射影几何与解析几何.docx

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射影几何与解析几何

第十章：

射影几何与解析几何

第一节射影几何

一、历史背景

1566年，科曼迪诺（F．Commandino，1509—1575）把阿波罗尼奥斯（Apollonius）的《圆锥曲线论》（Conics）前四卷译成拉丁文，引起了人们对几何的兴趣，几何上的创造活动开始复兴．在短短几十年的时间里，便突破传统几何的局限，产生了一门崭新的学科——射影几何．由于新学科把无穷远点及图形连续变动的思想引入数学，它实际上已迈入高等数学的门槛．

射影几何直接起源于透视法，而透视法是与绘画艺术分不开的．在中世纪，画家的主要任务是颂扬上帝和为圣经插图．但到了文艺复兴时期，描绘现实世界逐渐成为绘画的目标了．为了在画布上忠实地再现大自然，就需要解决一个数学问题：

如何把三维的现实世界反映到二维的画布上．意大利的建筑师兼数学家阿尔贝蒂（L．B．Alberti，1404—1472）认真考虑了这一问题．他在1435年写成的《论绘画》（Dellapittura，1511年出版）一书中阐述了这样的思想：

在眼睛和景物之间插进一张直立的玻璃板，并设想光线从眼睛出发射到景物的每一个点上，这些线叫投影线．他设想每根线与玻璃板交于一点，这些点的集合叫做截景．显然，截景给眼睛的印象和景物本身一样，所以作画逼真的问题就是在玻璃板（实际是画布）上作出一个真正的截景．

例如，人眼在O处观察水平面上的矩形ABCD、（图10．1）时，从O到矩形各点的连线形成一投影棱锥，其中OA，OB，OC，OD是四根典型的投影线．若在人眼和矩形间插入一平面，并连结四条线与平面的交点A′，B′，C′，D′，则四边形A′B′C′D′为矩形ABCD的截景．由于截景对人眼产生的视觉印象和原矩形一样，它们必然有相同之处．但从直观上看，截景和原形既不全等又不相似，也不会有相同的面积，截景甚至并非矩形．那么，截景与原形究竟有什么共性呢？

这正是阿尔贝蒂苦苦思索而未找到答案的问题．

阿尔贝蒂还考虑到：

如果在眼睛和景物之间插进两张玻璃板，它们上面的截景将是不同的；如果从两个不同位置来观察景物，截景也将是不同的．但所有截景都反映同一景物，它们之间必存在某种关系．于是他进一步提出问题：

同一景物的任意两个截景间有什么数学关系，或者说有什么共同的数学性质？

他留给后人的这些问题成为射影几何的出发点．

二、德扎格的工作

射影几何的创始人是法国的建筑师德扎格（G．Desargues，1591—1661）．1639年，他发表了一本重要著作《试论圆锥与平面相交结果》（Brouillonprojetduneatteinteauxévénementsdesrencontresduconeavecunplan）．这部书推动了19世纪射影几何的蓬勃发展，被公认为这一学科的经典．但它在发表之初，却没有受到数学家们的重视．德扎格把书印了50份，分送给他的朋友，不久便全部散失了．直到1845年，沙勒（M．Chasles，1793—1880）才偶然发现了一个手抄本，由波德（N．G．Poudra）加以复制，使德扎格的射影几何成果复明于世，1950年左右，这部书的一个原版本终于在巴黎被发现，并复制发行．

为什么德扎格的书在当时被忽略呢？

主要有两个原因．一是它被差不多同时出现的解析几何掩盖了．从思想的深刻来讲，德扎格是可以和笛卡儿媲美的．但笛卡儿的解析几何是用代数方法研究几何问题，可以迅速得到数量结果，而射影几何主要是对几何的定性研究．当时的技术发展更需要解析几何这样的有力工具．第二个原因是，德扎格的写作形式比较古怪，他引进了70个新术语，其中多是从植物学借用的．例如，他用棕（Palm）、干、树来表示三种不同性质的直线．这类语句及不易理解的思想，使他的书难于阅读．除了笛卡儿、帕斯卡、费马等几位大数学家外，很少有人欣赏他的著作．

