西安交通大学15年课程考试《复变函数》作业考核试题答案.docx
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西安交通大学15年课程考试《复变函数》作业考核试题答案
西安交通大学15年7月课程考试《复变函数》作业考核试题答案
把分母拆成（z+1）（z-1）。
首先C的表达式你已经化简了，这很明显就是绕“1”这个点的一个正向圆周对不对？
因此-1不在圆周里，唯一的奇点是z=1。
由留数定理，2（pi）ilim[z->1]sin（什么x1/4）/（z+1）=答案。
你图片少截了一块不过我猜唯一可能是sin（（pi）z/4）
习题一答案；1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复；i1；
（2）；（i?
1）（i?
2）3?
2i；13i821；（3）?
（4）?
i?
4i?
i；i1?
i；13?
2i；解：
（1）z?
，?
；3?
2i1332；因此：
Rez?
Imz?
?
，；1313232z?
argz?
?
arctan,z?
；31313ii?
3?
i；?
?
（2）z?
，；（i?
1）（i?
2）1?
3i
习题一答案
1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：
i1
（2）
（i?
1）（i?
2）3?
2i
13i821
（3）?
（4）?
i?
4i?
i
i1?
i
13?
2i
解：
（1）z?
，?
3?
2i1332
因此：
Rez?
Imz?
?
，
1313232z?
argz?
?
arctan,z?
?
i
31313ii?
3?
i
?
?
（2）z?
，
（i?
1）（i?
2）1?
3i10
31
因此，Rez?
?
Imz?
，
1010
131z?
argz?
?
?
arctan,z?
?
?
i
3101013i3?
3i3?
5i
（3）z?
?
，?
?
i?
?
i1?
i22
35
因此，Rez?
Imz?
?
，
3253?
5iz?
argz?
?
arctan,z?
232
821
（4）z?
?
i?
4i?
i?
?
1?
4i?
i?
?
1?
3i
（1）
因此，Rez?
?
1,Imz?
3，
z?
argz?
?
?
arctan3,z?
?
1?
3i
2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：
（1）i（2
）?
1?
（4）r（cos?
解：
（1）i
（3）r（sin?
?
icos?
）
?
isin?
）（5）1?
cos?
?
isin?
（0?
?
?
2?
）
?
cos
?
2
?
isin
?
2
?
2
?
e
1
i
2i223
（2
）?
1?
?
2（cos?
?
isin?
）?
2e
33
（3）r（sin?
（4）r（cos?
?
icos?
）?
r[cos（?
?
）?
isin（?
?
）]?
re
22?
isin?
）?
r[cos（?
?
）?
isin（?
?
）]?
re?
?
i?
isin?
?
2sin2
?
?
（?
?
）i
2
?
（5）1?
cos?
?
?
2isincos222
?
?
?
i
?
2sin[cos
2
（1
）?
?
?
?
2
?
isin
?
?
?
?
?
?
2
]?
2sine22
3．求下列各式的值：
?
i）5
（2）（1?
i）100?
（1?
i）100
（cos5?
?
isin5?
）2（1?
）（cos?
?
isin?
）
（3
）（4）
（cos3?
?
isin3?
）3（1?
i）（cos?
?
isin?
）
（5
（6
解：
（1
）5
?
i）5?
[2（cos（?
）?
isin（?
））]5
66
?
?
5?
5?
?
2（cos（?
）?
isin（?
））?
?
?
i）
66
（2）（1?
i）
100
?
（1?
i）100?
（2i）50?
（?
2i）50?
?
2
（2）50?
?
251
（1?
）（cos?
?
isin?
）
（3
）
（1?
i）（cos?
?
isin?
）?
2[cos（?
）?
isin（?
）]（cos?
?
isin?
）
?
）?
isin（?
）][cos（?
?
）?
isin（?
?
）]44
?
?
?
?
?
12
）?
isin（?
?
12
）]（cos2?
?
isin2?
）
?
?
?
?
12
）?
isin（2?
?
?
12
2
）]?
（2?
?
?
12
）i
（cos5?
?
isin5?
）2
（4）3
（cos3?
?
isin3?
）
cos10?
?
isin10?
?
?
cos19?
?
isin19?
cos（?
9?
）?
isin（?
9?
）
（5
?
1
?
i,k?
0?
22?
