新课标高考真题全国三卷文科数学.docx
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新课标高考真题全国三卷文科数学
2017年新课标高考真题全国三卷文科数学
一、单选题
1.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则AflB中元素的个数为
A.1B.2C.3D.4
2.更平面内表示复数z=i（-2+1）的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：
万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是（）
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4
4.己知sina-cosa=—，则sin2a=（）.
3
7227
A.B.C.—D.一
9999
3x+2y-6<0
5.设x,），满足约束条件0，则的取值范围是
D.[0,3]
>20
A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]
6.函数fix）=4sm（x+—）+cos（x-3）的最大值为536
63
A.—B.1C.—
55
7.函数y=l+x+^的部分图像大致为（）
8
.执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为
9.在正方体A5CQ—A瓦GR中，石为棱CO的中点，则（）.
A.AkE±DC1B.AkE1BDc.\E1BCtD.Afi1AC
22
11.（2017新课标全国卷匚文科）已知椭圆。
二+二=im〉b〉0）的左、右顶点分a-b~
别为3,4,且以线段出出为直径的圆与直线队—他+2而=0相切，则C的离心率
为
A.&B.3
33
C.立D.-
33
12.己知函数/（x）="2—2x+a（/T+eT+i）有唯一零点，则”
A—B.1C.\D.1
二、填空题
13.己知向量力=（一2,3）,6=（3,〃7）,且Z_l3,则加=.
222
14.（2017新课标全国HI文科）双曲线£一三=1（00）的一条渐近线方程为），=丁，
则（1=.
15.D15C的内角,4，瓦C的对边分别为dbc已知C=60°,b=«,c=3,则A=.
,fx+Lx<0,I
16.设函数/（X）=<…八则满足/（K）+/。
一乙）〉1的x的取值范围是
2,x>0,2
三、解答题
17.设数列｛（｝满足q+3%+…+（2〃-l）q,=2〃.
（1）求｛%｝的通项公式；
（2）求数列，mJ的前〃项和.
18.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：
□）有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20,25）,需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得卜.面的频数分布表：
最高
气温
[10,
15）
[15,
20）
[20,
25）
[25,
30）
[30,
35）
[35,
40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为丫（单位：
元），当六月份这种酸奶一天的进货量为45。
瓶时，写出丫的所有可能值，并估计丫大于零的概率.
19.如图，四面体,438中，二43c是正三角形，,10=8.
（1）证明：
.4。
二BD；
（2）己知二48是直角三角形,.43=3D若石为棱上与。
不重合的点，且工石二EC,求四面体ABCE与四面体工CDE的体积比.
20.在直角坐标系X。
：
中，曲线），=丁+加工一2与x轴交于且，5两点，点C的坐标为
（0,1）.当加变化时，解答下列问题：
（1）能否出现工。
二3c的情况？
说明理由；
（2）证明过X,B,C三点的圆在），轴上截得的弦长为定值.
21.已知函数/（x）=lnx+av，+（2。
+1）工
（1）讨论/（x）的单调性；
3
（2）当〃<0时，证明—--2.
22.
x=2十f,在直角坐标系xOy中，直线八的参数方程为《，（，为参数），直线h的参数方程
=kt,
f
x=-2+m,
_m（用为参数）.设八与，2的交点为产，当彳变化时，尸的轨迹为曲线C
r
（1）写出。
的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
/3：
Q（8se+su]e）-JT=o,m为，3与c的交点，求知的极径.
23.已知函数〃刈=卜+1|-|尸2|.
（1）求不等式AM多的解集；
（2）若不等式/（MN/t+w的解集非空，求实数小的取值范围.
2017年新课标高考真题全国三卷文科数学
参考答案
1.B
【解析】
由题意可得人口6={2.4},故4口8中元素的个数为2,所以选B.
【名师点睛】集合基本运算的关注点：
（1）看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.
（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决.
（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和、t皿图.
2.C
【解析】
Z=i（-2+i）=—1-21,则表示复数Z=i（-2+1）的点位于第三象限.所以选C.