德扎格数学思想的出色之处，首先在于他引进了无穷远点和无穷远线．阿尔贝蒂曾指出，画面上的平行线应画成交于一点，除非它们平行于玻璃板（图10．1）．例如，图10．1中的B′C′和A′D′便相交于某点O′，这一点不和BC或AD上任何普通的点对应，所以叫没影点，而除O′外的直线B′C′或A′D′上的任何点，都对应着BC或AD上某个确定的点．为了使B′C′与BC上的点以及A′D′与AD上的点有完全的对应关系，德扎格在AD及BC上引入一个新的点，叫做无穷远点，把它看作两平行线的公共点．所有平行于BC的直线都交于这一点，方向不同于BC的另外一组平行线则有另外一个公共的无穷远点．由于平行线组的数目是无穷的，德扎格实际是在平面上引入了无穷多的新点．他假定所有这些点都在同一直线上，而这直线则对应于截景上的水平线或没影线（即图10．1中的OO′）．以这种新规定为前提，我们就可以断言“平面上任意两直线必交于一点”了，因为不平行线交于普通点而平行线交于无穷远点．

引入了无穷远点和无穷远线后，德扎格研究了这样的问题：

设有点O（图10．2）及三角形ABC，则OB，OC，OA可看作三条投影线，ABC的一个截景为A′B′C′，其中A与A′对应，B与B′对应，C与C′对应．显然，AA′，BB′和CC′交于一点O，设AB与A′B′交于Q，AC与A′C′交于P，BC与B′C′交于R，德扎格证明了：

Q，P，R必在一条直线上．这就是著名的德扎格定理：

若两个三角形对应顶点连线共点，则对应边交点共线．不管两个三角形是否在同一平面，定理都是成立的，逆定理也同样成立．德扎格在书中对二维和三维情况的正、逆定理都作了证明．

在深入研究投影性质的基础上，德扎格终于回答了阿尔贝蒂早就提出的问题：

同一实物的两个截景间有什么数学关系？

这实质是一个投影下的不变性问题．德扎格发现：

交比在投影下是不

变的．所谓交比，是指直线上依次排列的四点A，B，C，D所形成的

德扎格的理论，若OA，OB，OC，OD是四条投影线，l1和l2是l

德扎格在书中还引入对合的概念：

若一条直线上的三对点B，H；D，F；C，G具有如下关系

则称这三对点是对合的；当D=F且C＝G时，上式变成

这就给出两对点（B，H；D，C）对合的定义，它可以看作三对点对合的特殊情况．至于三对点以上的对合，完全是以三对点对合为依据来定义的．例如，当B，H；D，F；C，G；M，N具有如下关系

时，则称这四对点是对合的，依此类推．德扎格发现了一个重要事实：

对合关系也是投影下的不变量．他证明了许多有关对合的定理，下面一个是十分著名的．为了介绍这个定理，我们先介绍完全四边形的概念．设B，C，D，E是平面上任意四点，其中没有三点共线．EB与DC交于F，BC与ED交于N，则EN，BN，EF，DF，EC，BD六条线形成完全四边形的各边，其中EN和BN是对边，EF和DF是对边，BD和EC也是对边．德扎格的定理为：

若B，C，D，E在一圆上，直线PM交完全四边形各组对边于P，Q；I，K；以及G，H，交圆于L，M，那么这四组点是对合的（图10．4）①．

德扎格把他的射影几何思想用于圆锥曲线，得到许多新颖的结果：

直线可以看作具有无限长半径的圆的一部分；焦点相合的椭圆退化为圆；焦点之一在无穷远的椭圆是一抛物线，等等．他不再把圆锥曲线看作圆锥与平面的交线，而是理解为圆的截景．圆不仅可以变换为椭圆，而且可以变换为开口的抛物线或双曲线，这时的曲线仍看作封闭的，只不过是一个点在无穷远而已．德扎格力图用投射、截景等射影几何概念统一处理各种圆锥曲线，从而为圆锥曲线的研究开辟了广阔的前景．例如上面介绍过的关于对合的定理，德扎格便通过投影法推广到一般圆锥曲线，因为圆的截景可以是任意的圆锥曲线，而对合关系在投影后是不变的．从而揭示了圆锥曲线的一个重要性质．

三、帕斯卡的工作

帕斯卡（B．Pascal，1623—1662）是德扎格的学生，仅仅活了39岁．他是一位了不起的天才，在微积分、概率、代数、射影几何等方面都作出了引人注目的贡献，他是手摇计算机的发明者，还是法国著名的文学家，物理方面的成就也不少．这里着重谈他的射影几何方面的工作．

