暑期课程人教版七年级下册数学讲义初一升初二第4讲相交线与平行线教师版.docx
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暑期课程人教版七年级下册数学讲义初一升初二第4讲相交线与平行线教师版
2021暑期课程人教版七年级下册数学讲义初一升初二-
第4讲:
相交线与平行线
知识讲解
1、对顶角和邻补角
1.对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角。
易错点:
①对顶角都是成对出现的,单独的角不能构成对顶角;②两条直线相交构成两对对顶角;③对顶角只有公共顶点、没有公共边,它们的两边互为反向延长线。
2.如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角。
易错点:
①邻补角有一条公共边,另一边互为反向延长线;②邻补角≠补角;③两相交直线可以形成四对邻补角。
2、三线八角
1.同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,都是平行线特有的性质,切不可忽略前提条件:
“两直线平行”。
当两直线不平行时,同位角、内错角就不相等,同旁内角不互补。
2.只要两条直线被第三条直线所截,都存在同位角、内错角,但不一定相等,同旁内角不一定互补。
3.证明两直线平行时,必须弄清所用条件中的同位角、内错角、同旁内角是哪两条直线被哪一条直线所截而成的,因为推出的结论是除截线外的另两条直线平行.
3、线段与垂线段
“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”的联系与区别:
1.线与垂线段
✓区别:
垂线是一条直线,不可度量长度;垂线段是一条线段,可以度量长度。
✓联系:
具有垂直于已知直线的共同特征,且都是图形。
(垂直的性质)
2.点间距离与点到直线的距离
✓区别:
两点间的距离是点与点之间,点到直线的距离是点与直线之间。
✓联系:
都是线段的长度,是数量;点到直线的距离是已知点与垂足间距离。
3.线段与距离:
距离是线段的长度,是一个量;线段是一种图形,它们之间不能等同。
例题精析
【教学建议】
此处内容主要用于教师课堂的精讲,每个题目结合试题本身、答案和解析部分,教师有的放矢的进行讲授或与学生互动练习。
例1
【题干】如图,为解决A、B、C、D四个小区的缺水问题,市政府准备投资修建一个水厂,
(1)不考虑其他因素,请你画图确定水厂H的位置,使之与四个小区的距离之和最小.
(2)另外,计划把河流EF中的水引入水厂H中,使之到H的距离最短,请你画图确定铺设引水管道的位置,并说明理由.
【答案】
(1)
连接AC和BD,线段AC和BD的交点H点就是水厂的位置.
(2)理由是:
垂线段最短.
【解析】
(1)线段AC和BD的交点即是水厂的位置.
(2)过点H作直线EF的垂线段即可.
例2
【题干】学习平行线后,小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的(如图
(1)~(4)),从图中可知,小敏画平行线的依据有( )
①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;
③同位角相等,两直线平行;④内错角相等,两直线平行.
A.①②B.②③C.③④D.①④
【答案】C.
【解析】理解折叠的过程,图中的虚线与已知的直线垂直,故过点P所折折痕与虚线垂直.
例3
【题干】如图,AB∥CD,P为AB、CD之间的一点,已知∠1=32°,∠2=25°,求∠BPC的度数.
【答案】解法1:
过P作射线PN∥AB.
∵AB∥CD,∴PN∥CD,∴∠4=∠2=25°.
∵PN∥AB,∴∠3=∠1=32°.
∴∠BPC=∠3+∠4=32°+25°=57°.
解法2:
过P作射线PM∥AB.∵AB∥CD,∴PM∥CD.
∴∠6=180°-∠2=180°-25°=155°.
∵AB∥PM,
∴∠5=180°-∠1=180°-32°=148°,
∴∠BPC=360°-∠5-∠6=360°-148°-155°
=57°.
例4
【题干】定义:
直线l1与l2相交于点O,对于平面内任意一点M,点M到直线l1、l2的距离分别为p、q,则称有序实数对(p,q)是点M的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐标”是(1,2)的点的个数是( )
A.2B.3C.4D.5
【答案】C.
【解析】理解新定义,掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键.
例5
【题干】如图,一块边长为8米的正方形土地,在上面修了三条道路,宽都是1米,空白的部分种上各种花草.
(1)请利用平移的知识求出种花草的面积.
