黄浦区高三二模数学Word版附解析可编辑修改word版.docx

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黄浦区高三二模数学Word版附解析可编辑修改word版

上海市黄浦区2018届高三二模数学试卷

2018.04

一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1.已知集合A={1,2,3}，B={1,m}，若3-m∈A，则非零实数m的数值是

2.不等式|1-x|>1的解集是

3.

若函数f（x）=

是偶函数，则该函数的定义域是

4.已知∆ABC的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a2=b2+c2-2bcsinA，则内角A的大小是

5.已知向量a在向量b方向上的投影为-2，且|b|=3，则a⋅b=

（结果用数值表示）

6.方程log（3⋅2x+5）-log（4x+1）=0的解x=

7.已知函数f（x）=

2sinx

-cos2x

，则函数f（x）的单调递增区间是

1cosx

8.已知是实系数一元二次方程x2-（2m-1）x+m2+1=0的一个虚数根，且||≤2，则实数m的取值范围是

9.已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是人

10.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是

（结果用数值表示）

n

11.已知数列an是共有k个项的有限数列，且满足an+1an-1

n

（n=2,,k-1），若

a1=24，a2=51，ak=0，则k=

12.已知函数f（x）=ax2+bx+c（0<2a

f

（1）

f（0）-f（-1）

的最小值是

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.空间中，“直线m⊥平面”是“直线m与平面内无穷多条直线都垂直”的

（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要

14.二项式（

+

1）40的展开式中，其中是有理项的项数共有（）

A.

4项B.7项C.5项D.6项

⎧x+y≤3

15.实数x、y满足约束条件⎪x≥0,y≥0，则目标函数w=2x+y-3最大值是（）

⎪x-y+1≥0

A.0B.1C.-2

D.3

16.在给出的下列命题中，是假命题的是（）

A.设O、A、B、C是同一平面上四个不同的点，若OA=m⋅OB+（1-m）⋅OC（m∈R），

则点A、B、C必共线

B.

若向量a和b是平面上的两个不平行的向量，则平面上的任一向量c都可以表示

为c=a+b（、∈R），且表示方法是唯一的

C.已知平面向量OA、OB、OC满足|OA|=|OB|

+∆+=

且OAOBOC0，则ABC是等边三角形

=|OC|=r（r>0），

D.在平面上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a、b、c、d，

使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，BC=1，CD=，

∠CDA=45︒.

（1）画出四棱锥P-ABCD的主视图；

（2）若PA=BC，求直线PB与平面PCD

所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

18.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知OA=10米，OB=x米，0

（1）

求关于x的函数解析式；

（2）记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？

并求出最大值

19.已知动点M（x,y）到点F（2,0）的距离为d1，动点M（x,y）到直线x=3的距离为d2，且

d1=6.

d23

（1）求动点M（x,y）的轨迹C的方程；

（2）过点F作直线l:

y=k（x-2）（k≠0）交曲线C于P、Q两点，若△OPQ的面积

S∆OPQ=

（O是坐标系原点），求直线l的方程.

⎧-2x,-1≤x<0,

⎩

20.已知函数f（x）=⎨x2-1,0≤x≤1.

（1）求函数f（x）的反函数f-1（x）；

（2）试问：

函数f（x）的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的

坐标；若不存在，说明理由；

（3）若方程f（x）+21-x2+|f（x）-2

|-2ax-4=0的三个实数根x1、x2、x3满足

x1

21.定义：

若数列{c}和{d}满足c>0，d>0，且c

=cn+dn

，n∈N*，则称数

nnnnn+1

列{dn}是数列{cn}的“伴随数列”.已知数列{bn}是{an}的伴随数列，解答下列问题：

（1）若b=a（n∈N*），b=，求数列{a}的通项公式a；

nn1nn

（2）若bn+1

=1+bn

an

（n∈N*），b1为常数，求证：

数列

a1

{（bn

an

）2}

是等差数列；

（3）若b=

（n∈N*），数列{a}是等比数列，求a、b的数值.

n+1

n

n11

参考答案

一.填空题

1．2

2．（-∞,0）（2,+∞）

3．[-2,2]

4．

4

5．-6

6．2

3

7．[k-,k+],k∈Z

88

8．（-3,3]

4

9．140

10．5

16

11．50

12．3

二.选择题

13.A14.B15.D16.D

三.解答题

17．解：

视图如下：

（2）根据题意，可算得AB=1,AD=2.

又PA=BC=1，按如图所示建立空间直角坐标系，可得，A（0,0,0）,B（1,0,0）,C（1,1,0）,D（0,2,0）,P（0,0,1）.

于是，有PB（1,0,1）,CD（1,1,0）,PD（0,2,1）.

⎪n⋅CD=0,

⎧-x+y=0,

设平面PCD的法向量为n=（x,y,z），则⎨

⎪⎩n⋅PD=0,

即⎨2y-z=0.

⎩

令z=2，可得y=1,x=1，故平面PCD的一个法向量为n=（1,1,2）.

|nPB|3

设直线PB与平面PCD所成角的大小为，则sin=

=.

|n||PB|6

所以直线PB与平面PCD所成角的大小为arcsin3.

6

18．解：

（1）根据题意，可算得弧BC=x⋅（m），弧AD=10（m）.

又BA+CD+弧BC+弧CD=30，于是，10-x+10-x+x⋅+10=30，

2x+10

所以，=

x+10

（0

（2）依据题意，可知y=S

扇OAD

-S扇OBC

=1⨯102-1x2

22

化简，得y=-x2+5x+50=-（x-5）2+225

24

于是，当x=5（满足条件0

（m2）.

