尖子生专训3相交线平行线含答案.docx

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尖子生专训3相交线平行线含答案

尖子生专训3相交线平行线答案

1．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°

（1）求a、b的值；

（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？

若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．

解：

（1）∵a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2=0，∴a﹣3b=0，且a+b﹣4=0，∴a=3，b=1；

（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，

①当0＜t＜60时，3t=（20+t）×1，解得t=10；

②当60＜t＜120时，3t﹣3×60+（20+t）×1=180°，解得t=85；

③当120＜t＜160时，3t﹣360=t+20，解得t=190＞160，（不合题意）综上所述，当t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；

（3）设A灯转动时间为t秒，

∵∠CAN=180°﹣3t，∴∠BAC=45°﹣（180°﹣3t）=3t﹣135°，又∵PQ∥MN，∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°﹣3t=180°﹣2t，

而∠ACD=90°，∴∠BCD=90°﹣∠BCA=90°﹣（180°﹣2t）=2t﹣90°，∴∠BAC：

∠BCD=3：

2，即2∠BAC=3∠BCD．

2．如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为G．

（1）求证：

∠MAG+∠PBG=90°；

（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；

（3）若直线AD的位置如图3所示，

（2）中的结论是否成立？

若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．

解：

（1）如图1，∵MN∥PQ，∴∠MAG=∠BDG，∵∠AGB是△BDG的外角，BG⊥AD，

∴∠AGB=∠BDG+∠PBG=90°，∴∠MAG+∠PBG=90°；

（2）2∠AHB﹣∠CBG=90°或2∠AHB+∠CBG=90°，证明：

①如图，当点C在AG上时，

∵MN∥PQ，∴∠MAC=∠BDC，∵∠ACB是△BCD的外角，∴∠ACB=∠BDC+∠DBC=∠MAC+∠DBC，

∵AH平分∠MAC，BH平分∠DBC，∴∠MAC=2∠MAH，∠DBC=2∠DBH，∴∠ACB=2（∠MAH+∠DBH），

同理可得，∠AHB=∠MAH+∠DBH，∴∠ACB=2（∠MAH+∠DBH）=2∠AHB，

又∵∠ACB是△BCG的外角，∴∠ACB=∠CBG+90°，∴2∠AHB=∠CBG+90°，即2∠AHB﹣∠CBG=90°；

②如图，当点C在DG上时，

同理可得，∠ACB=2∠AHB，又∵Rt△BCG中，∠ACB=90°﹣∠CBG，∴2∠AHB=90°﹣∠CBG，即2∠AHB+∠CBG=90°；

（3）

（2）中的结论不成立．存在：

2∠AHB+∠CBG=270°；2∠AHB﹣∠CBG=270°．

①如图，当点C在AG上时，由MN∥PQ，可得：

∠ACB=360°﹣∠MAC﹣∠PBC=360°﹣2（∠MAH+∠PBH），∠AHB=∠MAH+∠PBH，

∴∠ACB=360°﹣2∠AHB，又∵∠ACB是△BCG的外角，∴∠ACB=90°+∠CBG，∴360°﹣2∠AHB=90°+∠CBG，

即2∠AHB+∠CBG=270°；

②如图，当C在DG上时，

同理可得，∠ACB=360°﹣2（∠MAH+∠PBH），∠AHB=∠MAH+∠PBH，

∴∠ACB=360°﹣2∠AHB，又∵Rt△BCG中，∠ACB=90°﹣∠CBG，∴360°﹣2∠AHB=90°﹣∠CBG，

∴2∠AHB﹣∠CBG=270°．

3．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：

∠BAN=2：

1．

（1）填空：

∠BAN=　60　°；

（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯互相平行？

（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？

若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．

解：

（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：

∠BAN=2：

1，∴∠BAN=180°×

=60°，故答案为：

60；

（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，

①当0＜t＜90时，如图1，

∵PQ∥MN，∴∠PBD=∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM=∠BDA，∴∠CAM=∠PBD∴2t=1•（30+t），解得t=30；

②当90＜t＜150时，如图2，

∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA=180°，∵AC∥BD，∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180°

∴1•（30+t）+（2t﹣180）=180，解得t=110，综上所述，当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；