(2)若空白的部分种植花草共花费了4620元,则每平方米种植花草的费用是多少元?
【答案】
(1)(8﹣2)×(8﹣1)=6×7=42(米2),答:
种花草的面积为42米2.
(2)4620÷42=110(元),答:
每平方米种植花草的费用是110元.
【解析】解决此题关键是要利用平移的知识,把要求的所有道路平移到矩形的边上进行计算.
课堂运用
【教学建议】
在对课堂知识讲解完,把握了重点突破了难点以及练习精讲了之后,再用练习进行课堂检测,根据学生情况建议分3个难度层次:
易,中,难。
基础
1.点A到直线l的距离为7cm,点B到直线l的距离为3cm,线段AB的长度为( )
A.10cmB.4cmC.10cm或4cmD.至少4cm.
2.如图1,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在D′,C′的位置.若∠EFB=65°,则∠AED′的度数为。
E
D
B
C′
F
C
D′
A
图1
3.如图3,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,
,则
的度数等于。
1
2
3
图3
4.已知:
如图所示,DF∥AC,∠1=∠2.试说明DE∥AB.
5.如图所示,直线AB、CD相交于O,OE平分∠AOD,∠FOC=90°,∠1=40°,求∠2和∠3的度数.
答案与解析
1.【答案】D.
【解析】此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短.
2.【答案】57.5°
3.【答案】20°
4.【答案】略
5.【答案】∵∠FOC=90°,∠1=40°,AB为直线,
∴∠3+∠FOC+∠1=180°,
∴∠3=180°﹣90°﹣40°=50°.
∠3与∠AOD互补,
∴∠AOD=180°﹣∠3=130°,
∵OE平分∠AOD,
∴∠2=
∠AOD=65°.
巩固
1.如图所示,要得到DE∥BC,需要条件()
A.CD⊥AB,GF⊥ABB.∠DCE+∠DEC=180°
C.∠EDC=∠DCBD.∠BGF=∠DCB
2.如图所示,AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线,则∠1+∠2+∠3+∠4=__________.
3.解放战争时期,有一天江南某游击队在村庄A点出发向正东行进,此时有一支残匪在游击队的东北方向B点处(如图所示,残匪沿北偏东60°角方向,向C村进发.游击队步行到A’处,A’正在B的正南方向上,突然接到上级命令,决定改变行进方向,沿北偏东30°方向赶往C村.问游击队进发方向A’C与残匪行进方向BC至少是多少角度时,才能保证C村村民不受伤害?
4.如图所示,已知AB∥DE,∠ABC=60°,∠CDE=140°,求∠BCD的度数
5.如图,DE∥CB,试证明∠AED=∠A+∠B。
答案与解析
1.【答案】C
2.【答案】540°
3.【答案】根据题意∠DBC=60°,∠BA’C=30°.过点C作CE∥A’B,
则∠BCE=∠DBC=60°,∠A’CE=∠BA’C=30°.
∴∠BCA’=∠BCE-∠A’CE=60°-30°=30°.
夹角至少为30°时才能保证C村村民不受伤害.
4.【答案】略
5.【答案】略
拔高
1.如图3个图中,均有AB∥CD,
(1)如图1,点P为AB、CD间的一个折点,则∠1、∠2、∠3的关系是___________;
(2)如图2,在
(1)的基础上增加一个折点,则∠1、∠2、∠3、∠4的关系是___________;
(3)如图3,当AB、CD间有三个折点时,则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系是___________;
(4)通过以上4题的探究,从中寻找规律,并解答,当AB、CD间有n个折点时,则∠1、∠2、……
∠n+2之间的关系是____________________________________。
(n为正整数)
2.如图,已知:
AC∥DE,DC∥EF,CD平分∠BCA.求证:
EF平分∠BED.(证明注明理由)
答案与解析
1.【答案】
2.【答案】证明:
∵AC∥DE(已知),
∴∠BCA=∠BED(两直线平行,同位角相等),
即∠1+∠2=∠4+∠5,
∵AC∥DE,
∴∠1=∠3(两直线平行,内错角相等);
∵DC∥EF(已知),
∴∠3=∠4(两直线平行,内错角相等);
∴∠1=∠4(等量代换),
∴∠2=∠5(等式性质);
∵CD平分∠BCA(已知),
∴∠1=∠2(角平分线的定义),
∴∠4=∠5(等量代换),
∴EF平分∠BED(角平分线的定义).