帕斯卡从12岁起就对几何发生了兴趣，并发现了一些初等几何的定理．14岁时参加了巴黎数学家的每周聚会，他在这里得到德扎格的指导，逐渐熟悉了德扎格的射影几何思想．德扎格建议他用射影法研究二次曲线，他接受了这个建议．16岁那年（1639），帕斯卡写成一本约八页的小册子《略论圆锥曲线》（Essaypourlesconiques）．大数学家笛卡儿看过以后，觉得如此出色，竟然不相信它是一个这样年轻的人写的．遗憾的是这本书不久便失传了，直到1779年才被重新发现．

帕斯卡的书中最著名的结果是下述定理：

若一个六边形内接于一圆锥曲线，则每两条对边相交而得的三点在同一直线上．如图10．5，P，Q及R在同一直线上．若六边形的对边两两平行，则P，Q，R在无穷远线上．该定理被后人称为帕斯卡定理，在射影几何里是十分重要的．

帕斯卡首先证明了该定理对圆成立．然后用投影法转到一般圆锥曲线．他说由于对圆成立，所以通过取截景后，必对所有圆锥曲线都成立．实际上，若从上图平面外的一点作它的投射锥并取一截景，则截景必含一圆锥曲线及内接六边形，六边形的对边仍将交于一条直线上的三点．这条直线与PQR相对应．该定理确定了圆锥曲线上六个点的射影相关性．如果已知六个点中的五个，就能确定一条圆锥曲线．这个定理是射影几何中内容最丰富的定理之一，由它出发可以导出大量推论．例如：

（1）如果一个三角形内接于一圆锥曲线，则其顶点上的切线与对边交于三个共线点．

（2）若五边形ABCDE内接于一圆锥曲线，则AB，DE；BC，EA；CD与A点上的切线交于三个共线点．（3）内接于一圆锥曲线的四边形的两对对边，连同对着的顶点的两对切线，交于四个共线点．

帕斯卡定理的逆定理（若一个六边形的三对对边的三个交点共线，则六边形顶点在一圆锥曲线上）也是成立的，但帕斯卡没有考虑．

四、射影几何中的新思想

伴随着射影几何的诞生，一些崭新的数学思想出现了．首先是数学对象从—种形状连续变到另一形状的思想．实际上，最早注意这一问题的是开普勒（J．Kepler），他在1604年出版的《天文学的光学部分》（AstronomiaeParsOptica）中，设想椭圆的一个焦点固定而让另一个焦点在它们的连线上移动，若动点移向无穷远，椭圆成为抛物线；若这个动焦点又出现在定焦点的另一方，抛物线就变成双曲线；当两焦点合而为一，椭圆变成圆．而双曲线的两焦点合在一起时，双曲线便退化为两直线．德扎格则采用更为有效的方法——投射取截法来实现二次曲线的连续变化．只要改变截景平面的位置，就可使圆的截景从圆连续变为椭圆、抛物线和双曲线．因此，对于圆成立的许多性质，都可通过取截景的方法来证明它们对其他二次曲线也成立．这就提供了一种相当一般的简便方法．

从射影几何中产生的另一个新思想是变换和不变性．从某点向一图形作投影线，然后取截景，这就是把原图形变成了新的图形．而原图形中值得研究的性质是那些变换后保持不变的性质．这种变换思想不仅导致了另一门新学科——仿射几何的诞生，而且当人们用变换与不变性的观点来重新研究欧氏几何时，发现了三种几何的本质联系及从属关系．实际上，射影几何包含了仿射几何，而仿射几何包含了欧氏几何．不过，射影几何的创始人并未认识到这一点．后来，当群论产生后，变换群的概念应运而生，成为现代数学的理论基础之一．

虽然射影几何方面的工作最初是为了给画家提供方便，但它的意义远不止于此．在当时，它由于解析几何的发展而略显失色，甚至一度被人们遗忘．但到19世纪被人重新发现时，德扎格和帕斯卡等人的杰出思想终于大放异彩．射影几何作为一个着重研究图形位置和相交方面的性质的学科，终于成熟了．

