故k的取值范围为.
对于数列，an和Sn有关系an＝这是一种重要的关系，是已知Sn求通项an的常用方法.首先利用Sn“复制”出Sn－1，就是“用两次”，再作差求出an.
三、预测押题不能少
1．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S－（n2＋n－3）Sn－3（n2＋n）＝0，n∈N*.
（1）求a1的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）证明：
对一切正整数n，有＋＋…＋<.
解：
（1）由题意知，
S－（n2＋n－3）Sn－3（n2＋n）＝0，n∈N*.
令n＝1，有S－（12＋1－3）S1－3×（12＋1）＝0，
可得S＋S1－6＝0，解得S1＝－3或2，
即a1＝－3或2，又an为正数，所以a1＝2.
（2）由S－（n2＋n－3）Sn－3（n2＋n）＝0，n∈N*可得，
（Sn＋3）（Sn－n2－n）＝0，则Sn＝n2＋n或Sn＝－3，
又数列{an}的各项均为正数，
所以Sn＝n2＋n，Sn－1＝（n－1）2＋（n－1），
所以当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[（n－1）2＋（n－1）]＝2n.
又a1＝2＝2×1，所以an＝2n.
（3）证明：
当n＝1时，＝＝<成立；
当n≥2时，＝<
＝，
所以＋＋…＋
<＋
＝＋<＋＝.
所以对一切正整数n，
有＋＋…＋<.
一、基础知识要记牢
累加即利用恒等式bn＝b1＋（b2－b1）＋（b3－b2）＋…＋（bn－bn－1）求通项；累乘即利用恒等式an＝a1···…·求通项．
二、经典例题领悟好
[例2]
（1）已知正项数列{an}中，a1＝1，且（n＋2）·a－（n＋1）a＋anan＋1＝0，则它的通项公式为（ ）
A．an＝ B．an＝
C．an＝D．an＝n
（2）已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝an（1－nan＋1），则数列{an}的通项公式为________．
[解析]
（1）因为（n＋2）a－（n＋1）a＋anan＋1＝0，所以[（n＋2）an＋1－（n＋1）an]（an＋1＋an）＝0.
又{an}为正项数列，
所以（n＋2）an＋1－（n＋1）an＝0，即＝，
则当n≥2时，an＝··…··a1＝··…··1＝，
又a1＝1＝，满足上式，故an＝.故选B.
（2）原数列递推公式可化为－＝n，令bn＝，则bn＋1－bn＝n，因此bn＝（bn－bn－1）＋（bn－1－bn－2）＋…＋（b3－b2）＋（b2－b1）＋b1＝（n－1）＋（n－2）＋…＋2＋1＋1＝，所以an＝.
[答案]
（1）B
（2）an＝
（1）累加、累乘是课本中求等差比数列通项方法的推广，若已知＝g（n）且g（n）可以求积，则可以利用恒等式an＝a1··…求通项.若已知bn＋1－bn＝f（n）且f（n）可以求和，则可以利用恒等式bn＝b1＋（b2－b1）＋（b3－b2）＋…＋（bn－bn－1）解出通项；基本方法都有很大的“弹性空间”，把握其思想精髓就可以大有作为.
（2）给出数列的递推关系求通项时通常利用代入法、整体换元法等求解，不必考虑特殊技巧.
三、预测押题不能少
2．
（1）已知数列{an}，a1＝1，an＝2an－1＋1（n≥2，n∈N*），则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：
由an＝2an－1＋1（n≥2，n∈N*），设an＋t＝2（an－1＋t）（n≥2），所以2t－t＝1，解得t＝1，所以an＋1＝2（an－1＋1）（n≥2），所以＝2，又a1＋1＝2，所以{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1.
答案：
2n－1
（2）已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝（n∈N*），则数列{an}的通项公式为________．
解析：
因为an＋1＝（n∈N*），所以＝＋1，设＋t＝3，所以3t－t＝1，解得t＝，所以＋＝3，又＋＝1＋＝，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以＋＝×3n－1＝，所以an＝.
答案：
an＝
[知能专练（九）]
一、选择题
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于（ ）
A．8B．10C．12D．14
解析：
选C 设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1＋3d，所以12＝3×2＋3d，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C.
2．已知等差数列{an}满足a2＝3，a5＝9，若数列{bn}满足b1＝3，bn＋1＝abn，则{bn}的通项公式为bn＝（ ）
A．2n－1B．2n＋1
C．2n＋1－1D．2n－1＋2
解析：
选B 据已知易得an＝2n－1，故由bn＋1＝abn可得bn＋1＝2bn－1，变形为bn＋1－1＝2（bn－1），即数列{bn－1}是首项为2，公比为2的等比数列，故bn－1＝2n，解得bn＝2n＋1.故选B.