【名师点睛】对于复数的四则运算，首先要切实掌握其运算技巧和常规思路，
如9+历）（c+di）=（ac-bd）+（ad+Z?
c）i（a,ac,d£H）.其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数〃+历（。
力£R）的实部为。
、虚部为〃、模为屈万、对应的点为（凡〃）、共甄复数为。
-阮
3.A
【解析】
【分析】
观察折线图可知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，且折线图呈现增长趋势，高峰都出现在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月波动性更小一
【详解】
对于选项A,由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错：
对于选项B,观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确：
对于选项C,D,由图可知显然正确,故选A.
【点睛】
本题考查折线图，考查考生的识图能力，属于基础题.
4.A
【解析】
【详解】
.c一（sina-cosa）--17
sm2a=2smacosa==——-
-19
所以选A.
【点睛】
本题考杳了二倍角及同角正余弦的差与枳的关系，属于基础题.
5.B
【解析】
作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.
目标函数即y=x-z,易知直线＞=%一［在）轴上的截距最大时，目标函数z=x-y取得最小值；在y轴上的截距最小时，目标函数z=x-y取得最大值,即在点4（0,3）处取得最小值，为Zw=0-3=-3；在点5（2,0）处取得最大值，
为入=2-0=2.故z=x-y的取值范围是［-3,2］.
所以选B.
【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即运用数形结合的思想解题.需要注意的是：
一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点处或边界上取得.
6.A
【解析】
由诱导公式可得cosx-^
\6）
函数/（X）的最大值为
所以选A.
【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为>=Asm（5+/+8的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征.
7.B
【解析】
【分析】结合函数的性质，特值及选项进行排除.
【详解】当X=1时，），=2+sinl>2,可以排除A,c选项;
由于>=X+芈是奇函数，所以y=l+x+W关于点（0,1）对称，所以B对，D错.厂厂
故选：
B.
【点睛】本题主要考查函数图象的识别，由解析式选择函数图象时，要注意特值法的使用，侧重考查直观想象的核心素养.
8.D
【解析】阅读程序框图，程序运行如下:
首先初始化数值：
1=l，M=100，S=0,然后进入循环体：
M
此时应满足YN,执行循环语句：
S=S+M=100,M=-元=-10」=f+l=2；此时应满足1KN,执行循环语句：
S=S+M=90,M=--=l,r=r+l=3；此时满足S<91,可以跳出循环，则输入的正整数N的最小值为2.
故选D.
【名师点睛】对算法与程序框图的考查，侧重于对程序框图中循环结构的考查.先明晰算法及程序框图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的起始条件、循环次数、循环的终止条件，更要通过循环规律，明确程序框图研究的数学问题，是求和还是求项.
9.B
【解析】
绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：
AC=LA8=g,结合勾股定理，底面半径厂=/一（习一=#,
由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是V=兀/人=兀、4xl=2兀，故选B.
【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.
10.C
【解析】
【分析】
画出图形，结合图形根据空间中的垂直的判定对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论.
【详解】
画出正方体A6CD—A与GA，如图所示.
对于选项A,连若4f_LQG，又。
G，A2,所以。
G_L平面AER,所以可得
DCJQE,显然不成立，所以A不正确.
对于选项B,连4E，若AE_L8。
，又6O_LAA，所以08_L平面AAE,故得8D_LAE，显然不成立，所以B不正确.
对于选项C,连AR,则A。
1118G.连A。
，则得AOJARAOJE。
，所以A。
_1_平
面4。
七，从而得AA_L4E,所以AE_L6C].所以C正确.
对于选项D,连AE,若AE_LAC,又AC1A4],所以4C_L平面AAE,故得AC_LAE,显然不成立，所以D不正确.
故选C.
【名师点睛】
本题考查线线垂直的判定，解题的关键是画出图形，然后结合图形并利用排除法求解，考查数形结合和判断能力，属于基础题.
11.A
【解析】
以线段A4为直径的圆的圆心为坐标原点（o，。
），半径为，.=〃，圆的方程为
x2+y2=a2,
直线法—令，+2"=。
与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即
2ab
a==a,
>Ja2+b2
整理可得M=3b，,即cr=3（/-/）,即2a2=3c2,
从而e?
=£=2,则椭圆的离心率6=£=区=理，cr3a\33
故选A.
【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就
是确立一个关于的方程或不等式，再根据凡上。
的关系消掉人得到
的关系式，而建立关于。
力,。
的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的
几何性质、点的坐标的范围等.