第二节解析几何

一、历史背景

解析几何是17世纪最伟大的数学成果之一，它的产生有着深刻的原因．

首先，生产力的发展对数学提出了新的要求，常量数学的局限性越来越明显了．例如，航海业的发展，向数学提出了如何精确测定经纬度的问题；造船业则要求描绘船体各部位的曲线，计算不同形状船体的面积和体积；显微镜与望远镜的发明，提出了研究透镜镜面形状的问题；随着火器的发展，抛射体运动的性质显得越来越重要了，它要求正确描述抛射体运动的轨迹，计算炮弹的射程，特别是开普勒发现行星沿椭圆轨道绕太阳运行，要求用数学方法确定行星位置．所有这些问题都难以在常量数学的范围内解决．实践要求人们研究变动的量．解析几何便是在这样的社会背景下产生的．

其次，解析几何的产生也是数学发展的大势所趋，因为当时的几何与代数都相当完善了．实际上，几何学早就得到比较充分的发展，《几何原本》建立起完整的演绎体系，阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》则对各种圆锥曲线的性质作了详尽的研究．但几何学仍存在两个弱点，一是缺乏定量研究，二是缺乏证题的一般方法．而当时的代数则是一门注重定量研究、注重计算的学科．到16世纪末，韦达（F．Vieta，1540—1603）在代数中有系统地使用字母，从而使这门学科具有了一般性．它在提供广泛的方法论方面，显然高出希腊人的几何方法．于是，从代数中寻求解决几何问题的一般方法，进行定量研究，便成为数学发展的趋势．实际上，韦达的《分析术引论》（Inartemanalyticemisagoge）等著作中的一些代数问题，便是为解几何题而列出的．

第三，形数结合的思想及变量观念是解析几何产生的直接原因．南斯拉夫的盖塔尔迪（M．Ghetaldi，1566—1626）已初步具有形数结合的思想，他于1607年注释阿波罗尼奥斯的著作时，便对几何问题的代数解法作了系统研究．1631年出版的英国哈里奥特（T．Harriot，1560—1621）所著《实用分析技术》（ArtisAnalyticaePraxis），进一步发挥了盖塔尔迪的思想，使几何与代数的结合更加系统化．变量观念则是在数学的应用中产生的．开普勒把数学应用于天文学，伽利略（GalileoGalilei，1564—1642）把数学应用于力学，而在天文学和力学中都离不开物体的运动，于是，数学中的变量观念便应运而生了．在这种情况下，一些杰出数学家们把几何、代数同一般变量结合起来，从而创立了解析几何．费马和笛卡儿几乎是同时独立地创立这一学科的，这个事实充分说明在条件成熟时产生一个新学科的必然性．

二、费马的工作

费马（P．deFermat，1601—1665）是一位多才多艺的学者．他上大学时专攻法律，毕业后以当律师为生，并长期担任法国图卢兹（Toulouse，费马出生地）议会的顾问．实际上，他在30岁以后才开始进行数学研究．他不愧是一位数学天才，尽管数学工作仅占据了他的一部分时间，他那丰硕的成果却令人目不暇接．17世纪的数论几乎是费马的天下，费马大定理的魅力至今仍不减当年；在牛顿（I．Newton）和莱布尼茨（G．W．Leib-niz）之前，他为微积分的创立作了大量的准备工作，取得十分出色的成果；他和帕斯卡一起，分享了创立概率论的荣誉；在解析几何上，他也是一位名副其实的发明者．

费马的《平面与立体轨迹引论》（IntroductionauxLi－euxPlanesetSolides）是他在解析几何方面的代表作．这本书是1630年写成的，但一直到1679年才出版，那时费马已经死了14年．费马的著作表明，他的研究工作是以古希腊阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》为出发点的．他在书的开头写道：

“毫无疑问，古人对于轨迹写得非常多……．可是，如果我没有想错的话，他们对于轨迹的研究并非是那么容易的．原因只有一个：

他们对轨迹没有给予充分而又一般的表示．”费马认为给轨迹一般表示只能靠代数．他很熟悉韦达的代数工作，又受到前人用代数解决几何问题的启发，所以他着手解决轨迹的一般表示的问题时，就毫不犹豫地求助于代数．他不仅使代数与几何结为伴侣，更重要的是他把变量思想用于数学研究，这正是他比哈里奥特等人高明的地方，也是他创立解析几何的主要思想基础．