3．已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5且对于大于2的正整数，总有an＝an－1－an－2，则a2018等于（ ）
A．－5B．5C．－3D．3
解析：
选B an＋6＝an＋5－an＋4＝an＋4－an＋3－an＋4＝－（an＋2－an＋1）＝－an＋2＋an＋1＝－（an＋1－an）＋an＋1＝an，故数列{an}是以6为周期的周期数列，∴a2018＝a336×6＋2＝a2＝5，故选B.
4．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝an－1＋n（n≥2，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为（ ）
A．an＝ B．an＝
C．an＝n＋2D．an＝（n＋2）3n
解析：
选B 由an＝an－1＋n（n≥2且n∈N*），得3nan＝3n－1an－1＋1,3n－1an－1＝3n－2an－2＋1，…，32a2＝3a1＋1，以上各式相加得3nan＝n＋2，故an＝.
5．（2017·宝鸡模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4（n＋1）（Sn＋1）＝（n＋2）2an，则数列{an}的通项公式为an＝（ ）
A．（n＋1）3B．（2n＋1）2
C．8n2D．（2n＋1）2－1
解析：
选A 当n＝1时，4（1＋1）（a1＋1）＝（1＋2）2a1，解得a1＝8，当n≥2时，由4（Sn＋1）＝，得4（Sn－1＋1）＝，两式相减得，4an＝－，即＝，所以an＝··…··a1＝··…··8＝（n＋1）3，经验证n＝1时也符合，所以an＝（n＋1）3.
6．在各项均不为零的数列{an}中，若a1＝1，a2＝，2anan＋2＝an＋1an＋2＋anan＋1（n∈N*），则a2018＝（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选C 因为2anan＋2＝an＋1an＋2＋anan＋1（n∈N*），所以＝＋，所以是等差数列，其公差d＝－＝2，所以＝1＋（n－1）×2＝2n－1，an＝，所以a2018＝.
二、填空题
7．已知数列{an}中，a3＝3，an＋1＝an＋2，则a2＋a4＝________，an＝________.
解析：
因为an＋1－an＝2，所以{an}为等差数列且公差d＝2，由a1＋2d＝3得a1＝－1，所以an＝－1＋（n－1）×2＝2n－3，a2＋a4＝2a3＝6.
答案：
6 2n－3
8．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a2＝1，{nSn＋（n＋2）an}为等差数列，则{an}的通项公式an＝________.
解析：
因为{nSn＋（n＋2）an}为等差数列，且S1＋3a1＝4,2S2＋4a2＝8，则该等差数列的公差为4，所以nSn＋（n＋2）an＝4＋4（n－1）＝4n，即Sn＋an＝4，Sn－1＋an－1＝4（n≥2），两式相减整理得＝（n≥2），则an＝a1···…·＝×1×××…×＝，经验证n＝1时也符合，所以an＝.
答案：
9．如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．
解析：
设△A1B1O的面积为S0，梯形AnBnBn＋1An＋1的面积为S⇒＝2⇒S＝3S0，
＝2⇒＝2.
由上面2种情况得＝2
⇒222·…·2＝2＝···…·＝⇒2＝⇒an＋1＝，且a1＝1⇒an＝，n∈N*.
答案：
an＝，n∈N*
三、解答题
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1（n≥2）．
（1）求a2，a3；
（2）证明：
an＝.
解：
（1）易知a2＝4，a3＝13.
（2）证明：
由于an＝3n－1＋an－1（n≥2），
∴an－an－1＝3n－1（n≥2）．
∴an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1
＝3n－1＋3n－2＋…3＋1＝（n≥2），经检验，n＝1时也满足上式，故an＝.
11．数列{an}满足a1＝1且8an＋1an－16an＋1＋2an＋5＝0（n≥1），记bn＝（n≥1）．
（1）求b1，b2，b3，b4的值；
（2）求数列{bn}的通项及数列{anbn}的前n项和Sn.
解：
（1）由bn＝，得an＝＋.
代入递推关系8an＋1an－16an＋1＋2an＋5＝0，
整理得－＋＝0.
即bn＋1＝2bn－.
由a1＝1得b1＝2，
所以b2＝，b3＝4，b4＝.
（2）∵bn＋1＝2bn－，
∴bn＋1－＝2，b1－＝≠0.
∴是以为首项，以2为公比的等比数列．
故bn－＝×2n，即bn＝×2n＋.
由bn＝得anbn＝bn＋1，
故Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn
＝（b1＋b2＋…＋bn）＋n
＝＋n
＝（2n＋5n－1）．
12．（2016·浙江高考）设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.