课堂小结
【教学建议】
此处内容主要用于教师对本节课重点内容进行总结,一方面是对本节课的重点难点内容的回顾,更重要的是针对这节课学生出现的问题再次进行复习提问等,以达到让学生课上掌握的目的,同时可以对下节课内容进行简单的铺垫,以体现出本节课内容与下节课内容之间的关系。
1、基本几何模型:
例如,AB∥CD,∠ABE=∠DCF,求证:
BE∥CF.
(1)如图1:
拐角处巧添平行线(拐角+平行线)
(2)如图2:
寻找“中介角”,把已知角联系起来.
2、设计作图:
(1)利用垂线段最短作图;
(2)利用平行线之间距离处处相等作图(等积变换作图):
✓基本图形:
课后作业
【教学建议】
教师根据学生掌握情况有针对性的进行课后作业的布置,掌握好的同学可以适当的布置难度大一些的作业,成绩一般的同学可以以基础题和巩固题目为主,但是一定要控制作业的数量,给学生布置的作业一般不要超过5题,这样学生才能保证做题的质量。
基础
1.有下列命题:
①两条直线被第三条直线所截,同位角相等;②两点之间,线段最短;③相等的角是对顶角;④两个锐角的和是锐角;⑤同角或等角的补角相等.正确命题的个数是( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
2.体育课上,老师测量跳远成绩的依据是().
A.平行线间的距离相等B.两点之间,线段最短C.垂线段最短D.两点确定一条直线
3.如图所示,已知AB∥CD,CE平分∠ACD,∠A=110°,则∠ECD的度数等于()
A.110°B.70°C.55°D.35°
4.两条平行线被第三条直线所截,角平分线互相垂直的是()
A.内错角B.同旁内角C.同位角D.内错角或同位角
5.如图9,
则
.
A
B
D
C
1
2
3
答案与解析
1.【答案】A
【解析】此题考查的知识点多,用平行线的性质,对顶角性质,补角的定义等来一一验证.
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】20°
巩固
1.12.如图,给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法,其依据是( )
A、同位角相等,两直线平行 B、内错角相等,两直线平行
C、同旁内角互补,两直线平行 D、两直线平行,同位角相等
2.如图,探照灯、锅形天线、汽车灯以及其它很多灯具都与抛物线形状有关,如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面,从位于O点的灯泡发出的两束光线OB、OC经灯碗反射以后平行射出.如果图中
,则
的度数为()
A、
B、
C、
D、
A
D
O
B
C
第15题
3.如图是我们生活中经常接触的小刀,刀柄外形是一个直角梯形(下底挖去一小半圆),刀片上、下是平行的,转动刀片时会形成∠1、∠2,求∠1+∠2的度数。
4.如图,AB∥CD,AE交CD于点C,DE⊥AE,垂足为E,∠A=37º,求∠D的度数.
A
B
C
D
E
5.如图所示,已知AB⊥BC,BC⊥CD,∠1=∠2,试判断BE与CF的关系,并说明理由.
答案与解析
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】90°
4.【答案】略
5.【答案】略
拔高
1.已知:
如图,AB∥CD,请你观察∠E、∠B、∠D之间有什么关系,并说明你所得的结论
2.如图1,AB∥CD,EOF是直线AB、CD间的一条折线.
(1)说明:
∠O=∠BEO+∠DFO.
(2)如果将折一次改为折二次,如图-2,则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系,试说明你的结论.
A
B
C
F
D
E
O
图-1
A
B
C
F
D
E
O
图-2
P
3.如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠ACB的大小关系,并说明理由.
答案与解析
1.【答案】略
2.【答案】略
3.【答案】∠AED=∠ACB.
理由:
∵∠1+∠4=180°(平角定义),∠1+∠2=180°(已知).
∴∠2=∠4.
∴EF∥AB(内错角相等,两直线平行).
∴∠3=∠ADE(两直线平行,内错角相等).
∵∠3=∠B(已知),
∴∠B=∠ADE(等量代换).
∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行).
∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等)