费马的一般方法就是坐标法．坐标概念古已有之，以坐标系为参考来确定点的位置，这是古希腊人已经熟悉的．但费马凭借他的变量观念和形数结合的思想，在这块数学园地里培育出新的成果．他把坐标平面上的点和一对未知数联系起来，然后在点运动成线的思想下，把曲线用方程表示出来．这种以代数方程表示几何曲线的方法，无疑是解析几何的精髓．

费马的具体做法是：

考虑任意曲线和它上面的任意点J（图10．6），J的位置用A，E两字母表出，其中A是从点O沿底线到点Z的距离，E是从Z到J的距离．他所用的坐标就是我们所说的斜坐标，A，E相当于x，y．费马说：

“只要在最后的方程里出现两个未知量，我们就得到一个轨迹，这两个量之一的末端描绘出一条直线或曲线．”如图10．6，对于不同位置的E，其末端J，J′，J″…就把线描出．当然，在这里联系A和E的方程是不确定的，图10．6仅仅是一个示意图．费马以这种思想为指导，研究了各种类型的曲线，他实际采用的坐标多是直角坐标．

费马充分注意到方程次数与曲线形状的关系，他说一个联系着A和E的方程如果是一次的，就代表直线轨迹；如果是二次的，就代表圆锥曲线．例如，DA＝BE就表示一个一次方程．换成现代记号，相当于ax

10．7），费马还研究了更一般的方程ax＋by＝c2，它对应着直线MI，

坐标的名词，他的坐标轴也没有标明方向．实际上，横、纵坐标的名词是莱布尼茨起的，牛顿首次采用了现代形式的坐标系．

费马的研究重点是圆锥曲线，他通过自己的实践揭示了圆锥曲线的方程特征——含有二个未知数的二次方程．例如，他以椭圆的长轴PP′所在直线为x轴，以椭圆在P点的切线为y轴，并设PP′＝d，通径（即正焦弦）为p（图10．8），推得椭圆方程为

另一方面，他还通过坐标轴的平移和旋转来化简方程，从而求得比较复杂的二次方程的曲线．例如，他通过平移坐标轴，把方程

xy＋a2=bx+cy

化成xy=k2

的形式，这显然是双曲线；又通过坐标轴的旋转，化方程

a2-2x2=2xy+y2

为b2-x2=ky2，

从而证明这是一个椭圆．他还证明了方程

x2+y2+2dx＋2ry＝b2

是一个圆．在此基础上，费马自豪地宣称，他能用他的新方法重新推出阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》的所有结论．不过，他并没有给出坐标变换的一般法则．

费马在总结自己的工作时说：

“直线是简单唯一的；曲线的数目则是无限的，包括圆、抛物线，椭圆等等．”他把二次以内的曲线分为平面轨迹和立体轨迹两类，说：

“每当构成轨迹的未知数的顶端所描出的是直线或圆时，这轨迹就称为平面轨迹；当它描出的是抛物线、双曲线或椭圆时，它就称为立体轨迹．”①至于其他曲线，他一律称为线性轨迹．他重点研究了直角坐标系下的曲线方程，说：

“若令两个未知量构成一给定的角，通常假定它为直角，并且未知量之一的位置和顶端是确定的，则此方程是很容易想象的．如果这两个未知量的幂都不超过二次，则由后面所述便能明白，其轨迹是平面轨迹或立体轨迹．”②他在书中确定了各种轨迹的方程，其基本形式为（以现代记法表示）：

（3）圆的方程a2－x2＝y2；

（4）椭圆方程a2－x2＝ky2；

（5）双曲线方程a2＋x2＝ky2；

（6）双曲线方程xy＝k2；

（7）抛物线方程x2＝ay．

费马对高次曲线的研究也是卓有成效的．他提出许多以代数方程定

整数），它们分别被后人称为费马抛物线、费马双曲线和费马螺线．另外，费马还与一位叫阿格内西（M．G．Agnesi，1718—1799）的意大利女数学家在通信中讨论了一种新曲线，即

b3=x2y+b2y．

这种曲线问世后，被称作阿格内西箕舌线．

费马在研究轨迹的过程中，不仅考虑到一维和二维的情形，还进一步探讨了三维空间的轨迹问题．他正确指出：

一元方程确定一个点，二元方程确定一条曲线（包括直线），而三元方程则确定一个曲面．这类曲面包括平面、球面、椭球面、抛物面和双曲面．不过，他没有用解析方法对这些曲面进行具体研究．

