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论力学碰撞1人阅读
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论力学碰撞
摘要
:
对普通物理力学中有关碰撞的一个问题
从恢复系数
e
的取值角度出发
进行了详
细求解和讨论
得到了更完整的结果
.
关键词
:
力学碰撞问题
;
恢复系数
;
非完全弹性碰撞
一、定义
碰撞：
如果二个物体或几个物体在相遇过程中，
物体之间的相互作用仅持续一个极为短暂的
时间，这些现象就是碰撞。
二、特点
（
1
）碰撞时间极短
（
2
）碰撞力很大，外力可以忽略不计，系统动量守恒
（
3
）速度要发生有限的改变，位移在碰撞前后可以忽略不计
三、类型
恢复系数：
碰撞后两球的分离速度（
2
v
—
1
v
）与碰撞前两球的接近速度（
10
v
—
20
v
）成正
比，比值由两球的材料性质决定，
20
10
1
2
1
v
v
v
v
e
完全非弹性碰撞：
e=0,
则
2
v
=
1
v
，亦即两球碰撞后以同一速度运动，并不分开。
完全弹性碰撞：
e=1
，则分离速度等于接近速度。
非完全弹性碰撞：
两球碰撞过程后，彼此分开，有机械能损耗，转变为其他形式的能量。
四、原理
动量守恒：
2
2
1
1
20
2
10
1
v
m
v
m
v
m
v
m
机械能守恒：
2
2
2
2
1
1
20
2
2
2
10
1
2
1
2
1
2
1
2
1
v
m
v
m
v
m
v
m
五、实例讨论：
在力学碰撞内容的教学中
我们遇到了这样一个问题
:
两球具有相同的质量
和半径
悬挂于同一高度
静止时
两球恰能接触且悬线平行
.
碰撞的恢复系数为
e,
若球
A
自高度
h1
释放
如图
1
所示
.
求
:
该球返回后能达到的高度
h.
图
1
通常
只考虑碰撞一次
.
但如果我们考虑多次碰撞
在
0的情况下
就会出现与一
次碰撞不同的结果
.
以下讨论均在线性情况下进行
即两球作小角度单摆运动
单摆周期与
摆角无关
.
先研究
A
球
当
A
由
h1（
质心
）
下落至最低点时
由机械能守恒得
1
1
2
gh
=
碰撞前
B
球静止
.
设
A
球和
B
球发生碰撞后
A
球的速度大小为
A
V
B
球的速度大小为
B
V
.
由恢复系数公式
0
1
V
V
V
e
B
A
得
A
B
v
v
ev
1
（
1）
由动量守恒定律
B
A
mv
mv
mv
1
（
2）
得
1
2
1
v
e
V
B
1
2
1
v
e
V
A
（
3
）
由于
e
1
0
e
取值不同
会得到不同的结果
.
下面分别对几种情况进行讨论
.
（1）e=0,
得
1
2
1
v
v
v
B
A
即碰撞之后
A
、
B
两球共同运动
两球始终相切接触但没有
相互
（
作用
）
碰撞
在以后的运动中就似一个小球的往复摆动
.
因此
A
球返回的最高高度为
1
2
1
4
1
8
h
g
v
h
.
（2）
e=
1,
得
1
v
v
B
0
A
v
即球
A
与球
B
发生完全弹性碰撞
A
球与
B
球碰撞后交
换速度
A
球静止
B
球以
1
v
向右上升到高度
1
h
然后返回与
A
球在最低点又发生完全弹性
碰撞
B
球静止
A
球以
1
v
向左上升到高度
1
h
然后返回与
B
球在最低点又发生完全弹性碰撞
类似
A
球与
B
球接力单摆运动
.
以上两种情况易分析清楚
.
下面详细分析第三种情况
.
（3）0即发生非完全弹性碰撞
.
碰撞后
1
1
2
1
2
1
v
e
V
v
e
V
B
A
即在
A
、
B
两
球相互碰撞之后
都右运动
在右侧运动的过程中是否会再次发生碰撞呢
?
先讨论一个小球
的摆动情况
.
