高三数学上海市普通高等学校春季招生考试 精品.docx

1、高三数学上海市普通高等学校春季招生考试 精品2018年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一. 填空题（本大题满分48分）1. 计算： 2. 方程 的解 . 3. 函数 的反函数为.4. 不等式 的解集是.5. 已知圆 和直线 . 若圆 与直线 没有公共 点，则 的取值范围是.6.已知函数是定义在 上的偶函数.当时，则当时，.7. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首 尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.8. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为. 9. 在 中，已知 ，三角形面积为12，则 .10. 若向量 的夹角为

2、 ， ，则 .11. 已知直线 过点 ，且与x轴、y轴的正半轴分别交于 两点， 为坐标原点，则三角形 面积的最小值为.12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列 满足 ，则（结论用数学式子表示）.二选择题（本大题满分16分）13. 抛物线 的焦点坐标为( ) （A） . （B） . （C） . （D） .14. 若 ，则下列不等式成立的是( ) （A） . （B） . （C） .（D） .15. 若 ，则“ ”是“方程 表示双曲线”的( ) （A）充分不必

3、要条件. （B）必要不充分条件. （C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.16. 若集合 ，则AB等于( ) （A） . （B） . （C） . （D） .三解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17. (本题满分12分)在长方体 中，已知 ，求异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18. (本题满分12分) 已知复数 满足 为虚数单位）， ，求一个以 为根的实系数一元二次方程.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. 已知函数 .（1）若 ，求函数 的值； （2）求函数 的值域.20. (本题

4、满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为 . 观测点 同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在 轴上方时，观测点 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 设函数 .（1）在区间 上画出函数 的图像；（2

5、）设集合 . 试判断集合 和 之间的关系，并给出证明；（3）当 时，求证：在区间 上， 的图像位于函数 图像的上方.22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 第3小题满分6分. 已知数列 ，其中 是首项为1，公差为1的等差数列； 是公差为 的等差数列； 是公差为 的等差数列（ ）.（1）若 ，求 ；（2）试写出 关于 的关系式，并求 的取值范围；（3）续写已知数列，使得 是公差为 的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 2018年上海市普通高等学校春季招生考试数 学

6、 试 卷参考答案及评分标准一（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分. 1. . 2. 2. 3. . 4. . 5. . 6. . 7. 48. 8. . 9. . 10. 2. 11. 4. 12. 和 二（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.题 号13141516代 号BCAB 三（第17至22题）17. 解法一 连接 ， 为异面直线 与 所成的角. 4分 连接 ，在 中， ， 6分 则 . 10分 异面直线 与 所成角的大小为 . 12分解法二 以 为坐标原点，分别以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系. 2分 则 ， 得 . 6分 设 与

7、 的夹角为 ， 则 ， 10分 与 的夹角大小为 ， 即异面直线 与 所成角的大小为 . 12分18. 解法一 ， 4分 . 8分 若实系数一元二次方程有虚根 ，则必有共轭虚根 . ， 所求的一个一元二次方程可以是 . 12分 解法二 设 ， 得 ， 4分 以下解法同解法一.19. 解（1） ， 2分 4分 . 8分 （2） ， 10分 ， ， ， 函数 的值域为 . 14分20. 解（1）设曲线方程为 ， 由题意可知， . . 4分 曲线方程为 . 6分 （2）设变轨点为 ，根据题意可知 得 ， 或 （不合题意，舍去）. . 9分 得 或 （不合题意，舍去）. 点的坐标为 ， 11分 . 答

8、：当观测点 测得 距离分别为 时，应向航天器发出变轨指令. 14分21. 解（1） 4分 （2）方程 的解分别是 和 ，由于 在 和 上单调递减，在 和 上单调递增，因此. 8分 由于 . 10分 （3）解法一 当 时， . ， 12分 . 又 ， 当 ，即 时，取 ， . ， 则 . 14分 当 ，即 时，取 ， . 由 、可知，当 时， ， . 因此，在区间 上， 的图像位于函数 图像的上方. 16分 解法二 当 时， .由 得 ， 令 ，解得 或 ， 12分在区间 上，当 时， 的图像与函数 的图像只交于一点 ； 当 时， 的图像与函数 的图像没有交点. 14分 如图可知，由于直线 过点 ，当 时，直线 是由直线 绕点 逆时针方向旋转得到. 因此，在区间 上， 的图像位于函数 图像的上方. 16分22. 解（1） . 4分 （2） ， 8分 ， 当 时， . 12分 （3）所给数列可推广为无穷数列 ，其中 是首项为1，公差为1的等差数列，当 时，数列 是公差为 的等差数列. 14分研究的问题可以是：试写出 关于 的关系式，并求 的取值范围. 16分研究的结论可以是：由 ， 依次类推可得 当 时， 的取值范围为 等. 18分