12.C
【解析】
函数f（%）的零点满足/—2%=—a（—T+e-x+1）»
因（%）=e"T+e-X+1，则g'（'）=Ji--士=
ee
当g'（x）=。
时，X=1；当XV1时，gf（x）<0»函数g（x）单调递减；
当x>l时，gf（x）>0,函数g（x）单调递增，
当x=l时，函数g（'）取得最小值，为9
（1）=2.
设也（%）=/一2%,当％=1时，函数九（%）取得最小值，为一1,
若>0,函数M'）与函数没有交点；
若一。
<0,当—初
（1）=九
（1）时，函数M%）和—初（、）有一个交点，
即一ax2=-l,解得a=》.故选C.
【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：
（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解.
（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
13.2
【解析】
由题意可得—2x3+3"?
=。
解得〃?
=2.
【名师点睛】
（1）向量平行:
。
〃〃=>为力=£乂，a//b,b^Q^>BAeR,a=Ab9
BA=AAC<^>OA=-OB+-OC.
1+21+2
（2）向量垂直：
"_1_〃<=>。
〃=0<=>占占+）1%=0.
（3）向量的运算：
a±b=（xl±x2,yl±y2\a2=\a^a-b^a\-\b\cos（a.b）.
14.5
【解析】
3
由双曲线的标准方程可得渐近线方程为y=±,x,结合题意可得。
=5.
【名师点睛】1.已知双曲线方程£-1=1（。
>0①>0）求渐近线：
CTb-
厂）厂八b
1-7^=0=>y=±-x.
a"b~a
2.已知渐近线>'=心设双曲线的标准方程为〃-r=2.
3.双曲线的焦点到渐近线的距离为〃，垂足为对应准线与渐近线的交点.
15.75。
【解析】
由正弦定理一^7=',得.口bsmC&与V2,结合可得
sin8smCsinB==——-^-=--
c32
5=45,则A=180'—6—C=75°.
【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：
定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：
定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：
求结果.
1、
16.（一了一）
【解析】
由题意得：
当X〉；时，2'+2尸！
>1恒成立，即X〉；；当时，
2'+X--+1>1恒成立，B[J01=>%>--,
2224
即一！
44
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.
【解析】
【分析】
（1）利用递推公式，作差后即可求得｛an｝的通项公式.
【详解】
（1）数歹iJ｛〃〃｝满足a1+3勾+.・・+（2〃-1）沏=2〃
n>2时+3白2+.・・+（2〃-3）a〃_]=2（〃一1）
口（2〃—1）4=2
_2
匚an=
“2〃-1
当〃=1时,q=2，上式也成立
2
匚an=
〃27?
-1
（2）——==-
2/7+1（2〃-1）（2〃+1）2/7-12n+1
1
2/7+1
I12〃
=1=
2n+12/7+1
【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式，裂项法求和的简单应用,属于基础题.
34
18.
（1）
（2）
55
【解析】
【分析】
（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间［20,25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率.
（2）当温度大于等于25匚时，需求量为500,求出丫=900元；当温度在［20,25）匚时，需求量为300,求出丫=300元；当温度低于20二时，需求量为200,求出丫=-100元,从而当温度大于等于20时，r>0,由此能估计估计丫大于零的概率.
【详解】
解：
（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间［20,25）和最高气温低于20的天数为2+16+36=54,
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：
0）有关.
如果最高气温不低于25,需求量为500瓶，
如果最高气温位于区间［20,25）,需求量为300瓶，
如果最高气温低于20,需求量为200瓶，
543
口六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p=丽=5.
（2）当温度大于等于25口时，需求量为500,
7=450x2=900元，
当温度在［20,25）□时,需求量为300,
7=300x2-（450-300）x2=300元，
当温度低于20口时，需求量为200,
r=400-（450-200）X2=-100元，
当温度大于等于20时，r>o,
由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20二的天数有:
90-（2+16）=72,
724二估计丫大于零的概率p=—=-.
903
【点睛】
本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题.
19.
（1）见解析；
（2）1:
1.
【解析】
试题分析：
（1）取AC的中点。
，由等腰三角形及等边三角形的性质得AC,03,ACVOB,再根据线面垂直的判定定理得人C_L平面08。
，即得』。
口8。
；
（2）先由』石二石。
，结合平面几何知识确定七。
=gAC,再根据锥体的体积公式得所求体积之比为1:
1.