设球的半径为
r,
不计绳的质量
H
较小
小球所受重力对转轴的力矩为
r
l
mg
r
l
mg
M
sin
由角动量定理可得
2
2
2
2
5
2
dt
d
mr
r
l
m
r
l
mg
0
5
2
2
2
2
2
r
r
l
r
l
g
dt
d
所以
r
l
g
r
g
r
l
T
5
2
2
2
（
4
）
由式
（4）
知
两小球摆动周期
T
相同
.
两球的运动步调一致
仅角振幅不同
.
因此
在右
侧上升过程中
A
追不上
B,
到达最高点时
速度同时为
0,
但不发生碰撞
.
由单摆运动的对
称特点
下落过程中
A
、
B
两球由最高处返回最低点时也不会发生碰撞
.
但是
在最低点时
A
、
B
两球的速率和它们第一次发生碰撞上升的速率一样
只是方向相反
;
此时两球接触
仍
未发生碰撞
.
但在下一时刻
由于
B
v
大于
A
v
两球离开最低点向左运动瞬时
将发生第二
次非完全弹性碰撞
.
此过程为
:
当发生第一次碰撞后
在右边的运动过程中
（
包括上升和下降
）
不会发生碰
撞
回到最低点时发生第二次碰撞
;
第二次碰撞后
在左边运动过程中
（
包括上升和下降
）
不会发生碰撞
回到最低点时发生第三次碰撞
,.
即
:
每次经过最低点都发生一次非完全弹
性碰撞
.
定量计算如下
.
第
一
次
碰
撞
后
1
2
1
1
v
e
V
A
2
2
1
1
v
e
V
B
1
1
B
A
V
V
它
们
达
到
最
大
高
度
2
1
2
8
1
1
v
g
e
h
A
2
1
2
8
1
1
v
g
e
h
B
1
1
B
A
h
h
.
返回到最低点
A
、
B
两球的速度大小为
1
2
1
1
1
V
e
V
V
A
A
1
2
1
1
1
v
e
V
V
B
B
运动方向为向左
.
设第二次碰撞后
A
、
B
两球的速度大小分别为
2
A
V
2
B
V
方向向左
.
由动量守恒定律得
1
1
1
1
2
2
B
A
B
A
B
A
mv
mv
v
m
v
m
mv
mv
由式
（2）
1
1
1
mv
mv
mv
B
A
即得
1
2
2
v
v
v
B
A
（5）
又因为恢复系数
1
1
2
2
A
B
B
A
v
v
v
v
e
（6）
故解得
1
2
2
1
2
v
e
v
A
1
2
2
1
2
v
e
v
B
（7）
方向向左
.
同理
第三次碰撞后
A
、
B
两球的速度大小为
:
1
3
2
1
3
v
e
v
A
1
3
2
1
3
v
e
v
B
方向向右
.
表
1
给出了碰撞后
A
、
B
两球速度大小、
A
球上升高度以及系统能量损失
（
碰撞点在最低点
表
中
（
左
）
、
（
右
）
分
别
表
示
两
球
位
置
在
垂
直
中
线
的
左
侧
、
右
侧
）
.
所以
对于
0<
e<
1
情况
每一次回到最低点都会发生一次非完全弹性碰撞
碰后两球
的速率更接近
系统能量有损失
多次碰撞之后两球速率相同
即
1
2
1
2
2
v
v
v
n
n
B
A
就像
e=
0
时一样
两球共同摆动达到同样的高度
.
所以
最后
A
球返回的高度为
1
4
1
h
而不是
1
2
4
1
h
e
-
.
如果小球摆动的角度大
即非线性情况
由于周期与初始状态有关
所以情况会比小角
度摆动的线性情况复杂得多
需要作进一步理论探讨
.
对于只作一次碰撞的情况
则不论是小角度摆动情况
还是大角度摆动情况
其结果都
是
A
球返回高度为
1
4
1
h
.
将这一问题设置在两球对心碰撞的章节中是合适的
.
当学生学完质
点系动力学和刚体动力学、振动内容之后
引导学生作本文所述的计算和讨论
对于深化学
生对该问题的理解是有好处的
.
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