初三数学旋转相似讲义.docx
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初三数学旋转相似讲义
专题：
旋转相似
模型：
手拉手相似模型，旋转相似成双对。
条件：
CD∥AB（本质即为△OCD∽△OAB），将△OCD绕点O旋转到图1和图2的位置。
结论：
⑴、△OCD∽△OAB△OAC∽△OBD。
即连接对应点所得的一对新三角形相似。
⑵、延长AC交BD于点E，则∠AEB=∠BOA（用蝴蝶形图证明）（能得到点A、O、E、B四点共圆）
模型特例：
共直角顶点的直角三角形相似
当∠AOB=∠COD=90°时，除
⑴、△OCD∽△OAB△OAC∽△OBD
⑵、延长AC交BD于点E，则∠AEB=∠BOA=90°（用蝴蝶形图证明）
外，还有结论
⑶、BD
OD
OB
tanOCD
tanOAB
AC
OC
OA
⑷、因为AC⊥BD于点E，那么，若连
AD、BC，则四边形ABCD对角线互相垂直，则
S
1ACBD
四边形ABCD
2
AD2
BC2
AB2
CD2
例题讲解
例1.已知△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O，且顶角∠ACB=∠EDF.
0
探究BF与CD间的数量关系；
（1）如图1，若∠ACB=90,
3
，求
BF
（2）如图2，若tan∠ACB=
的值；
4
CD
（3）如图3，若△ABC中AC=BC=a，将△DEF绕点O旋转，设直线
CD与直线BF交于点H，则SBCH最大值
为__________（用含a的式子表示）。
分析：
（1）连OC，OD，△OBF≌△OCD，BF=CD
B
E
B
O
D
E
O
F
F
AC
D
C
A
（2）构造手拉手旋转相似。
可证△OBC∽△OFD,△ODC∽△OFB
BF=
OB=tan1
∠ACB
CD
OC
2
tan∠ACB=3，求tan
1∠ACB的问题，必须
问题转化为已知
4
2
熟悉等腰三角形中有关三角函数值的常见处理方法。
由右图提示可得tan1∠ACB=1；
23
（3）由
（2）△OBC∽△OFD,△ODC∽△OFB，蝴蝶形图易得∠CHB=∠COB=90°；又BC=a，定边定角，
点H在以BC为直径的圆上，易求SBCHmax
1
a
1a
1a2
2
2
4
例2.如图１，已知在正方形ABCD和正方形BEFG中，求证：
AG＝CE；求DF的值
AG
分析：
如图2，证△ABG△CBE，∴AG=CE
如图2，连接BD，BF，DF，
易证BD
BF
2，
DBC
FBE
45
，
BC
BE
∴∠DB=F∠CBE
∴△DBF~△CBE
∴DF
BD
2
CE
BC
∵AG=CE
∴DF
DF
2
AG
CE
变式：
如图3，正方形ABCD和EFGH中，O为BC，EF中点
（1）求证：
AH=DG;
（2）求AH的值。
CF
分析：
（1）连接OA,OH,OD,OG,
易证：
△AOH~△DOG
AHDG
（2）OEOB1,EHAB2
△ABO~△HEO,
AOBHOE,AOHBOE,
又
OE
OH
OB
OA
△OBE~△OAH,
AH
AO
5
BE
BO
易证△
BOE
△
，
COF
BECF,
AH
5
CF
例3.如图，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，AC＝3，AE＝8，求AD的长。
A
C
B
分析：
D
连接BE，由基本图形易得
E
可证△
∽△
，＝
3
，∠
ACD
BCEAD
3BE
BAE＝90°
在Rt△
作，由勾股定理求得
＝10
ABE
BE
则
＝
103
A
AD
3
C
B
D
E
练习1.如图，点A是△DBC内一点，AB23,BC8,ABC
600，DAC
1200，AD
AC,求BD
得长。
分析：
构造旋转相似，由基本图形可得出以下几种方法，求出BD=10.
练习2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，F、G分别为AC、BC的中点，将△CFG绕点C顺时针
旋转，直线AF与直线BG交于点I.
（1）求证：
AF⊥BG；
（2）当旋转角小于90°时，求2AIBI的值；
CI
（3）若AC＝4，直接写出△ACI面积的最大值___________.
分析：
（3）需分析出I点轨迹，由A、C、I、B四点共圆可得∠AIC=∠ABC，又AC=4，定边定角得I轨迹为圆弧。
练习3．将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，∠A＝90°，AD边与AB边重合，AB＝2AD＝4．将
△ADE绕点A逆时针旋转（旋转角不超过180°），BD的延长线交直线CE于点P．
（1）如图2，BD与CE的数量关系是___________，位置关系是___________；
（2）在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求CP的长；
（3）当点D落在BA的延长线上时，求点P所经过的路径的长．
BB
DD
CEACA
E
图1
分析：
（1）BD＝CEBD⊥CE
（2）∵BD⊥CE，AD⊥BD，∴∠ADP＝∠DPE＝90°
又∠DAE＝90°，AD＝AE，∴四边形ADPE为正方形∵AB＝2AD＝4，∴PE＝AD＝2
∴CE＝BD＝AB2－AD2＝23
∴CP＝23－2
（3）取BC中点O，连接OA、OP
∵在旋转过程中，BD⊥CE，∴∠BPC＝90°
图2
B
D
CA
P
E
∴OP＝
1
B
2BC＝22
∴点P的运动路径是以
O为圆心、半径为
22的一段圆弧
O
D
即△ABC外接圆的一部分
则∠AOP＝2∠ABP
C
A
易知点D在以A为圆心、半径为
2的半圆上运动
PE
当BP与半圆A相切于点D时，∠ABP最大，从而∠AOP最大
1
∵AD＝2AB，∴∠ABP＝30°，∴∠AOP＝60°
即当△ADE从初始位置旋转60°时，点P沿圆弧从A点运动到∠AOP＝60°
当△ADE继续旋转，直至点D落在BA的延长线上时，∠ABP＝0°，∠AOP＝0°
∴点P从∠AOP＝60°处又回到A点
∴点P所经过的路径的长为：
2×＝
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