（1）求通项公式an；
（2）求数列{|an－n－2|}的前n项和．
解：
（1）由题意得则
又当n≥2时，由an＋1－an＝（2Sn＋1）－（2Sn－1＋1）＝2an，得an＋1＝3an，又a2＝2，则an＝3n－1，而n＝1时也符合该式，
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.
（2）设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，则b1＝2，b2＝1.
当n≥3时，由于3n－1＞n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.
设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3，
当n≥3时，Tn＝3＋－＝，
因为当n＝2时，也符合Tn＝.
所以Tn＝
第二讲
等差数列、等比数列
一、基础知识要记牢
等差数列
等比数列
概念
an－an－1＝d，n≥2
＝q，n≥2
通项公式
an＝a1＋（n－1）d
an＝a1qn－1（q≠0）
前n项和
Sn＝＝
na1＋d
（1）q≠1，Sn＝＝
（2）q＝1，Sn＝na1
二、经典例题领悟好
[例1]
（1）（2017·全国卷Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：
“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
”意思是：
一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏
C．5盏D．9盏
（2）设等比数列{an}中，若a3＝3，且a2017＋a2018＝0，则S101等于（ ）
A．3B．303
C．－3D．－303
[解析]
（1）每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝＝381，解得a1＝3.
（2）∵等比数列{an}中，a3＝3，且a2017＋a2018＝0，
∴解得
∴S101＝＝＝＝3.
[答案]
（1）B
（2）A
等差（等比）数列的基本运算，一般通过其通项公式及前n项和公式建立关于a1和d（或q）的方程或方程组解决.
注意利用等比数列前n项和公式求和时，不可忽视对公比q是否为1的讨论.
三、预测押题不能少
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
（1）若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
（2）若T3＝21，求S3.
解：
设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
则an＝－1＋（n－1）d，bn＝qn－1.
由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①
（1）由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②
联立①②解得（舍去）或
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
（2）由b1＝1，T3＝21，得q2＋q－20＝0，
解得q＝－5，或q＝4.
当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.
当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.
一、基础知识要记牢
1．证明数列{an}是等差数列的两种基本方法
（1）利用定义，证明an＋1－an（n∈N*）为一常数；
（2）利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1（n≥2）．
2．证明{an}是等比数列的两种基本方法
（1）利用定义，证明（n∈N*）为一常数；
（2）利用等比中项，即证明a＝an－1an＋1（n≥2，an≠0）．
二、经典例题领悟好
[例2] （2018届高三·浙江联考）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2－
an（n≥1）．
（1）求证：
数列是等比数列；
（2）设数列{2nan}的前n项和为Tn，An＝＋＋＋…＋，试比较An与的大小．
[解]
（1）证明：
由a1＝S1＝2－3a1得，a1＝.
由Sn＝2－an得，Sn－1＝2－an－1，n≥2，
于是an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，
整理得＝×（n≥2），
所以数列是首项及公比均为的等比数列．
（2）由
（1）得＝×n－1＝，
于是2nan＝n，Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝，＝＝2，An＝＋…＋＝.
又＝，所以问题转化为比较与的大小，即比较与的大小．
设f（n）＝，g（n）＝，
因为f（n＋1）－f（n）＝，
当n≥3时，f（n＋1）－f（n）>0，
所以当n≥3时，f（n）单调递增，
所以当n≥4时，f（n）≥f（4）＝1，而g（n）<1，
所以当n≥4时，f（n）>g（n）．
经检验当n＝1,2,3时，仍有f（n）>g（n）．
综上可得，An<.
（1）判断一个数列是等差等比数列，还有通项公式法及前n项和公式法，但不可作为证明方法.
（2）若要判断一个数列不是等差（等比）数列，只需判断存在连续三项不成等差（等比）数列即可.
（3）a＝an－1an＋1（n≥2，n∈N*）是{an}为等比数列的必要不充分条件，也就是要注意判断一个数列是等比数列时，各项不能为0.
三、预测押题不能少
2．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝2－，设bn＝，数列{bn}的前n项和是Sn.
（1）证明数列{bn}是等差数列，并求Sn；
（2）比较an与Sn＋7的大小．
解：
（1）证明：
∵bn＝，an＋1＝2－，∴bn＋1＝＝＋1＝bn＋1，∴bn＋1－bn＝1，∴数列{bn}是公差为1的等差数列．由a1＝，bn＝得b1＝－，∴Sn＝－＋＝－3n.
（2）由
（1）知：
bn＝－＋n－1＝n－.由bn＝得an＝1＋＝1＋.∴an－Sn－7＝－＋3n－6＋.∵当n≥4时，y＝－＋3n－6是减函数，y＝也是减函数，∴当n≥4时，an－Sn－7≤a4－S4－7＝0.又∵a1－S1－7＝－<0，a2－S2－7＝－<0，a3－S3－7＝－<0，∴对任意的n∈N*，an－Sn－7≤0，∴an≤Sn＋7.