试题解析:
（1）取月。
的中点。
，连结OO,BO.
因为且0=8,所以/。
口。
。
.
又由于aASC是正三角形，所以/C匚50.
及、而月。
二平面故月
（2）连结EO.
由
（1）及题设知匚4。
。
=90。
，所以OCKWO.
在HMAO5中，BO-+\O-=AB2.
又AB=BD,所以
BO2+DO-=BO2+AO2=AB2=BD2,故口。
。
5=90。
.
由题设知△A£C为直角三角形，所以七O=；AC.
又AAbC是正三角形，且但皿所以石。
故石为AO的中点，从而E到平面.W5C的距离为D到平面.45。
的距离的：
，
四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的?
，即四面体A8CE与四面体2
月8石的体积之比为1:
1.
【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：
（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
20.
（1）不会；
（2）详见解析
【解析】
试题分析：
（1）设人（a0）,8（々,0）,由是。
口3。
得XW+l=0；由根与系数的关
系得占三=-2,矛盾，所以不存在；
（2）求出过4B,C三点的圆的圆心坐标
和半径，即可得圆的方程，再利用垂径定理求弦长.
试题解析：
（1）不能出现月。
二5c的情况，理由如下：
设A（±,0）,8（&,0）,则演，当满足/+限.2=0,所以演Z=-2.
-1-11
又c的坐标为（o,1）,故月。
的斜率与5c的斜率之积为一。
一二一不，所
X]x2L
以不能出现月。
匚5c的情况.
（2）5。
的中点坐标为（31）,可得8C的中垂线方程为了一；=&（工一5）・
/〃
x=
2
由
（1）可得用+当=-/“，所以4g的中垂线方程为工=一3.乙
m
x=,
联立（2又石+〃丐-2=0,可得,
v——=x^x———,
r2-2
所以过/、B、C三点的圆的圆心坐标为（_勺，二）,半径r=亚乏9,222
故圆在y轴上截得的弦长为2/丐＞=3,即过工B、。
三点的圆在y
轴上截得的弦长为定值.
【名师点睛】直线与圆综合问题的常见类型及解题策略：
（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.代数方法：
运用根与系数的关系及弦长公式：
\AB\=\/l+k2-x2\=J]+k-+x?
I—4占4;
（2）圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.
21.
（1）见解析;
（2）见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：
（1）先求函数导数/'（X）=（2=+1）（"十"（—＞0）,再根据导函数符号的变化情
X
况讨论单调性：
当。
20时，f\x）＞0,则/（x）在（0,2）单调递增；当〃＜0时，在
113
（0,_）单调递增，在（_讨）单调递减.
（2）证明丁—2,即证
2a2a4a
3111
（一丁—2,而/（x）皿x=/（一丁），所以需证1H（-丁）+-+100,设g（'）4aza2a2a
=lnx-x+l,利用导数易得g（x）皿.=^
（1）=0,即得证.
试题解析：
（1）/（x）的定义域为（0,+8）,f\x）=L+2ax+2a+l=（x+1）（2ax+1）XX
若定0，则当X口（0,+8）时，f\x）＞0,故/（X）在（0,+8）单调递增.
若4V0,则当X二/（x）＞0时，/'（x）＞0；当足（一」-,+力）时，/'“）＜0.故/（、）在2a
1
f*）＞0单调递增，在（—^—,+8）单调递减.
2a
（2）由
（1）知，当〃＜0时，/（X）在工=—取得最大值，最大值为
2a
£/1一1,1
2a2a4ci
311311
所以/（x）K2等价于ln（——）-1——<2,即ln（——）+—+1<0.
4a2a4。
4a2a2a
1
设g（x）=lnx-x+l,则g（x）=-—1.x
当xn（0,1）时，g'（x）>0；当X二（1,+8）时，g'（x）<0.所以g（x）在（0,1）单调递
增，在（1,+8）单调递减,故当户1时，g（X）取得最大值，最大值为g
（1）=0,所以当、
113
>0时，g（x）go.从而当4Vo时，111（）H1-1<0,即/（X）<2.
2a2a4。
【名师点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：
（1）构造差函数/?
W=/（x）-g（M.根据差函
数导函数符号，确定
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