2max4

答所以当x=5米时铭牌的面积最大，且最大面积为225平方米.

24

19．解：

（1）结合题意，可得d=（x-2）2+y2,d=|x-3|.

12

dx2y2

又1=

d2

，于是，

3

=

|x-3|3

，化简得

+=1.

62

因此，所求动点M（x,y）的轨迹的方程是x2+y2=

62

⎧x2y2

⎨1,

得（1+3k2）x2-12k2x+12k2-6=0.

⎪⎩y=k（x-2）,

12k2

12k2-6

设点P（x1,y1）、Q（x2,y2），则x1+x2=1+3k2，x1x2=

1+3k2

，∆>0

于是，弦|PQ|=

=，

|2k|

点O到直线l的距离d=.由S∆OPQ=，

1+k2

1|2k|

21+k2

=，化简得k4-2k2+1=0，

解得k=±1，且满足∆>0，即k=±1都符合题意.

因此，所求直线的方程为x-y-2=0或x+y-2=0.

⎧-2x,-1≤x<0,

⎩

20．解：

（1）f（x）=⎨x2-1,0≤x≤1.

∴当-1≤x<0时，f（x）=-2x,且0

由y=-2x，得x=-1y，互换x与y，可得f-1（x）=-1x（0

22

当0≤x≤1时，f（x）=x2-1,且-1≤f（x）≤0.

由y=x2-1，得x=

，互换x与y，可得f-1（x）=

1+x（-1≤x≤0）.

⎨

⎧-1x,0

∴f-1（x）=⎪

⎪⎩

2

1+x,

-1≤x≤0.

（2）函数图像上存在两点关于原点对称.

设点A（x0,y0）（0

则f（x）+f（-x）=0，即x2-1+2x=0，

0000

解得x0=-1（x0=--1,舍去），且满足0

因此，函数图像上存在点A（

-1,2-22）和B（1-

2,2

-

2）关于原点对称.

（3）考察函数y=

f（x）与函数y=2

的图像，可得

当-1≤x≤-

2时，有f（x）≥2

2

，原方程可化为-4x-2ax-4=0，

解得x=-

2，且由-1≤-2≤-

2，得0≤a≤2

-2.

a+2

a+22

当-2

2

，原方程可化为4

-2ax-4=0，

化简得（a2+4）x2+4ax=0，

解得x=0，或x=-

4aa2+4

（当0≤a≤2

-2时，-

2<-

2

4aa2+4

<0）.

于是，x1

=-2

a+2

x2

=-4aa2+4

x3

=0.

由x-x=2（x-x），得4a

=2（-

4a+

2），解得a=-3±

17.

3221

a2+4

a2+4

a+22

因为a=-3-

2

17<-1，故a=-3-

2

17不符合题意，舍去；

0

2

-

2，满足条件.因此，所求实数a=-3+17.

2

21．解：

（1）根据题意，有a

>0,b

>0,且a

=an+bn

，n∈N*.

nnn+1

由b=a

（n∈N*），b=

，得a

=an+an=

2,a

=b=

，n∈N*.

nn

所以an=

1

，n∈N*．

n+111

（2）b=1+bn（n∈N*），a

>0,b>0,且a

=an+bn

，n∈N*，

n+1

n

bn

nnn+1

1+abb

∴an+1

=n=n+1，n+1=

an+1

，n∈N*．

⎛b⎫2

⎛b⎫2

⎧⎪⎛b

⎫2⎫⎪

⎛b⎫2

∴çn+1⎪-çn⎪

=1，n∈N*．∴数列⎨çn⎪⎬是首项为ç1⎪

、公差为1的等差数列．

⎝an+1⎭⎝an⎭

⎪⎩⎝an⎭⎪⎭

⎝a1⎭

（3）b=

（n∈N*），a

>0,b

>0,且a

=an+bn

，n∈N*，

n+1

由

nnn+1

n

+b≤2,n∈N*，得1

nnn+1

{a}是等比数列，且a>0，设公比为r（r>0），则a

=arn-1（n∈N*）.

→∞

∴当r>1，即liman→+∞，与1

n

n

当0

n→∞

矛盾．因此，r>1不成立.

矛盾．因此，0

∴r=1，即数列{an}是常数列，于是，an=a1（1

∴b=2b（n∈N*）.

n+1n

1

b>0，∴b

>

0，数列{b}也是等比数列，设公比为q（q>0），有b

=bqn.

n

∴a=

1

an+1+bn+1

n

，可化为

n+11

n+2

2

n+1

2

n+1

1111111

b2（a2-1）q2n-2abqn+a2（a2-1）=0（1

b2（a2-1）>0,2ab≠0,a2（a2-1）>0,∆=4a4b2（2-a2）≥0，

111111111

111111

∴关于x的一元二次方程b2（a2-1）x2-2abx+a2（a2-1）=0有且仅有两个非负实数根.

111111

一方面，qn（n∈N*）是方程b2（a2-1）x2-2abx+a2（a2-1）=0的根；另一方面，

若q≠1（q>0），则无穷多个互不相等的q,q2,q3,q4,,qn,

该二次方程有且仅有两个非负实数根矛盾！

都是该二次方程的根.这与

∴q=1，即数列{b}也是常数列，于是，b

=b，n∈N*.

∴由bn+1=

nn1

（n∈N*），得a=.

=

an

把a=

，代入a

=an+bn

，解得b=

.∴⎧⎪a1=2,

1n+1

1⎨

⎪⎩b12.