专题座行列式的计算方法.docx

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专题座行列式的计算方法

专题讲座  行列式的计算方法

1.递推法

例1求行列式的值：

（1）

的构造是：

主对角线元全为

；主对角线上方第一条次对角线的元全为

，下方第一条次对角线的元全为1，其余元全为0；即

为三对角线型.又右下角的（n）表示行列式为n阶.

解把类似于

，但为k阶的三对角线型行列式记为

.

把

（1）的行列式按第一列展开，有两项，一项是

另一项是

上面的行列式再按第一行展开，得

乘一个n–2阶行列式，这个n–2阶行列式和原行列式

的构造相同，于是有递推关系：

（2）

移项，提取公因子β：

类似地：

（递推计算）

直接计算

若

；否则，除以

后移项：

再一次用递推计算：

∴

， 当β≠α    （3）

当β=α，从

从而

.

由（3）式，若

.

∴

注递推式

（2）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程.

注1仿照例1的讨论，三对角线型的n阶行列式

         （3）

和三对角线型行列式

         （4）

有相同的递推关系式

                 （5）

                  （6）

注意

两个序列

和

的起始值

相同，递推关系式（5）和（6）的构造也相同，故必有

由（4）式，

的每一行都能提出一个因子a，故

等于

乘一个n阶行列式，这一个行列式就是例1的

.前面算出

，故

例2 计算n阶范德蒙行列式行列式

解:

即n阶范德蒙行列式等于

这n个数的所有可能的差

的乘积

2．拆元法

例3：

计算行列式

解

①×（x+a）  

②×（x–a）  

3．加边法

例4 计算行列式

分析：

这个行列式的特点是除对角线外,各列元素分别相同.根据这一特点,可采用加边法.

解

4．数学归结法

例5计算行列式

解：

猜测：

证明

（1）n=1,2,3时，命题成立.假设n≤k–1时命题成立,考察n=k的情形：

故命题对一切自然数n成立.

5.消去法求三对角线型行列式的值

例6求n阶三对角线型行列式的值：

（1）

的构造是：

主对角线元全为2，主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的元全为1，其余的元全为0.

解用消去法，把

中主对角线下方第一条次对角线的元1全部消成0：

首先从第二行减去第一行的

倍，于是第二行变为

其次从第三行减去第二行（指新的第二行，以下同）的

倍，则第三行变为

再从第四行减去第三行的

倍，则第四行变为

类似地做下去，直到第n行减去第n–1行的

倍，则第n行变为

最后所得的行列式为

（2）

上面的行列式是三角型行列式，它的主对角线元顺次为

         93）

又主对角线下方的元全为0.故

的值等于（3）中各数的连乘积，即

.

注3一般的三对角线型行列式

           （4）

也可以按上述消去法把次对角线元

全部消去，得到一个三角型行列式，它的值等于该三角型行列式的主对角线元的连乘积.

6乘以已知行列式

例7求行列式的值：

称为循环行列式，各行自左到右均由

循环排列而得，并使主对角线元全为

解设1的立方根为

，即

其中i是虚数单位，又

右乘以行列式

则

（1）

用

，得

故

（1）的行列式的第一列可由提出公因子

，提后的元顺次为

，类似地，

（1）的行列式的第二列和第三列可提出公因子

和

于是

因

互不相等，帮它们所构成的凡德蒙行列式

的值不为零，可以从上式的左右两边约去，得

.

注4在n阶的一般情形，设1的n次方根为

则得行列式的值为

这里的

是由

构成的n阶循环行列式：

7利用线性代数方程组的解

例8求n阶行列式的值：

（1）

的构造是：

第i行的元顺次为

又第n行的元顺次为

.

解

（1）的行列式与凡德蒙行列式

（2）

的比值可以看成线性代数方程组

    （3）

的解

.如能解出

，乘以凡德蒙行列式

（2），即是原行列式

但方程组（3）又可以看成n次多项式方程

  （4）

（t是未知数，

看作系数）有n个根

用根与系数的关系，即得

∴

8递推方程组方法

例9求行列式的值：

（1）

是n阶行列式（在右下角用（n）表示），其结构是：

主对角线元全为x；主对角线上方的元全为y,下方的元全为z.

解从

（1）的行列式的第一列减第二列，第二列减第三列，…，第n–1列减第n列，得

（2）

上面的行列式按第一行展开，有两项，一项是（x–y）乘一个n–1阶行列式，这个n–1阶行列式和

（2）中的n阶行列式的构造相同，即上述展开的第一项可表示为

；展开的另一项是

故递推式

           （3）

若z=y，则上式化为

           （4）

类似地有

又

故可对（4）式递推计算如下：

上面得到原行列式当z=y时的值.下面讨论z≠y的情形.

把

（1）的行列式的y与z对调，这相当于原行列式的行与列互换，这样的做法，行列式的值不变.于是y和z对调后，

的值不变，这时（3）式变为

          （5）

从（3）与（5）（递推方程组）消去

，即（3）式乘以（x–z），（5）乘以（x–y），相减得

∴

注5当z=y时，行列式

也可以用极限计算：

又行列式

当z=y时可以用余式定理来做