（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．理由：

设灯A射线转动时间为t秒，

∵∠CAN=180°﹣2t，∴∠BAC=60°﹣（180°﹣2t）=2t﹣120°，又∵∠ABC=120°﹣t，

∴∠BCA=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣t，而∠ACD=120°，∴∠BCD=120°﹣∠BCA=120°﹣（180°﹣t）=t﹣60°，

∴∠BAC：

∠BCD=2：

1，即∠BAC=2∠BCD，∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．

4．如图1所示，已知BC∥OA，∠B=∠A=120°

（1）说明OB∥AC成立的理由．

（2）如图2所示，若点E，F在BC上，且∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF，求∠EOC的度数．

（3）在

（2）的条件下，若左右平移AC，如图3所示，那么∠OCB：

∠OFB的比值是否随之发生变化？

若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值．

（4）在（3）的条件下，当∠OEB=∠OCA时，求∠OCA的度数．

解：

（1）∵BC∥OA，∴∠B+∠O=180°，∴∠O=180°﹣∠B=60°，而∠A=120°，∴∠A+∠O=180°，∴OB∥AC；

（2）∵OE平分∠BOF，∴∠BOE=∠FOE，而∠FOC=∠AOC，∴∠EOF+∠COF=

∠AOB=

×60°=30°，即∠EOC=30°；

（3）比值不改变．∵BC∥OA，∴∠OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF，∵∠FOC=∠AOC，∴∠AOF=2∠AOC，∴∠OFB=2∠OCB，即∠OCB：

∠OFB的值为1：

2；

（4）设∠AOC的度数为x，则∠OFB=2x，

∵∠OEB=∠AOE，∴∠OEB=∠EOC+∠AOC=30°+x，而∠OCA=180°﹣∠AOC﹣∠A=180°﹣x﹣120°=60°﹣x，

∵∠OEB=∠OCA，∴30°+x=60°﹣x，解得x=15°，∴∠OCA=60°﹣x=60°﹣15°=45°．

5．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．

（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．

（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．

（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？

解：

（1）如图1，过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°；

（2）∠AKC=

∠APC．理由：

如图2，过K作KE∥AB，

∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，

过P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，

∴∠BAK+∠DCK=

∠BAP+

∠DCP=

（∠BAP+∠DCP）=

∠APC，∴∠AKC=

∠APC；

（3）∠AKC=

∠APC．

理由：

如图3，过K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，

∴∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK，过P作PF∥AB，

同理可得，∠APC=∠BAP﹣∠DCP，∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，

∴∠BAK﹣∠DCK=

∠BAP﹣

∠DCP=

（∠BAP﹣∠DCP）=

∠APC，∴∠AKC=

∠APC．

6．如图，已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．

（1）求∠CBD的度数；

（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？

若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．

（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ABC的度数是　30°　．

解：

（1）∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN=180°，∵∠A=60°，∴∠ABN=120°，∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，

∴∠CBP=

∠ABP，∠DBP=

∠NBP，∴∠CBD=

∠ABN=60°；

（2）不变化，∠APB=2∠ADB，

证明：

∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，又∵BD平分∠PBN，∴∠PBN=2∠DBN，∴∠APB=2∠ADB；

（3）∵AD∥BN，∴∠ACB=∠CBN，又∵∠ACB=∠ABD，∴∠CBN=∠ABD，∴∠ABC=∠DBN，

由

（1）可得，∠CBD=60°，∠ABN=120°，∴∠ABC=

（120°﹣60°）=30°，故答案为：

30°．

7．数学思考：

（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并证明你的结论

推广延伸：

（2）①如图2，已知AA1∥BA1，请你猜想∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；

②如图3，已知AA1∥BAn，直接写出∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、…∠Bn﹣1、∠An的关系

拓展应用：

（3）①如图4所示，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为　B　

A.180°+α+β﹣γB.180°﹣α﹣γ+β　C．β+γ﹣α　D．α+β+γ　

②如图5，AB∥CD，且∠AFE=40°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，请你根据上述结论直接写出∠GHM的度数是　30°　．

解：

（1）证明：

如图1，过点P作OP∥AB，

∵AB∥CD，∴OP∥AB∥CD，∴∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，即∠APC=∠PAB+∠PCD；