11?
1?
?
i,k?
1?
cos（?
2k?
）?
isin（?
2k?
）?
?
?
3232?
22
?
?
i,k?
2?
?
（6
?
i?
8
1?
1?
k?
0?
（?
2k?
）?
isin（?
2k?
）]?
?
2424?
8i,k?
1
?
4．
设z1
?
zz2?
?
i,试用三角形式表示z1z2与1
z2解：
z1
?
cos
?
?
isin,z2?
2[cos（?
）?
isin（?
）]，所以
4466
?
?
?
z1z2?
2[cos（?
）?
isin（?
）]?
2（cos?
isin），46461212z11?
?
?
?
15?
5?
?
[cos（?
）?
isin（?
）]?
（cos?
isin）z22464621212
5．解下列方程：
（1）（z?
i）
5
?
?
?
?
?
?
?
1
（2）z4?
a4?
0（a?
0）?
由此
解：
（1
）z?
i
3
z?
?
i?
e
（2
）z
2k?
i5
?
i，（k?
0,1,2,3,4）
?
?
时，对应的4
11
1,2,3?
a[cos（?
?
2k?
）?
isin（?
?
2k?
）]，当k?
0
44
（1?
i）,?
1?
i）,?
1?
i）,?
i）6．证明下列各题：
（1）设z?
x?
iy,?
z?
x?
y
证明：
首先，显然有其
次
z?
?
x?
y；
，
因
x2?
y2?
2xy,
固此有
2（x2?
y2）?
（2）,
从而
z?
?
2
2
。
2
（2）对任意复数z1,z2,有z1?
z2?
z1?
z2?
2Re（z1z2）
x2）2?
（y1?
y2）2，
证明：
验证即可，首先左端?
（x1?
而右端?
x12?
y12?
x22?
y22?
2Re[（x1?
iy1）（x2?
iy2）]
?
x12?
y12?
x22?
y22?
2（x1x2?
y1y2）?
（x1?
x2）2?
（y1?
y2）2，
由此，左端=右端，即原式成立。
（3）若a?
bi是实系数代数方程a0z
n
?
a1zn?
1?
?
an?
1z?
a0?
0
的一个根，那么a?
bi也是它的一个根。
证明：
方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，z
n
?
（z）n，由此得到：
a0（z）n?
a1（z）n?
1?
?
an?
1z?
a0?
0
由此说明：
若z为实系数代数方程的一个根，则z也是。
结论得证。
（4）若
a?
1,则?
b?
a,皆有
a?
b
?
a
1?
ab
4
证明：
根据已知条件，有aa?
1，因此：
a?
ba?
ba?
b1
?
?
?
a，证毕。
1?
abaa?
ab（a?
a）ba
a?
b
（5）若a?
1,b?
1，则有?
1
1?
ab
证明：
a?
b?
（a?
b）（a?
b）?
a?
b?
ab?
ab，
2
2
2
222
?
ab?
（1?
ab）（1?
ab）?
1?
ab?
ab?
ab，因为
a?
1,b?
1，所以，
2
a?
?
2
220，?
1?
（1?
ab?
1）?
222
a?
b
因而a?
b?
?
ab，即?
1，结论得证。
1?
ab
7．设
z?
1,试写出使zn?
a达到最大的z的表达式，其中n为正整数，a
为复数。
解：
首先，由复数的三角不等式有
zn?
a?
zn?
a?
1?
a，
n
为此，需要取zzn?
a达到最大，
在上面两个不等式都取等号时
n
n
a
与a同向且z?
1，即z应为a的单位化向量，由此，z?
，
a
n
z?
8．试用z1,z2,z3来表述使这三个点共线的条件。
解：
要使三点共线，那么用向量表示时，z2
?
z1与z3?
z1应平行，因而二
者应同向或反向，即幅角应相差0或?
的整数倍，再由复数的除法运算规则知Arg
z2?
z1
应为0或?
的整数倍，至此得到：
z3?
z1
5
z1,z2,z；三个点共线的条件是3；z2?
z1；为实数；z3?
z1；9．写出过z1,z2（z1?
z2）两点的直线的复；?
x?
x1?
t（x2?
x）1；，?
；1?
y?
y1?
t（y2?
y）；解：
过两点的直线的实参数方程为：
因而，复参数方程；z?
x?
iy?