由于时代的局限，费马在研究轨迹时不考虑负坐标，他的曲线一般只画在第一象限，尽管他知道这些曲线是在其他象限延续的．这就使他的工作缺乏完整性．例如，他认为任何齐二次方程都表示直线，因为x2=y2可化成x=y．另外，从指导思想来看，他并不想打破希腊数学传统，把自己的思想看作希腊数学思想的继续，认为解析几何不过是阿波罗尼奥斯著作的一种新的表现形式．这种认识对于他的解析思想的发挥无疑具有阻碍作用．例如，他虽然在坐标系内讨论了阿波罗尼奥斯的各种圆锥曲线，但从未考虑过两条曲线在同一坐标系内的相交问题，更不知道交点的代数意义．相比之下，笛卡儿的解析思想更为深刻，他创立的解析几何也更为成熟．

三、笛卡儿的工作

1．笛卡儿传略

笛卡儿（R．Descartes，1596—1650）是17世纪的天才．他是杰出的哲学家和数学家，是近代生物学的奠基人之一，在物理学方面也作了许多有价值的研究．当然，本书所关心的主要是他在数学方面的贡献．

1596年3月31日，笛卡尔出生在法国土伦（Tournine）的一个律师之家，早年丧母，八岁时被父亲送到当地的一所耶酥教会学校．由于他身（R．Descartes1596—1650）体较弱，父亲与校方商定，允许他每天早晨多睡些时间．于是，笛卡儿养成了晚起的习惯．长大以后，他经常在早晨躺在床上思考问题，据说他的大部分成果出自早上那段适宜思考的时间．

笛卡儿成年后的生活，可以1628年为界分成两个阶段．他16岁时离开家乡，去外地求学，20岁（1616年）时毕业于普瓦捷（Poitiers）大学，在巴黎当了律师．他在那里结识了数学家梅森（M．Mersenne）和迈多治（C．Mydorge），经常和他们一起讨论数学问题．笛卡儿于1617年到荷兰，参加了奥兰治（Orange）公爵的军队，后来又到其他军队服务．他参军的目的主要是弥补学校教育的不足，并无明显的宗教或政治倾向．1621年以后，他先后到德国、丹麦、荷兰、瑞士和意大利旅行．在当兵和旅行的日子里，他的数学研究一直没有中断，他把解决数学问题当作自己的乐趣．在荷兰布雷达（Breda）地方的招贴牌上，笛卡儿发现一个挑战性的问题，很快就解决了，这使他自信有数学才能，从而更认真地研究数学．1625年回到巴黎后，他为望远镜的威力所激动，开始钻研光学理论，同时参加了德扎格等数学家的讨论，并继续他的哲学探索．1628年，他写成第一部哲学著作《思想的指导法则》（RegulaeadDirectionemIngenii）．在这个阶段的生活中，他实际上已为他后来创立唯理论的认识论奠定了基础，为发明解析几何创造了条件．

由于笛卡儿对《圣经》持批评态度，受到国内封建教会的排斥．1628年，笛卡儿移居荷兰，开始了第二阶段的生活．他的主要学术著作，都是在那里的20年中完成的，包括《宇宙论》（LeMonde，1633年写成，1664年出版）、《方法论》（DiscoursdelaMéthode，1637）、《形而上学的沉思》（MeditationesdePrimaPhilosophia，1640）、《哲学原理》（PhincipiaePhilosophiae，1644）、《激情论》（TraitédesPassionsdelame，1649）．《方法论》一书有三个附录——《折光》（LaDi-optrique）、《气象》（LesMétéores）和《几何》（LaGéo－métrie）．其中第三个附录便是笛卡儿创立解析几何的标志．很明显，笛卡儿最关心的是哲学问题．实际上，他的解析几何只是他的哲学思想在数学中的体现，所以著名数学史家克莱因（M．Kline）说，笛卡儿“只偶然地是个数学家．”①

1649年，笛卡儿接受瑞典女王克利斯蒂娜（Christina）的邀请，去斯德哥尔摩担任了女王的宫廷教师，不幸在那里染上肺炎，于1650年2月11日病逝．

2．笛卡儿的数学思想

笛卡儿是以哲学家的身分来研究数学