（2）①如图2，过点A2作A2O∥AA1，

由

（1）可知∠B1=∠A1+∠1，∠B2=∠2+∠A3，所以，∠B1+∠B2=∠A1+∠A2+∠A3；

②如图3，由①可知：

∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1；

（3）①如图4，过∠x的顶点作CD∥AB，则∠x=（180°﹣α）+（β﹣γ）=180°﹣α﹣γ+β，

②如图5，由

（1）可知，40°+∠GHM+50°=∠G+∠M，∵∠G=90°，∠M=30°，∴∠GHM=90°+30°﹣40°﹣50°=30°．

故答案为：

B；30°．

8．已知直线AB∥CD．

（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是　∠ABE+∠CDE=∠BED　．

（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？

请说明理由．

（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系　2∠BFD+∠BED=360°　．

解：

（1）∠ABE+∠CDE=∠BED．

理由：

如图1，作EF∥AB，∵直线AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED，

即∠ABE+∠CDE=∠BED．故答案为：

∠ABE+∠CDE=∠BED．

（2）∠BFD=

∠BED．

理由：

如图2，∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，∴∠ABF=

∠ABE，∠CDF=

∠CDE，

∴∠ABF+∠CDF=

∠ABE+

∠CDE=

（∠ABE+∠CDE），

由

（1），可得∠BFD=∠ABF+∠CDF=

（∠ABE+∠CDE）∠BED=∠ABE+∠CDE，∴∠BFD=

∠BED．

（3）2∠BFD+∠BED=360°．

理由：

如图3，过点E作EG∥CD，，∵AB∥CD，EG∥CD，∴AB∥CD∥EG，

∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，

由

（1）知，∠BFD=∠ABF+∠CDF，又∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，

∴∠ABF=

∠ABE，∠CDF=

∠CDE，∴∠BFD=

（∠ABE+∠CDE），∴2∠BFD+∠BED=360°．

故答案为：

2∠BFD+∠BED=360°．

9．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．

（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系　∠A+∠C=90°　；

（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：

∠ABD=∠C；

（3）如图3，在

（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．

解：

（1）如图1，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°，

（2）如图2，过点B作BG∥DM，

∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，又∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，

∵AM∥CN，BG∥AM，∴CN∥BG，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；

（3）如图3，过点B作BG∥DM，

∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由

（2）可得∠ABD=∠CBG，

∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，

∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，

△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，①

由AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，②

由①②联立方程组，解得α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．

10．已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点

（1）如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？

（2）当点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合，如图2和图3），上述

（1）中的结论是否还成立？

若不成立，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，不必写理由．

解：

（1）∠APB=∠PAC+∠PBD，如图1，过点P作PE∥l1，∴∠APE=∠PAC∵l1∥l2，∴PE∥l2，

∴∠BPE=∠PBD，∴∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD，∴∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）不成立，

如图2：

∠PAC=∠APB+∠PBD，理由：

过点P作PE∥l1，∴∠APE=∠PAC，∵l1∥l2，∴PE∥l2，

∴∠BPE=∠PBD，∵∠APB=∠APE﹣∠BPE=∠PAC﹣∠PBD，∴∠PAC=∠APB+∠PBD；

如图3：

∠PBD=∠PAC+∠APB，

理由：

过点P作PE∥l1，∴∠APE=∠PAC，∵l1∥l2，∴PE∥l2，∴∠BPE=∠PBD，

∵APB=∠BPE﹣∠APE=∠PBD﹣∠PAC，∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

11．已知，∠AOB=90°，点C在射线OA上，CD∥OE．

（1）如图1，若∠OCD=120°，求∠BOE的度数；

（2）把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°”，射线OE沿射线OB平移，得O′E，其他条件不变，（如图2所示），探究∠OCD、∠BO′E的数量关系；

（3）在

（2）的条件下，作PO′⊥OB垂足为O′，与∠OCD的平分线CP交于点P，若∠BO′E=α，请用含α的式子表示∠CPO′（请直接写出答案）．

解：

（1）∵CD∥OE，∴∠AOE=∠OCD=120°，∴∠BOE=360°﹣90°﹣120°=150°；

（2）如图2，过O点作OF∥CD，

∵CD∥OE，∴OF∥OE，∴∠AOF=180°﹣∠OCD，∠BOF=∠EO′O=180°﹣∠BO′E，

∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°﹣∠OCD+180°﹣∠BO′E=360°﹣（∠OCD+∠BO′E）=120°，∴∠OCD+∠BO′E=240°；