1x?
1iy?
（t2x?
1x?
2i；t?
）zz；其中t为实参数；10．下列参数方程表示什么曲线？
（其中t为实参
z1,z2,z
三个点共线的条件是3
z2?
z1
为实数。
z3?
z1
9．写出过z1,z2（z1?
z2）两点的直线的复参数方程。
?
x?
x1?
t（x2?
x）1
，?
1?
y?
y1?
t（y2?
y）
解：
过两点的直线的实参数方程为：
因而，复参数方程为：
z?
x?
iy?
1x?
1iy?
（t2x?
1x?
2iy?
）1iy?
1（?
z
2
t?
）zz
其中t为实参数。
10．下列参数方程表示什么曲线？
（其中t为实参数）
i
（1）z?
（1?
i）t
（2）z?
acost?
ibsint（3）z?
t?
t
解：
只需化为实参数方程即可。
（1）x?
t,y?
t，因而表示直线y
?
x
x2y2
（2）x?
acost,y?
bsint，因而表示椭圆2?
2?
1
ab
1
（3）x?
t,y?
，因而表示双曲线xy?
1
t
11．证明复平面上的圆周方程可表示为其中a为复常数，c为实常数证明：
圆周的实方程可表示为：
x
2
zz?
az?
az?
c?
0，
?
y2?
Ax?
By?
c?
0，
z?
zz?
z222
y?
代入x?
，并注意到x?
y?
z?
zz，由此22iz?
zz?
z
?
B?
c?
0，zz?
A22i
整理，得
A?
BiA?
Bi
zz?
z?
z?
c?
0
22
记
A?
BiA?
Bi
，则?
a?
a，由此得到
22
zz?
az?
az?
c?
0，结论得证。
12．证明：
幅角主值函数argz在原点及负实轴上不连续。
证明：
首先，argz在原点无定义，因而不连续。
对于x0
?
0，由argz的定义不难看出，当z由实轴上方趋
于x0时，argz?
?
，而当z由实轴下方趋于x0时，argz?
?
?
，由此说明limargz不存在，因而argz在x0点不连续，即在负实轴上不连续，
z?
x0
结论得证。
122
13．函数w?
把z平面上的曲线x?
1和x?
y?
4分别映成w平面中
z
的什么曲线？
解：
对于x?
1，其方程可表示为z?
1?
yi，代入映射函数中，得
w?
u?
iv?
u?
111?
iy?
?
，2z1?
iy1?
y
因而映成的像曲线的方程为得圆周。
对
于
1?
y
v?
，消去参数y，22
1?
y1?
y
u2?
v2?
112212?
u,即（u?
）?
v?
（）,表示一个2
1?
y22
x2?
y2?
4
，其方程可表示为
z?
x?
iy?
2cos?
?
2isin?
代入映射函数中，得
w?
u?
iv?
11co?
s?
is?
in
?
?
z2co?
s?
i2s?
in2
，
11
因而映成的像曲线的方程为u?
cos?
v?
?
sin?
，消去参数?
22
11
，表示一半径为的圆周。
42
14．指出下列各题中点z的轨迹或所表示的点集，并做图：
得u
2
?
v2?
解：
（1）
z?
z0?
r（r?
0），说明动点到z0的距离为一常数，因而表
示圆心为z0，半径为r的圆周。
（2）
z?
z0?
r,是由到z0的距离大于或等于r的点构成的集合，即圆心
为z0半径为r的圆周及圆周外部的点集。
（3）
z?
1?
z?
3?
8,说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常
数，因而表示一个椭圆。
代入z?
x?
iy,化为实方程得
（x?
2）2y2
?
?
1
1615
（4）
z?
i?
z?
i,说明动点到i和?
i的距离相等，因而是i和?
i连线的
垂直平分线，即x轴。
（5）arg（z?
i）?
?
4
，幅角为一常数，因而表示以i为顶点的与x轴正向
?
夹角为的射线。
4
15．做出下列不等式所确定的区域的图形，并指出是有界还是无界，单连通还是多连通。
（1）2?
z?
3，以原点为心，内、外圆半径分别为2、3的圆环区域，
有界，多连通
（2）?
?
argz?
?
（0?
?
?
?
?
2?
），顶点在原点，两条边的倾角
分别为?
?