一、基础知识要记牢
等差数列
等比数列
性质
（1）若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq
（2）an＝am＋（n－m）d
（3）Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列
（1）若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，
则am·an＝ap·aq
（2）an＝amqn－m
（3）Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列（Sn≠0）
二、经典例题领悟好
[例3]
（1）（2016·全国卷Ⅰ）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（ ）
A．100B．99C．98D．97
（2）（2017·湖州模拟）在各项均为正数的等比数列{an}中，a2a10＝9，则a5＋a7（ ）
A．有最小值6B．有最大值6
C．有最大值9D．有最小值3
[解析]
（1）法一：
∵{an}是等差数列，设其公差为d，
∴S9＝（a1＋a9）＝9a5＝27，∴a5＝3.
又∵a10＝8，
∴∴
∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故选C.
法二：
∵{an}是等差数列，
∴S9＝（a1＋a9）＝9a5＝27，
∴a5＝3.
在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.
故a100＝a5＋（20－1）×5＝98.故选C.
（2）因为等比数列{an}各项为正数，且a5·a7＝a2·a10＝9，
所以a5＋a7≥2＝2＝6，
当且仅当a5＝a7＝3时等号成立，
所以a5＋a7的最小值为6.故选A.
[答案]
（1）C
（2）A
等差、等比数列性质应用问题求解策略
（1）等差数列{an}的前n项和Sn＝＝na（n为奇数）是常用的转化方法．
（2）熟练运用等差、等比数列的性质，可减少运算过程，提高解题正确率．
（3）灵活利用等差、等比数列和的性质，等差（比）数列的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也是等差（比）数列（公比q不为－1）.
三、预测押题不能少
3．
（1）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＋a8>0，S11<0，则Sn的最大值为（ ）
A．S5 B．S6
C．S9D．不能确定
解析：
选A 因为{an}是等差数列，所以a2＋a8＝2a5>0，a5>0，又S11＝＝11a6<0，a6<0，所以等差数列{an}的前5项是正数，从第6项开始为负数，所以Sn的最大值为S5，故选A.
（2）已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝（ ）
A．40B．60
C．32D．50
解析：
选B 由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，即S9－S6＝16，S12－S9＝32，因此S12＝S3＋（S6－S3）＋（S9－S6）＋（S12－S9）＝4＋8＋16＋32＝60，故选B.
[知能专练（十）]
一、选择题
1．（2017·苏州模拟）设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝（ ）
A．－6 B．－4
C．－2D．2
解析：
选A 根据等差数列的定义和性质可得，
S8＝4（a1＋a8）＝4（a3＋a6），又S8＝4a3，
所以a6＝0.又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.
2．（2017·全国卷Ⅲ）等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（ ）
A．－24B．－3
C．3D．8
解析：
选A 设等差数列{an}的公差为d，
因为a2，a3，a6成等比数列，
所以a2a6＝a，
即（a1＋d）（a1＋5d）＝（a1＋2d）2.
又a1＝1，所以d2＋2d＝0.
又d≠0，则d＝－2，
所以{an}前6项的和S6＝6×1＋×（－2）＝－24.
3．已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6（a2＋2a6＋a10）的值为（ ）
A．4B．6
C．8D．－9
解析：
选A ∵a4＋a8＝－2，∴a6（a2＋2a6＋a10）＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝（a4＋a8）2＝4.
4．（2017·宝鸡质检）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9＝18，an－4＝30（n>9），若Sn＝336，则n的值为（ ）
A．18B．19
C．20D．21
解析：
选D 因为{an}是等差数列，所以S9＝9a5＝18，a5＝2，Sn＝＝＝×32＝16n＝336，解得n＝21.
5．（2016·浙江高考）如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*（P≠Q表示点P与Q不重合）．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则（ ）
A．{Sn}是等差数列B．{S}是等差数列
C．{dn}是等差数列D．{d}是等差数列
解析：
选A 由题意，过点A1，A2，A3，…，An，An＋1，…分别作直线B1Bn＋1的垂线，高分别记为h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…，根据平行线的性质，得h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…成等差数列，又Sn＝×|BnBn＋1|×hn，|BnBn＋1|为定值，所以{Sn}是等差数列．故选A.
6．已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am（n－1）＋1＋am（n－1）＋2＋…＋am（n－1）＋m，cn＝am（n－1）＋1·am（n－1）＋2·…·am（n－1）＋m（m，n∈N*），则以下结论一定正确的是（ ）
A．数列{bn}为等差数列，公差为qm
B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m
C．数列{cn}为等比数列，公比为
D．数列{cn}为等比数列，公比为
解析：
选C 等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1，
所以
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