（3）∵CP是∠OCD的平分线，

∴∠OCP=

∠OCD，∴∠CPO′=360°﹣90°﹣120°﹣∠OCP=150°﹣

∠OCD=150°﹣

（240°﹣∠BO′E）=30°+

α．

12．探究：

如图①，已知直线l1∥l2，直线l3和l1，l2分别交于点C和D，直线l3上有一点P．

（1）若点P在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间有怎样的关系？

并说明理由．

（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（点P与点C、D不重合），请尝试自己画图，写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并说明理由．

（3）如图②，AB∥EF，∠C=90°，我们可以用类似的方法求出∠α、∠β、∠γ之间的关系，请直接写出∠α、∠β、∠γ之间的关系．

解：

（1）如图①，当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．

理由如下：

过点P作PE∥l1，

∵l1∥l2，∴PE∥l2∥l1，∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；

（2）如图甲，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．

理由如下：

∵l1∥l2，∴∠PEC=∠PBD，∵∠PEC=∠PAC+∠APB，∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

如图乙，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l2下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB．

理由如下：

∵l1∥l2，∴∠PED=∠PAC，∵∠PED=∠PBD+∠APB，∴∠PAC=∠PBD+∠APB．

（3）∠α+∠β﹣∠γ=90°．

证明：

如图②，分别过C、D作AB的平行线CM和DN，

∵AB∥EF，∴AB∥CM∥DN∥EF，∴∠α=∠BCM，∠MCD=∠NDC，∠NDE=∠γ，

∴∠α+∠β=∠BCM+∠CDN+∠NDE=∠BCM+∠MCD+∠γ，又∵BC⊥CD，∴∠BCD=90°，

∴∠α+∠β=90°+∠γ，即∠α+∠β﹣∠γ=90°．

13．如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．

（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；

（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．

解：

（1）∠BAE+∠CDE=∠AED．理由如下：

作EF∥AB，如图1，

∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE，∴∠BAE+∠CDE=∠AED；

（2）如图2，由

（1）的结论得∠AFD=∠BAF+∠CDF，

∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F，∴∠BAF=

∠BAE，∠CDF=

∠CDE，

∴∠AFD=

（∠BAE+∠CDE），∵∠BAE+∠CDE=∠AED，∴∠AFD=

∠AED；

（3）由

（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG，而射线DC沿DE翻折交AF于点G，

∴∠CDG=4∠CDF，∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=

∠BAE+2∠CDE=

∠BAE+2（∠AED﹣∠BAE）=2∠AED﹣

∠BAE，

∵90°﹣∠AGD=180°﹣2∠AED，∴90°﹣2∠AED+

∠BAE=180°﹣2∠AED，∴∠BAE=60°．

14．如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．

（1）填空：

AB与CD的关系为　AB∥CD，且AB=CD　，∠B与∠D的大小关系为　相等　

（2）如图2，若∠B=60°，F、E为BC的延长线上的点，∠EFD=∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．

（3）在

（2）中，若∠B=α，其它条件不变，则∠FDG=　

　．

解：

（1）AB∥CD，且AB=CD，∠B与∠D相等；

（2）∵AB∥CD，∴∠DCE=∠B，

由三角形的外角性质得，∠CDF=∠DFE﹣∠DCE，∴∠CDG=∠CDF+∠FDG=∠DFE﹣∠DCE+∠FDG，

在△DEF中，∠DEF=180°﹣2∠DFE，在△DFG中，∠DGF=180°﹣∠FDG﹣∠DFE，

∴∠EDG=∠DGF﹣∠DEF=180°﹣∠FDG﹣∠DFE﹣（180°﹣2∠DFE）=2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE，

∵DG平分∠CDE，∴∠CDG=∠EDG，∴∠DFE﹣∠DCE+∠FDG=2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE，

∴∠FDG=

∠DCE，即∠FDG=

∠B，∵∠B=60°，∴∠FDG=

×60°=30°；

（3）思路同

（2），∵∠B=α，∴∠FDG=

．故答案为：

（1）AB∥CD，且AB=CD，相等；（3）

．

15．问题情境：

如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．

小明的思路是：

过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．

（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为　110　度；

（2）问题迁移：

如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？

请说明理由；

（3）在

（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．

（1）解：

过点P作