高三数学上海市普通高等学校春季招生考试 精品.docx
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高三数学上海市普通高等学校春季招生考试精品
2018年上海市普通高等学校春季招生考试
数学试卷
一.填空题（本大题满分48分）
1.计算：
＿＿＿＿＿
2.方程
的解
＿＿＿＿＿.
3.函数
的反函数为＿＿＿＿＿.
4.不等式
的解集是＿＿＿＿＿.
5.已知圆
和直线
.若圆
与直线
没有公共
点，则
的取值范围是＿＿＿＿＿.
6.已知函数
是定义在
上的偶函数.当
时，
，则当
时，
＿＿＿＿＿.
7.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首
尾必须播放公益广告，则共有＿＿＿＿＿种不同的播放方式（结果用数值表示）.
8.正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为＿＿＿＿＿.
9.在△
中，已知
，三角形面积为12，则
＿＿＿＿＿.
10.若向量
的夹角为
，
，则
＿＿＿＿＿.
11.已知直线
过点
，且与x轴、y轴的正半轴分别交于
两点，
为坐标原
点，则三角形
面积的最小值为＿＿＿＿＿.
12.同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高.这两个事实可以用数学语言描述为：
若有限数列
满足
，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（结论用数学式子表示）.
二．选择题（本大题满分16分）
13.抛物线
的焦点坐标为（）
（A）
. （B）
. （C）
. （D）
.
14.若
，则下列不等式成立的是（ ）
（A）
. （B）
. （C）
.（D）
.
15.若
，则“
”是“方程
表示双曲线”的（ ）
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.
16.若集合
，则A∩B等于（ ）
（A）
. （B）
. （C）
. （D）
.
三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.（本题满分12分）在长方体
中，已知
，求异
面直线
与
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
18.（本题满分12分）已知复数
满足
为虚数单位），
，求一个以
为根的实系数一元二次方程.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
已知函数
.
（1）若
，求函数
的值；
（2）求函数
的值域.
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图：
航天器运行（按顺时针
方向）的轨迹方程为
，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、
为顶点的抛物线的实线部分，降落点为
.观测点
同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：
当航天器在
轴上方时，观测点
测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
21.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
设函数
.
（1）在区间
上画出函数
的图像；
（2）设集合
.试判断集合
和
之间的关系，并给出证明；
（3）当
时，求证：
在区间
上，
的图像位于函数
图像的上方.
22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.第3小题满分6分.
已知数列
，其中
是首项为1，公差为1的等差数列；
是公差为
的等差数列；
是公差为
的等差数列（
）.
（1）若
，求
；
（2）试写出
关于
的关系式，并求
的取值范围；
（3）续写已知数列，使得
是公差为
的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同
（2）类似的问题（
（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
2018年上海市普通高等学校春季招生考试
数学试卷
参考答案及评分标准
一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.
1.
. 2.2. 3.
. 4.
.
5.
. 6.
. 7.48. 8.
.
9.
. 10.2. 11.4.
12.
和
二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.
题 号
13
14
15
16
代 号
B
C
A
B
三．（第17至22题）
17.[解法一]连接
，
为异面直线
与
所成的角. ……4分
连接
，在△
中，
， ……6分
则
. ……10分
异面直线
与
所成角的大小为
. ……12分
[解法二]以
为坐标原点，分别以
、
、
所在直线为
轴、
轴、
轴，建立空间直角坐标系. ……2分
则
，
得
. ……6分
设
与
的夹角为
，
则
， ……10分
与
的夹角大小为
，
即异面直线
与
所成角的大小为
. ……12分
18.[解法一]
， ……4分
. ……8分
若实系数一元二次方程有虚根
，则必有共轭虚根
.
，
所求的一个一元二次方程可以是
. ……12分
[解法二]设
，
得
， ……4分
以下解法同[解法一].
19.[解]
（1）
， ……2分
……4分
. ……8分
（2）
， ……10分
，
，
，
函数
的值域为
. ……14分
20.[解]
（1）设曲线方程为
， 由题意可知，
.
. ……4分
曲线方程为
. ……6分
（2）设变轨点为
，根据题意可知
得
，
或
（不合题意，舍去）.
. ……9分
得
或
（不合题意，舍去）.
点的坐标为
， ……11分
.
答：
当观测点
测得
距离分别为
时，应向航天器发出变轨指令. ……14分
21.[解]
（1）
……4分
（2）方程
的解分别是
和
，由于
在
和
上单调递减，在
和
上单调递增，因此
. ……8分
由于
. ……10分
（3）[解法一]当
时，
.
， ……12分
.又
，
① 当
，即
时，取
，
.
，
则
. ……14分
② 当
，即
时，取
，
＝
.
由①、②可知，当
时，
，
.
因此，在区间
上，
的图像位于函数
图像的上方. ……16分
[解法二]当
时，
.
由
得
，
令
，解得
或
， ……12分
在区间
上，当
时，
的图像与函数
的图像只交于一点
；当
时，
的图像与函数
的图像没有交点. ……14分
如图可知，由于直线
过点
，当
时，直线
是由直线
绕点
逆时针方向旋转得到.因此，在区间
上，
的图像位于函数
图像的上方. ……16分
22.[解]
（1）
. ……4分
（2）
， ……8分
，
当
时，
. ……12分
（3）所给数列可推广为无穷数列
，其中
是首项为1，公差为1的等差数列，当
时，数列
是公差为
的等差数列. ……14分
研究的问题可以是：
试写出
关于
的关系式，并求
的取值范围.……16分
研究的结论可以是：
由
，
依次类推可得
当
时，
的取值范围为
等. ……18分
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