号）

①α内的所有直线与l异面

②α内不存在与l平行的直线

③α内存在唯一的直线与l平行

④α内的直线与l都相交

[课堂练通考点]

1．（2014·泰州期末）在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：

（1）若a∥b，b∥c，则a∥c；

（2）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；

（3）若a∥γ，b∥γ，则a∥b；

（4）若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.

其中真命题的序号为________．

2．已知m，n，l是三条直线，α，β是两个平面，下列命题中，正确命题的序号是________．

（1）若l垂直于α内两条直线，则l⊥α；

（2）若l平行于α，则α内有无数条直线与l平行；

（3）若m∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；

（4）若m⊥α，m⊥β，则α∥β.

3．（2013·南通三模）已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一）．

4．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：

①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；

②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；

③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；

④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．

其中真命题的个数是________．

5．（2014·苏州调研）设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：

（1）若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；

（2）若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；

（3）若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；

（4）若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直．其中所有真命题的序号是________．

[课下提升考能]

第Ⅰ组：

全员必做题

1．（2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研

（一））已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：

（1）若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α；

（2）若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；

（3）若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；

（4）若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α.

则所有正确命题的序号是________．

2．（2013·南京三模）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题：

（1）若l∥m，n⊥m，则n⊥l；

（2）若l∥m，m⊂α，则l∥α；

（3）若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥m；

（4）若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ.

其中真命题是________（写出所有真命题的序号）．

3．（2014·广州模拟）若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一）．

4．（2014·南京、盐城一模）下列四个命题：

（1）过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；

（2）过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；

（3）如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；

（4）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．

其中所有真命题的序号是________．

5．（2013·扬州三调）在所有棱长都相等的三棱锥PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列四个命题：

（1）BC∥平面PDF；

（2）DF∥平面PAE；

（3）平面PDF⊥平面ABC；

（4）平面PDF⊥平面PAE.

其中正确命题的序号为________．

6．（2013·南通二模）设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：

________（填序号）．

7.（2014·苏州调研）如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点．有以下四个命题：

（1）PA∥平面MOB；

（2）MO∥平面PAC；

（3）OC⊥平面PAC；

（4）平面PAC⊥平面PBC.

其中正确的是________（填序号）．

8．过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作________条．

9.如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．

10.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，

①GH与EF平行；

②BD与MN为异面直线；

③GH与MN成60°角；

④DE与MN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

11．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________对．

12．如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________．

第Ⅱ组：

重点选做题

1．（2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研

（二））在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α＋cos2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：

在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则________．

2．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊

AD，BE綊

FA，G，H分别为FA，FD的中点．

（1）求证：

四边形BCHG是平行四边形；

（2）C，D，F，E四点是否共面？

为什么？