的角形区域，无界，单连通（3）
z?
3
?
1，显然z?
2，并且原不等式等价于z?
3?
z?
2，说z?
2
明z到3的距离比到2的距离大，因此原不等式表示2与3连线的垂直平分线即x?
2.5左边部分除掉x?
2后的点构成的集合，是一无界，多连通
区域。
（4）
z?
2?
z?
2?
1，
显然该区域的边界为双曲线
z?
2?
z?
2?
1，化为实方程为
4x2?
42
y?
1，再注意到z到2与z到?
2的距离之差大于1，因而不15
z?
1?
4z?
1，代入z?
x?
iy，化为实不等式，得
等式表示的应为上述双曲线左边一支的左侧部分，是一无界单连通区域。
（5）
（x?
1728
）?
y2?
）2
1515
178
所以表示圆心为（?
0）半径为的圆周外部，是一无界多连通区域。
1515
习题二答案
1．指出下列函数的解析区域和奇点，并求出可导点的导数。
（1）（z?
1）
（2）z
5
3
?
2iz（3）
11
（4）z?
2
z?
1z?
3
解：
根据函数的可导性法则（可导函数的和、差、积、商仍为可导函数，
商时分母不为0），根据和、差、积、商的导数公式及复合函数导数公式，再注意到区域上可导一定解析，由此得到：
]?
?
5（z?
1）4323
（2）z?
2iz处处解析，（z?
2iz）?
?
3z?
2i
12
（3）2的奇点为z?
1?
0，即z?
?
i，
z?
1
?
1?
（z2?
1）?
z2
?
）?
?
z（?
?
i）（2
2222
z?
1（z?
1）z（?
1）1
（4）z?
的奇点为z?
?
3，
z?
3
11）?
?
1?
（z?
?
3）（z?
2
z?
3（z?
3）
（1）（z?
1）处处解析，[（z?
1）
2．判别下列函数在何处可导，何处解析，并求出可导点的导数。
（1）
55
f（z）?
xy2?
x2yi
（2）f（z）?
x2?
y2i
（3）
1
f（z）?
x3?
3xy2?
i（3x2y?
y3）（4）f（z）?
z?
xy2,v?
x2y，
解：
根据柯西—黎曼定理：
（1）u
ux?
y2,vy?
x2,uy?
2xy,vx?
2xy
四个一阶偏导数皆连续，因而u,v处处可微，再由柯西—黎曼方程ux?
vy,uy?
?
vx解得：
x?
y?
0，
因此，函数在z?
0点可导，f?
（0）?
ux?
ivxz?
0?
0，
函数处处不解析。
?
x2,v?
y2，
vy?
2y,u0,v?
ux?
2x,y?
x
四个一阶偏导数皆连续，因而u,v处处可微，再由柯西—黎曼方程ux?
vy,uy?
?
vx解得：
x?
y，因此，函数在直线y?
x上可导，
x，f?
（x?
ix）?
ux?
ivxy?
x?
2
（2）u
因可导点集为直线，构不成区域，因而函数处处不解析。
（3）u
?
x3?
3xy2,v?
3x2y?
y3，
22
ux?
3x2?
3y2,v?
3x?
3y,u?
?
6xy,xv?
6xyyy
四个一阶偏导数皆连续，因而u,v处处可微，并且u,v处处满
uy?
?
vx足柯西—黎曼方程ux?
vy,
因此，函数处处可导，处处解析，且导数为
f?
（z）?
ux?
ivx?
3x2?
3y2+i6xy?
3z2
11x?
iyxy
?
2,v?
2（4）f（z）?
?
，u?
2，222
x?
yx?
yzx?
iyx?
y
y2?
x2x2?
y2
vy?
ux?
2，22222
（x?
y）（x?
y）?
2xy?
2xy
vx?
uy?
2，22222
（x?
y）（x?
y）
因函数的定义域为z?
0，故此，u,v处处不满足柯西—黎曼方程，
因而函数处处不可导，处处不解析。
3．当l,m,n取何值时处解析？
解：
u
32
f（z）?
my3?
nx2y?
i（x?
lxy）在复平面上处
?
my3?
nx2y,v?
x3?
lxy2
ux?
2nxy,vy?
2lxy,uy?
3my2?
nx2,vx?
3x2?
ly2，
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